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1、 分数阶偏微分方程在图像处理的应用分数阶偏微分方程在图像处理的应用刘路逍数字图像处理简介图像去噪一般可以分为两类：空域去噪方法和变换域去噪方法 空域去噪方法是直接对图像的像素进行处理，如均值滤波，中值滤波和偏微分方程滤波方法 变换域去噪方法主要是利用有用信号和噪声信号在变换域中表现出的不同特征来有效的去除噪声，如傅里叶变换，小波变换滤波方法 数字图像处理(Digital Image Processing)是通过计算机对图像进行去除噪声、增强、复原、分割、提取特征等处理的方法和技术。在航天航空、生物医学、通讯工程等多个方面有广泛的应用。偏微分方程图像去噪方法 偏微分方程（Partial Diff
2、erential Equations）图像处理一般是采用某一能量泛函,通过变分法,得到欧拉-拉格朗日方程，并用梯度下降法求得相应的解。初次出现的PDE滤波模型是线性的热扩散方程，该模型的扩散行为是朝四周各个方向的，不可避免地会破坏图像的边缘等特色。为了克服这种缺陷，许多研究者从各种角度提出各种方法来避免这种“同向扩散（Isotropic Diffusion）”行为，于是就诞生了各种整数阶PDE滤波模型，如P-M模型，ROF模型等等。分数阶偏微分方程图像处理的优点 从数学性质上讲,对纹理结构的本身特性而言,纹理是具有弱导数(即分数阶导数)特性的信息,整数阶微分算子并不适合于处理这类具有弱导数的信
3、息。上图为分数阶微分算子在阶次不同时的幅频特性。从图中可以清楚地得出：分数阶微分算子对信号都有加强的作用，并且加强的幅度随频率和微分阶次的增加而非线性地急剧增强，在信号的低频部分(1)，分数阶微分算子对信号的幅值进行一定的提升，但是提升的幅度也明显小于1阶次和2阶次微分。上述性质表明，分数阶微分算子在加强信号中高频成分的同时，对信号的甚低频分量进行了非线性保留。所以，分数阶微分可以大幅提升高频成分，增强中频成分，非线性保留低频成分。所以采用分数阶微分进行图像去噪时，不仅能够较好地保持图像边缘特征，还能较好地保留图像平滑区域内灰度变化不大的纹理细节信息。分数阶导数的定义 分数阶微积分的定义主要分
4、为空域中的定义和频域中的定义两大类,空域中的定义主要包括Grumwald-Letnikov定义、Riemann-Liouville定义和Caputo定义,频域中的定义主要包括在Fourier变换域、LaPlace变换域中的定义形式。下面只介绍本文中使用的Grumwald-Letnikov分数阶导数:设在闭区间上连续，则关于的阶导数可以表示为,其中，称为广义二项式系数，为伽玛函数，为取整运算全变分（TVD）去噪模型令u（x,y）为原始的清晰图像，f（x，y）为受到噪声污染的图像。即n（x，y）为具有零均值、方差为的随机噪声，则TV去噪模型可表示为：其中：右边第一项为图像的正则项，它在极小化过程中
5、可以起到抑制噪声的作用；第二项为保真项，它主要起保持图像边缘特征和降低图像失真度的作用。为梯度算子；为图像的定义域，像素点(x,y)。该模型存在的不足：一方面，由于该模型中正则项仅包含|u|，很多研究结果表明该模型本身存在固有缺陷，即在处理平滑区域时，有可能将噪声当成边缘，从而容易产生“阶梯”效应；另一方面，虽然TV图像去噪方法进行图像去噪有利于保持图像边缘信息，但对于图像的纹理细节的刻画却不够理想。因此有必要在此模型上进行改进。新分数阶全变分图像去噪模型全变分模型的一般形式：受分数阶微分理论和TV模型的启发，本文将上式中的整数阶微分运算用阶微分来替换：其中是一个的对角矩阵，代表第i个像素的正
6、则化参数，其中代表第i个元素微分的分数阶次，且为离散化分数阶梯度算子，这样替换有两个好处:1)全变分模型去噪效果好与保持图像边缘细节特征的优点得到了很好地继承;2)分数阶微分可以大幅提升图像高频成分、增强图像中频成分、非线性保留图像低频成分的特性,较好地保留了更多图像平滑区域中灰度变化不大的纹理细节信息。这样一来,本文建立的新模型较好地解决在去除噪声的同时,保持图像边缘特征这一矛盾,并且还能保留了图像更多的纹理细节信息。分别代表x和y方向的分数阶差分算子。为了求解上式，我们应用交替最小化的步骤，即，对，依次求解运用半二次正则化方法与分离变量法将问题转化，前两式的每一步迭代都有确切的解,第三个最
7、小化的解可以利用下式得到：,1.输入待处理图像f；，初始化迭代程序，对下式进行迭代直到收敛 4.输出（3.7）式的近似解，程序结束。概括上述步骤得到MATLAB伪码，并将模型写成矩阵形式：3.2.设置 在使用矩阵方法进行分数阶微分离散前，需要先将二维图像矩阵进行降维操作，假设图像u(i,j)是一个的矩阵，i与j分别表示像素对应的列和行，将图像转化为长度为的向量：分数阶导数的离散 其中，上式中，K是用于近似计算的像素个数，是一个实系数，定义为如下形式：对任意像素（i，j）的离散分数阶梯度有如下定义：现在，我们来考虑模型中的分数阶微分算子令取定值，并且假设图像满足狄利克雷均匀边界条件，则两个矩阵和
8、为特普利茨分块矩阵，可以表示为如下形式：其中表示克罗内克积，是n阶的单位矩阵，是特普利茨下三角带矩阵，该矩阵第一列为,其中K表示用于近似计算的节点数。和写成矩阵形式，图像对应的向量u可以表示为：当矩阵，乘以向量u时，有如下结果，(a)原图 (b)噪声图(c)=1.2(e)=1.4 (f)=1.5 (g)=1.6 (h)=1.71.21.31.41.51.61.7噪声图PSNR/dB20.154520.995322.569619.918415.924812.960519.3836不同分数阶次微分的实验对比(d)=1.3 (a)噪声图2=0.01 (b)线性滤波 (c)中值滤波 (d)TV模型 (
9、e)P-M模型 (f)本文模型=1.4PSNR线性滤波中值滤波TV模型P-M模型本文模型去噪前0.0120.696521.273622.117220.149222.569619.3836Lena图像去噪效果对比 (a)噪声图2=0.01 (b)线性滤波 (c)中值滤波 (d)TV模型 (e)P-M模型 (f)本文模型=1.4Barbara图像去噪效果对比 （a）线性滤波 （b）中值滤波 （c）TV模型(d)P-M模型 （e）本文模型=1.4红框内细节纹理部分放大对比本文从全变分去噪模型和分数阶微分理论出发,推导出了一种基于分数阶偏微分方程的图像去噪新模型。该模型不仅继承了TV模型去噪模型优点,保持了图像的边缘细节特征,而且很大限度上保留了图像的纹理细节信息。实验结果表明,与现有的去噪方法相比,新模型具有更优的噪声抑制性和边缘保护能力。特别地,对于整数阶偏微分的图像去噪方法不能较好地保留图像纹理细节问题,该模型对图像平滑区域中灰度变化不大的纹理细节信息并没有被大幅度衰减,而是较好地保留了更多的图像纹理细节信息,优于整数阶偏微分图像去噪方法,较好地达到了去噪的目的,是一种有效的、优越的图像去噪方法。总结