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1、 5.6 二元一次方程与一次函数 5.7 用二元一次方程组确定一次函数表达式 自学目标:1、理解二元一次方程与一次函数的关系；理解二元一次方程组的解与两条直线的交点坐标的关系；2、能利用二元一次方程组确定一次函数的表达式 3、体会数形结合的思想方法。考点分类精讲 考点 1 二元一次方程组与两条直线的交点的关系 核心总结 知识能力聚焦 1.二元一次方程与一次函数的关系：任何一个二元一次方程都可化成一次函数关系式的形式。以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条直线；即以二元一次方程的解为坐标的点一定在相应的一次函数的图象上，一次函数的图象的点的坐标一定是相应的二
2、元一次方程的解。2.确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线交点的坐标；点拨 1、二元一次方程与相应的一次函数表达的都是关于两个变量的关系，只是书写形式不一样而已；列表、描点、连线时用一次函数的表达式要比用二元一次方程来的直接一些；2、求两条直线的交点坐标，就把两条直线的表达式联立方程组求解即可得到交点的横纵坐标。3、两条直线的交点坐标同时满足两条直线的解析式。真题诠释 14、（2013黔东南州）直线 y=2x+m 与直线 y=2x1 的交点在第四象限，则 m 的取值范围是（）A m1 B m1 C 1m1 D 1m1 解析 联立，解
3、得，交点在第四象限，m+10,m-10 m1，m1，所以，m 的取值范围是1m1 故选 C 答案C 思维延伸拓展 例、考点 2 用二元一次方程组确定一次函数表达式 核心总结 知识能力聚焦 1.用二元一次方程组确定一次函数表达式的方法：用待定系数法。即先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式。2.用二元一次方程组确定一次函数表达式的步骤：设出两个变量之间的一次函数表达式，y=kx+b,把已知的条件代入组成关于 k、b 二元一次方程组，解出方程组的解即可得一次函数的表达式。点拨 1、不同的问题涉及到的变量不一定相同，因此在设一次函数表达式时，要看清楚题目中的两个变
4、量的字母，不要都写成 x、y 2、在一个题中出现了多个一次函数关系时，设表达式时 k 要分别写成 k1、k2；b 也要分别写成 b1、b2 真题诠释（2013常州）已知一次函数 y=kx+b（k、b 为常数且 k0）的图象经过点 A（0，2）和点B（1，0），则 k=，b=解析 一次函数 y=kx+b（k、b 为常数且 k0）的图象经过点 A（0，2）和点 B（1，0），解得 答案 2，2 思维延伸拓展 七年级我们学过平行线的判定，是在几何图形中；上一章我们又学习了直线 y=kx+b 与 y=kx的位置关系是平行的，因此我们可以用代数方法来判定两条直线是否平行。例：直线 l 经过点（1，5）、
5、（1，1），直线 m 经过点（1，0）、（2，2），你能判定直线 l与 m 的位置关系吗？解析两条直线都分别过两个已知点，故可用待定系数法分别求出解析式，看它们的 k 是否相等即可。答案设直线 l 的解析式为 y=kx+b，它的图象经过点（1，5）、（1，1）k+b=5 k=2 -k+b=1 解得：b=3 所以直线 l 的解析式为 y=2x+3 设直线 m 的解析式为 y=k1x+b1，它的图象经过点（1，0）、（2，2）k1+b1=0 k1=2 2 k1+b1=2 解得：b1=-2 所以直线 m 的解析式为 y=2x-2 所以两条直线的 k 相等，所以 lm 考点整合精训(测试时间：30 分
6、钟 满分：50 分)基础能力精训 一、选择题 1、考点 1 答案 B 2、考点 1 解析 答案B 3、考点 1 答案C 4、考点 1 答案C 5、考点 2 6考点 1直线 kx-3y=8，2x+5y=-4 交点的纵坐标为 0，则 k 的值为()A4 B-4 C2 D-2 解析把 y=0 代入 2x+5y=-4，得 2x=-4，x=-2 所以交点坐标为(-2，0)把 x=-2，y=0 代入 kx-3y=8，得-2k=8，k=-4，故应选 B 答案B 二、填空题 7、考点 1点(2，3)在一次函数 y=2x-1 的_；x=2，y=3 是方程 2x-y=1的_ 解析当 x=2 时，y=2x-1=22
7、-1=3，(2，3)在一次函数 y=2x-1 的图像上 即 x=2，y=3 是方程 2x-y=1 的解 答案图像上 解 8、考点 1 9、考点 1 10、考点 1已知关于 x，y 的二元一次方程 3ax+2by=0 和 5ax-3by=19 化成的两个一次函数的图像的交点坐标为(1，-1)，则 a=_，b=_ 11、考点 1 12、考点 1 三、解答题 13、考点 1若直线 y=ax+7 经过一次函数 y=4-3x 和 y=2x-1 图象的交点，求 a的值 解析求图象的交点，把相应的解析式联立方程组求解即可得交点坐标；图象过某个点，则这个点的坐标符合解析式。14、考点 1(1)在同一直角坐标系
8、中作出一次函数 y=x+2，y=x-3 的图像(2)两者的图像有何关系?(3)你能找出一组数适合方程 x-y=2，x-y=3 吗?_，这说明方程组 _ 所以第一个空填“不能”，第二个空填“无解”。14、考点 1 15、考点 2 (测试时间：30 分钟 满分：50 分)中考能力精训 二、选择题 1、考点 1一次函数 y=kx+b(k0)自变量 x 的取值每增加一个单位，函数值 y 就相应地减少 5 个单位，则 k 的值为（）A 5 B 5 C 0.5 D 0.5 解析 一次函数 y=kx+b(k0)自变量 x 的取值每增加一个单位，则 kx 就增加 k，所以 k=-5 答案B 2、考点 1（20
9、11 广西百色，6，4 分）两条直线 y=k1x+b1和 y=k2x+b2相交于点 A（2，3），则方程组2211bxkybxky的解是（）A32yx B32yx C23yx D23yx 解析两条直线 y=kix+b1和 y=k2x+b2相交于点 A（2，3），32yx就是方程组2211bxkybxky的解 方程组的2211bxkybxky解为：32yx 答案B 3、考点 2 4、考点 1（2011 山东淄博 9，4 分）下列各个选项中的网格都是边长为 1 的小正方形，利用函数的图象解方程 5x1=2x+5，其中正确的是（）A.B.C.D.解析 直线 y=2x+5 中 y 随 x 的增大而增大
10、，直线 y=5x1 中 y 随 x 的增大而增大，故选项 C、D 错误；解 5x1=2x+5 得 x=2 所以选项 B 错误；故选 A 答案A 5、考点 2（2013十堰）张师傅驾车从甲地到乙地，两地相距 500 千米，汽车出发前油箱有油 25 升，途中加油若干升，加油前、后汽车都以 100 千米/小时的速度匀速行驶，已知油箱中剩余油量 y（升）与行驶时间 t（小时）之间的关系如图所示 以下说法错误的是（）A 加油前油箱中剩余油量 y（升）与行驶时间 t（小时）的函数关系是 y=8t+25 B 途中加油 21 升 C 汽车加油后还可行驶 4 小时 D 汽车到达乙地时油箱中还余油 6 升 解析
11、A、设加油前油箱中剩余油量 y（升）与行驶时间 t（小时）的函数关系式为y=kt+b将（0，25），（2，9）代入，得，解得，所以 y=8t+25，正确，故本选项不符合题意；B、由图象可知，途中加油：309=21（升），正确，故本选项不符合题意；C、由图可知汽车每小时用油（259）2=8（升），所以汽车加油后还可行驶：308=3 4（小时），错误，故本选项符合题意；D、汽车从甲地到达乙地，所需时间为：500100=5（小时），5 小时耗油量为：85=40（升），又 汽车出发前油箱有油 25 升，途中加油 21 升，X Kb1.Co m 汽车到达乙地时油箱中还余油：25+2140=6（升），正确
12、，故本选项不符合题意故选 C 答案C 二、填空题 6、考点 2（13 年山东青岛、12）如图，一个正比例函数图像与一次函数1xy的图像相交于点 P，则这个正比例函数的表达式是_ 解析交点 P 的纵坐标为 y2，代入一次函数解析式：2x1，所以，x1 即 P（1,2），代入正比例函数，ykx，得 k2，所以，y2x 答案y2x 7、考点 1已知一次函数 y=-x+2 的图象过点 P（a，b）和 Q（c，d），则(a+b)(c+d)的值为_ 解析由题意得 x=a,y=b 和 x=c,y=d 是关于二元一次方程y=-x+2 的两个解，即 b=-a+2,d=-c+2,所以得 a+b=2,c+d=2，整
13、体代入(a+b)(c+d)中得 4 答案4 8、考点 1方程组 3222yxyx无解，由此一次函数 y=2-x 与 y=23-x 的图象位置关系为（）解析方程组没有解，即两函数的图象无交点，因此两函数的图象平行。答案平行。三、解答题 9、考点 2 解析由图象可知 y 与 x 成一次函数关系，而图中还已知图象过两已知点，因此用待定系数法即可求解。答案 10、考点 2（2013内江）某地区为了进一步缓解交通拥堵问题，决定修建一条长为 6 千米的公路如果平均每天的修建费 y（万元）与修建天数 x（天）之间在 30 x120，具有一次函数的关系，如下表所示 X 50 60 90 120 y 40 38
14、 32 26（1）求 y 关于 x 的函数解析式；（2）后来在修建的过程中计划发生改变，政府决定多修 2 千米，因此在没有增减建设力量的情况下，修完这条路比计划晚了 15 天，求原计划每天的修建费 解析（1）设 y 与 x 之间的函数关系式为 y=kx+b，运用待定系数法就可以求出 y 与 x之间的函数关系式；（2）设原计划要 m 天完成，则增加 2km 后用了（m+15）天，根据每天修建的工作量不变建立方程求出其解，就可以求出计划的时间，然后代入（1）的解析式就可以求出结论 答案 解：（1）设 y 与 x 之间的函数关系式为 y=kx+b，由题意，得，解得：，y 与 x 之间的函数关系式为：
15、y=x+50（30 x120）；（2）设原计划要 m 天完成，则增加 2km 后用了（m+15）天，由题意，得，解得：m=45 原计划每天的修建费为：45+50=41（万元）11、考点 2（2013黔东南州）某校校园超市老板到批发中心选购甲、乙两种品牌的文具盒，乙品牌的进货单价是甲品牌进货单价的 2 倍，考虑各种因素，预计购进乙品牌文具盒的数量 y（个）与甲品牌文具盒的数量 x（个）之间的函数关系如图所示当购进的甲、乙品牌的文具盒中，甲有 120 个时，购进甲、乙品牌文具盒共需 7200 元（1）根据图象，求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）求甲、乙两种品牌的文具盒进货单价；解析（1）根据
16、函数图象由待定系数法就可以直接求出 y 与 x 之间的函数关系式；（2）设甲品牌进货单价是 a 元，则乙品牌的进货单价是 2a 元，根据购进甲品牌文具盒 120 个可以求出乙品牌的文具盒的个数，由共需 7200 元为等量关系建立方程求出其解即可；答案 解：（1）设 y 与 x 之间的函数关系式为 y=kx+b，由函数图象，得，解得：，y 与 x 之间的函数关系式为 y=x+300；（2）y=x+300；当 x=120 时，y=180 设甲品牌进货单价是 a 元，则乙品牌的进货单价是 2a 元，由题意，得 120a+1802a=7200，解得：a=15，乙品牌的进货单价是 30 元 答：甲、乙两
17、种品牌的文具盒进货单价分别为 15 元，30 元；12、考点 2（2013绍兴）某市出租车计费方法如图所示，x（km）表示行驶里程，y（元）表示车费，请根据图象回答下面的问题：（1）出租车的起步价是多少元？当 x3 时，求 y 关于 x 的函数关系式（2）若某乘客有一次乘出租车的车费为 32 元，求这位乘客乘车的里程 解析（1）根据函数图象可以得出出租车的起步价是 8 元，设当 x3 时，y 与 x 的函数关系式为 y=kx+b，运用待定系数法就可以求出结论；（2）将 y=32 代入（1）的解析式就可以求出 x 的值 答案 解：（1）由图象得：出租车的起步价是 8 元，；设当 x3 时，y 与
18、 x 的函数关系式为 y=kx+b，由函数图象，得，解得：，故 y 与 x 的函数关系式为：y=2x+2；（2）当 y=32 时，32=2x+2，x=15 答：这位乘客乘车的里程是 15km 13、考点 2 解析（1）观察图象，两个图象都为直线，都是一次函数的图象，又都过两个已知点，故可用待定系数法求解。（2）由 y 相等即可求解。（3）把 x=2500分别代入到两个解析式中求出相应的 y 即可比较。14、考点 2（2011 山东省潍坊，21，10 分）201 0 年秋冬北方严重干旱凤凰社区人畜饮用水紧张每天需从社区外调运饮用水 120 吨有关部门紧急部署从甲、乙两水厂调运饮用水到社区供水点甲
19、厂每天最多可调出 80 吨乙厂每天最多可调出 90 吨从两水厂运水到凤凰社区供水点的路程和运费如下表：(1)若某天调运水的总运费为 26700 元，则从甲、乙两水厂各调运了多少吨饮用水?(2)设从甲厂调运饮用水 x 吨总运费为 y 元。试写初 W 关于与 x 的函效关系式 怎样安排调运方案才能使每天的总运费最省?【解析】（1）设设从甲厂调运了 x 吨饮用水，从甲厂调运了 y 吨饮用水，然后根据题意毎天需从社区外调运饮用水 120 吨与某天调运水的总运费为 26700 元列方程组即可求得答案；（2）首先根据题意求得一次函数 W=2012x+1415（120-x），又由甲厂毎天最多可调出80 吨，
20、乙厂毎天最多可调出 90 吨，确定 x 的取值范围，则由一次函数的增减性即可求得答案【答案】解：（1）设从甲厂调运了 x 吨饮用水，从甲厂调运了 y 吨饮用水，由题意得：20 1214 1526700120 xyxy，解得：5070 xy，5080，7090，符合条件，从甲、乙两水厂各调运了 50 吨、0 吨吨饮用水；（2）从甲厂调运饮用水 x 吨，则需从乙调运水 120-x 吨，x80，且 120-x90，30 x80，总运费 W=2012x+1415（120-x）=30 x+25200，W 随 X 的增大而增大，当 x=30 时，W最小=26100 元，每天从甲厂调运 30 吨，从乙厂调运
21、 90 吨，每天的总运费最省 中考调研 中考命题解读 本节知识在中考中占有很大比重，多以填空题、选择题、解答题的形式出现，尤其在一些综合题中考查的比较多，主要考查一次函数与二元一次方程组的应用，及利用待定系数法确定一次函数的解析式，同时也考查了应用数学的能力。中考名题诠释（2013淮安）甲、乙两地之间有一条笔直的公路 L，小明从甲地出发沿公路 步行前往乙地，同时小亮从乙地出发沿公路 L 骑自行车前往甲地，小亮到达甲地停留一段时间，原路原速返回，追上小明后两人一起步行到乙地设小明与甲地的距离为 y1米，小亮与甲地的距离为 y2米，小明与小亮之间的距离为 s 米，小明行走的时间为 x 分钟y1、y
22、2与 x 之间的函数图象如图 1，s 与 x 之间的函数图象（部分）如图 2（1）求小亮从乙地到甲地过程中 y1（米）与 x（分钟）之间的函数关系式；（2）求小亮从甲地返回到与小明相遇的过程中 s（米）与 x（分钟）之间的函数关系式；（3）在图 2 中，补全整个过程中 s（米）与 x（分钟）之间的函数图象，并确定 a 的值 解析（1）设小亮从乙地到甲地过程中 y1（米）与 x（分钟）之间的函数关系式为y1=k1x+b，由待定系数法根据图象就可以求出解析式；（2）先根据函数图象求出甲乙的速度，然后与追击问题就可以求出小亮追上小明的时间，就可以求出小亮从甲地返回到与小明相遇的过程中 s（米）与 x
23、（分钟）之间的函数关系式；（3）先根据相遇问题建立方程就可以求出 a 值，10 分钟甲、乙走的路程就是 相距的距离，14 分钟小明走的路程和小亮追到小明时的时间就可以补充完图象 答案 解：（1）设小亮从乙地到甲地过程中 y1（米）与 x（分钟）之间的函数关系式为 y1=k1x+b，由图象，得，解得：，y1=200 x+2000；（2）由题意，得 小明的速度为：200040=50 米/分，小亮的速度为：200010=200 米/分，小亮从甲地追上小明的时间为 2450（20050）=8 分钟，24 分钟时两人的距离为：S=2450=1200，32 分钟时 S=0，设 S 与 x 之间的函数关系式为：S=kx+b，由题意，得，解得：，S=150 x+4800；（3）由题意，得 a=2000（200+50）=8 分钟，X|k|B|1.c|O|m 当 x=24 时，S=1200 当 x=32 时，S=0 故描出相应的点就可以补全图象 如图：教材习题全解