《2012-2013学年江苏省扬州中学高三(上)10月月考数学试卷解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2012-2013学年江苏省扬州中学高三(上)10月月考数学试卷解析.pdf（20页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 2012-2013 学年江苏省扬州中学高三（上）10 月月考数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分）1（5 分）已知集合 A=0，1，B=1，0，a+3，且 AB，则 a=2 考点：集合的包含关系判断及应用 专题：计算题 分析：由 A 为 B 的子集，得到 A 中的所有元素都属于 B，得到 a+3=1，即可求出 a 的值 解答：解：集合 A=0，1，B=1，0，a+3，且 AB，a+3=1，解得：a=2 故答案为：2 点评：此题考查了集合的包含关系判断与应用，弄清题意是解本题的关键 2（5 分）在复平面内，复数对应的点在第 一 象限 考点
2、：复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义 专题：计算题 分析：利用两个复数代数形式的乘除法法则，虚数单位 i 的幂运算性质，化简所给的复数，求出它在复平面内对应点的坐标，从而得出结论 解答：解：复数=+i，它在复平面内对应点的坐标为（，），在第一象限，故答案为 一 点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位 i 的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题 3（5 分）已知 510终边经过点 P（m，2），则 m=2 考点：诱导公式的作用；任意角的三角函数的定义 专题：计算题 分析：直接利用任意角的三角函数的定义，求出 510的正弦值，即可求出 m 解答：解
3、：因为 510终边经过点 P（m，2），所以 sin510=，所以 sin150=，即 sin30=，解得 m=2 因为 510是第二象限的角，所以 m=2 故答案为：2 点评：本题考查诱导公式的作用，任意角的三角函数的定义的应用，考查计算能力 4（5 分）（2008普陀区二模）已知向量，若，则实数 n=3 考点：平面向量数量积的运算 专题：计算题 分析：先求出|+|的解析式，再求出 的解析式，根据题中的已知等式建立方程求出实数 n 解答：解：|+|=|（3，n+1）|=，=（1，1）（2，n）=2+n，由题意知 9+（n+1）2=n2+4n+4，n=3，故答案为 3 点评：本题考查向量的模的
4、计算方法，两个向量的数量积公式的应用 5（5 分）已知等差数列的前 n 项和为 Sn，若 a4=18a5，则 S8=72 考点：等差数列的前 n 项和 专题：计算题 分析：先根据 a4=18a5求得 a4+a5，进而求得 a1+a8代入 S8中答案可得 解答：解：a4=18a5，a4+a5=18，a1+a8=18，S8=72 故答案为 72 点评：本题主要考查了等差数列的性质解题的关键是利用等差中项简化了解题的步骤 6（5 分）（2011上海二模）已知直线 m平面，直线 n 在平面 内，给出下列四个命题：mn；m n；mn；m n，其中真命题的序号是，考点：直线与平面垂直的性质 分析：由已知中
5、直线 m平面，直线 n平面，我们根据面面平行的性质及线面垂直的性质和几何特征，可以判断的真假，根据面面垂直的几何特征可以判断的真假，根据面面平行的判定定理，可以判断的对错，根据面面垂直的判定定理，可以判断的正误，进而得到答案 解答：解：直线 m平面，直线 n平面，当 时，直线 m平面，则 mn，则正确；直线 m平面，直线 n平面，当 时，直线 m 平面 或直线 m平面，则 m 与 n 可能平行也可能相交也可能异面，故错误；直线 m平面，直线 n平面，当 mn 时，则直线 n 平面 或直线 m平面，则 与 可能平行也可能相交，故错误；直线 m平面，直线 n平面，当 m n 时，则直线直线 n平面
6、，则，故正确；故答案为：点评：本题考查的知识点是空间直线与平面垂直的性质，熟练掌握空间直线与平面之间各种关系的几何特征是解答本题的关键 7（5 分）函数 y=x+2cosx 在区间上的最大值是 考点：利用导数求闭区间上函数的最值 专题：计算题 分析：对函数 y=x+2cosx 进行求导，研究函数在区间上的极值，本题极大值就是最大值 解答：解：y=x+2cosx，y=12sinx 令 y=0 而 x则 x=，当 x0，时，y0 当 x，时，y0 所以当 x=时取极大值，也是最大值；故答案为 点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最大值问题，属于导数的基础题 8（5 分）（2013石景山区一模）
7、在 ABC 中，若，则 C=考点：正弦定理 专题：计算题；压轴题 分析：利用正弦定理化简已知的等式，把 sinB 的值代入求出 sinA 的值，由 a 小于 b，根据大边对大角，得到 A 小于 B，即A 为锐角，利用特殊角的三角函数值求出 A 的度数，进而利用三角形的内角和定理即可求出 C 的度数 解答：解：b=a，根据正弦定理得 sinB=sinA，又 sinB=sin=，sinA=，又 ab，得到 A B=，A=，则 C=故答案为：点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦定理，三角形的边角关系，三角形的内角和定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键 9（5 分）
8、已知 a0，b0，a+b=2，则的最小值是 考点：基本不等式 专题：不等式的解法及应用 分析：利用题设中的等式，把 y 的表达式转化成（）（）展开后，利用基本不等式求得 y 的最小值 解答：解：a+b=2，=1 y=（）（）=+2=（当且仅当 b=2a 时等号成立）则的最小值是 故答案为：点评：本题主要考查了基本不等式求最值注意把握好一定，二正，三相等的原则 10（5 分）已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组给定，若 M（x，y）为 D 上的动点，点 A 的坐标为，则的最大值为 4 考点：简单线性规划；平面向量数量积的运算 专题：数形结合 分析：首先画出可行域，z=代入坐标变为
9、 z=x+y，即 y=x+z，z 表示斜率为 的直线在 y 轴上的截距，故求 z 的最大值，即求 y=x+z 与可行域有公共点时在 y 轴上的截距的最大值 解答：解：由不等式组给定的区域 D 如图所示：z=x+y，即 y=x+z 首先做出直线 l0：y=x，将 l0平行移动，当经过 B 点时在 y 轴上的截距最大，从而 z 最大 因为 B（，2），故 z 的最大值为 4 故答案为：4 点评：本题考查线性规划、向量的坐标表示、平面向量数量积的运算等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题 11（5 分）函数 f（x）=x2+bx 在点 A（1，f（1）处的切线方程为 3xy1=0
10、，设数列的前 n 项和为 Sn，则 S2012为 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；数列的求和 专题：导数的概念及应用；等差数列与等比数列 分析：对函数求导，根据导数的几何意义可求切线在 x=1 处的斜率，然后根据直线平行时斜率相等的条件可求 b，代入可求f（n），利用裂项求和即可求 解答：解：f（x）=x2+bx f（x）=2x+b y=f（x）的图象在点 A（1，f（1）处的切线斜率 k=f（1）=2+b 切线与直线 3xy+2=0 平行 b+2=3 b=1，f（x）=x2+x f（n）=n2+n=n（n+1）=S2012=+=1+=1=故答案为 点评：本题以函数的导数的几何意义为载体
11、，主要考查了切线斜率的求解，两直线平行时的斜率关系的应用，及裂项求和方法的应用 12（5 分）设若存在互异的三个实数 x1，x2，x3，使 f（x1）=f（x2）=f（x3），则 x1+x2+x3的取值范围是（3，4）考点：根的存在性及根的个数判断 专题：数形结合；函数的性质及应用 分析：先作出函数 f（x）的图象，利用图象分别确定 x1，x2，x3，的取值范围 解答：解：不妨设 x1x2x3，当 x0 时 f（x）=（x2）2+2，此时二次函数的对称轴为 x=2，最小值为 2，作出函数 f（x）的图象如图：由 2x+4=2 得 x=1，由 f（x）=（x2）2+2=4 时，解得 x=2或 x
12、=2，所以若 f（x1）=f（x2）=f（x3），则1x10，且，即 x2+x3=4，所以 x1+x2+x3=4+x1，因为1x10，所以 34+x14，即 x1+x2+x3的取值范围是（3，4）故答案为：（3，4）点评：本题主要考查利用函数的交点确定取值范围，利用数形结合，是解决本题的关键 13（5 分）已知 ABC 中，AB=3，AC=2，BAC=120，点 O 是 ABC 的外心，且，则+=考点：三角形五心；向量在几何中的应用 专题：计算题 分析：建立直角坐标系，求出三角形各顶点的坐标，因为 O 为 ABC 的外心，把 AB 的中垂线 m 方程和 AC 的中垂线 n 的方程，联立方程组，
13、求出 O 的坐标，利用已知向量间的关系，待定系数法求 和 的值 解答：解：如图：以 A 为原点，以 AB 所在的直线为 x 轴，建立直角系：则 A（0，0），B（3，0），C（1，），O 为 ABC 的外心，O 在 AB 的中垂线 m：x=上，又在 AC 的中垂线 n 上，AC 的中点（，），AC 的斜率为 tan120=，中垂线 n 的方程为 y=（x+）把直线 m 和 n 的方程联立方程组，解得 ABC 的外心 O（，），由条件，得（，）=（3，0）+（1，）=（3，），解得=，=，+=故答案为：点评：本题考查求两条直线的交点坐标的方法，三角形外心的性质，向量的坐标表示及向量相等的条件，待
14、定系数法求参数值属中档题 14（5 分）数列an满足 a1=a（0，1，且 an+1=，若对任意的，总有 an+3=an成立，则 a 的值为 或 1 考点：数列递推式 专题：综合题；分类讨论 分析：由 a1=a（0，1，知 a2=2a（0，2，当时，a3=2a2=4a，若，a4=2a3=8aa1，不合适；若，=a，解得当时，=a解得 a=1 解答：解：a1=a（0，1，a2=2a（0，2，当时，a3=2a2=4a，若，则 a4=2a3=8aa1，不合适；若，则，解得 当时，=a，解得 a=1 综上所述，或 a=1 故答案为：或 1 点评：本题考查数列的递推式的应用，综合性强，难度大，是高考的重
15、点解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用 二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分）15（14 分）（2009江苏模拟）在 ABC 中，设角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 sinA=sinB=cosC，（1）求角 A，B，C 的大小；（2）若 BC 边上的中线 AM 的长为，求 ABC 的面积 考点：解三角形；二倍角的余弦；正弦定理的应用 专题：计算题 分析：（1）由正弦定理、二倍角公式结合题中的条件可得，故有，（2）在 ABM 中，由余弦定理得，在 ABC 中，由正弦定理可得，由解得 a，b，c 的值，即可求得 ABC 的面积 解答：解：（1）由 sinA=sinB 知
16、 A=B，所以 C=2A，又 sinA=cosC 得，sinA=cos2A，即 2sin2A+sinA1=0，解得，sinA=1（舍）故，（2）在 ABC 中，由于 BC 边上中线 AM 的长为，故在 ABM 中，由余弦定理得，即 在 ABC 中，由正弦定理得，即 由解得 故 点评：本题考查正弦定理、余弦定理、二倍角公式的应用，求出，是解题的难点 16（15 分）（2013惠州二模）正方体 ABCD_A1B1C1D1，AA1=2，E 为棱 CC1的中点 （）求证：B1D1AE；（）求证：AC 平面 B1DE；（）求三棱锥 ABDE 的体积 考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直
17、线与平面垂直的性质 专题：空间位置关系与距离 分析：（I）先证 BD面 ACE，再利用线面垂直的性质，即可证得结论；（II）连接 AF、CF、EF，由 E、F 是 CC1、BB1的中点，易得 AF ED，CF B1E，从而可证平面 ACF 面 B1DE进而由面面平行的性质可得 AC 平面 B1DE；（）三棱锥 ABDE 的体积，即为三棱锥 EABD 的体积，根据正方体棱长为 2，E 为棱 CC1的中点，代入棱锥体积公式，可得答案 解答：证明：（1）连接 BD，则 BD B1D1，（1 分）ABCD 是正方形，ACBD CE面 ABCD，CEBD 又 ACCE=C，BD面 ACE（4 分）AE面
18、 ACE，BDAE，B1D1AE（5 分）（2）连接 AF、CF、EF E、F 是 CC1、BB1的中点，CE 平行且等于 B1F，四边形 B1FCE 是平行四边形，CF B1E，CF平面 B1DE，B1E平面 B1DE（7 分）CF 平面 B1DE E，F 是 CC1、BB1的中点，EF 平行且等于 BC 又 BC 平行且等于 AD，EF 平行且等于 AD 四边形 ADEF 是平行四边形，AF ED，AF平面 B1DE，ED平面 B1DE（7 分）AF 平面 B1DE AFCF=F，平面 ACF 平面 B1DE（9 分）又 AC平面 ACF AC 平面 B1DE；解：（）三棱锥 ABDE 的
19、体积，即为三棱锥 EABD 的体积 V=ADABEC=221=点评：本题主要考查线面垂直和面面平行，解题的关键是正确运用线面垂直和面面平行的判定定理，属于中档题 17（14 分）已知数列an是首项 a1=a，公差为 2 的等差数列，数列bn满足 2bn=（n+1）an；（）若 a1、a3、a4成等比数列，求数列an的通项公式；（）若对任意 nN*都有 bnb5成立，求实数 a 的取值范围 考点：等比关系的确定；数列的函数特性 专题：等差数列与等比数列 分析：（I）因为 a1、a3、a4成等比数列，所以 a1a4=a32，由此能求出 an（II）由 2bn=（n+1）an，结合配方法，即可求实数
20、 a 的取值范围 解答：解：（）因为 a1、a3、a4成等比数列，所以 a1a4=a32，即 a（a+6）=（a+4）2，a=8，an=8+（n1）2=2n10，（II）由 2bn=（n+1）an，bn=n2+n+=（n+）2（）2，由题意得：，22a18 点评：本题考查数列与函数的综合，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 18（15 分）某企业拟在 2012 年度进行一系列促销活动，已知某产品年销量 x 万件与年促销费用 t 万元之间满足 3x 与 t+1成反比例，当年促销费用 t=0 万元时，年销量是 1 万件，已知 2012 年产品的设备折旧、维修等固定费用为 3 万元，每生产 1万
21、件产品需再投入 32 万元的生产费用若将每件产品售价定为：其生产成本的 150%与“平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的商品正好能销完（1）将 2012 年的利润 y（万元）表示为促销费 t（万元）的函数（2）该企业 2012 年的促销费投入多少万元时，企业年利润最大？（注：利润=销售收入生产成本促销费，生产成本=固定费用+生产费用）考点：函数模型的选择与应用 专题：应用题；函数的性质及应用 分析：（1）根据 3x 与 t+1 成反比例，当年促销费用 t=0 万元时，年销量是 1 万件，可求出 k 的值；进而通过 x 表示出年利润 y，并化简整理，代入整理即可求出 y 万元表示为促销费 t
22、 万元的函数；（2）利用基本不等式求出最值，即可得结论 解答：解：（1）由题意：，将 t=0，x=1 代入得 k=2 当年生产 x（万件）时，年生产成本=，当销售 x（万件）时，年销售收入=150%由题意，生产 x 万件产品正好销完，年利润=年销售收入年生产成本促销费 即（2），此时 t=7，ymax=42 点评：本题主要考查函数模型的选择与应用，考查基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题 19（16 分）已知函数，a 为正常数 （）若 f（x）=lnx+（x），且，求函数 f（x）的单调减区间；（）若 g（x）=|lnx|+（x），且对任意 x1，x2（0，
23、2，x1x2，都有，求 a 的取值范围 考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 专题：导数的概念及应用 分析：（）求导函数，令其小于 0，结合函数的定义域，可求函数的单调减区间；（）由已知，构造 h（x）=g（x）+x，利用导数研究其单调性，及最值进行求解 解答：解：（），令 f（x）0，得，故函数 f（x）的单调减区间为 （5 分）（），设 h（x）=g（x）+x，依题意，h（x）在（0，2上是减函数，当 1x2 时，h（x）=lnx+x，令 h（x）0，得 a对 x1，2恒成立 设，则，1x2，m（x）在1，2上是增函数，则当 x=2 时，m（x）有最大值为，当 0
24、x1 时，令 h（x）0，得：，设，则，t（x）在（0，1）上是增函数，t（x）t（1）=0，a0，综上所述，（16 分）点评：本题考查函数单调性与导数的关系及应用，考查转化、计算能力 20（16 分）已知集合 A=x|x2+a（a+1）x，aR（1）是否存在实数 a，使得集合 A 中所有整数的元素和为 28？若存在，求出符合条件的 a，若不存在，请说明理由（2）若以 a 为首项，a 为公比的等比数列前 n 项和记为 Sn，对于任意的 nN+，均有 SnA，求 a 的取值范围 考点：一元二次不等式的解法；集合的包含关系判断及应用；等比数列的前 n 项和 专题：计算题；压轴题 分析：（1）利用因
25、式分解法求解含字母的一元二次不等式，写解集时要注意对字母 a 进行讨论，注意存在性问题的解决方法，只需找出合题意的实数 a 即可；（2）写出该数列的通项公式是解决本题的关键注意对字母 a 的讨论，利用 SnA 得出关于 a 的不等式或者找反例否定某种情况，进行探求实数 a 的取值范围 解答：解：（1）当 a1 时，A=x|ax1，不符合；当 a1 时，A=x|2x1，设 an，n+1），nN，则 1+2+n=28，所以 n=7，即 a7，8）（2）当 a1 时，A=x|1xa而 S2=a+a2A，故 a1 时，不存在满足条件的 a；当 0a1 时，A=ax1，而是关于 n 的增函数，所以 Sn
26、随 n 的增大而增大，当且无限接近时，对任意的 nN+，SnA，只须 a 满足解得 当 a1 时，A=x|ax1 而 S3a=a2+a3=a2（1+a）0，S3A 故不存在实数 a 满足条件 当 a=1 时，A=x|1x1S2n1=1，S2n=0，适合 当1a0 时，A=x|ax1S2n+1=S2n1+a2n+a2n+1=S2n1+a2n+a2n+1=S2n1+a2n（1+a）S2n1，S2n+2=S2n+a2n+1+a2n+2=S2n+a2n+1+a2n+2=S2n+a2n+1（1+a）S2n，S2n1S2n+1，S2n+2S2n，且 S2=S1+a2S1 故 S1S3S5S2n+1S2nS
27、2n2S4S2 故只需即 解得1a0 综上所述，a 的取值范围是 点评：本题属于含字母二次不等式解法的综合问题，关键要对字母进行合理的讨论注意存在性问题问题的解决方法，注意分类讨论思想的运用，注意等比数列中有关公式的运用 三、加试题 21（10 分）已知O 的方程为（为参数），求O 上的点到直线（t 为参数）的距离的最大值 考点：直线的参数方程；圆的参数方程 专题：探究型 分析：分别将圆和直线的参数方程转化为普通方程，利用直线与圆的位置关系求距离 解答：解：将圆转化为普通方程为 x2+y2=8，所以圆心为（0，0），半径 r=2 将直线转化为普通方程为 x+y2=0，则圆心到直线的距离 d=，
28、所以O 上的点到直线的距离的最大值为 d+r=3 点评：本题主要考查直线与圆的参数方程以及直线与圆的位置关系的判断将参数方程转化为普通方程是解决本题的关键 22（10 分）在四棱锥 SOABC 中，SO平面 OABC，底面 OABC 为正方形，且 SO=OA=2，D 为 BC 的中点，=，问是否存在 0，1使？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由 考点：棱锥的结构特征 专题：计算题；压轴题 分析：本题可以建立空间直角坐标系，直接利用坐标求解 解答：解题探究：本题考查在空间直角坐标系下，空间向量平行及垂直条件的应用 解：O 为原点，、方向为 X 轴、Y 轴，Z 轴的正方向建立空间直角坐标系 则
29、 O（0，0，0），S（0，0，2），A（2，0，0），B（2，2，0），c（0，2，0），D（1，2，0），则，要使，则，即（22）4=0，存在，使 点评：本题考查学生对于空间直角坐标系的利用，以及对于坐标的利用，是中档题 23（10 分）（2011朝阳区二模）为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响（）求该产品不能销售的概率；（）如果产品可以销售，则每件产品可获利 40 元；如果产品不能销售，则每件产品亏损 8
30、0 元（即获利80 元）已知一箱中有产品 4 件，记一箱产品获利 X 元，求 X 的分布列，并求出均值 E（X）考点：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件与对立事件；n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率；离散型随机变量及其分布列 专题：计算题 分析：（）记“该产品不能销售”为事件 A，然后利用对立事件的概率公式解之即可；（）由已知可知 X 的取值为320，200，80，40，160，然后根据 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率公式分别求出相应的概率，列出分布列，最后根据数学期望公式解之即可 解答：解 （）记“该产品不能销售”为事件 A，则 所以，该产品不能销售的概率为（4 分）（
31、）由已知，可知 X 的取值为320，200，80，40，160（5 分），（10 分）所以 X 的分布列为 X 320 200 80 40 160 P （11 分）E（X）=40 所以，均值 E（X）为 40（13 分）点评：本题主要考查了 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率，以及离散型随机变量的概率分别和数学期望，同时考查了计算能力，属于中档题 24（10 分）已知二项式，其中 nN，n3 （1）若在展开式中，第 4 项是常数项，求 n；（2）设 n2012，在其展开式，若存在连续三项的二项式系数成等差数列，问这样的 n 共有多少个？考点：二项式定理的应用；等差数列的性质；数列与函数
32、的综合 专题：计算题 分析：（1）利用二项式的展开式求出第 4 项，通过 x 的指数为 0，求出 a 的值（2）连续三项的二项式系数分别为、（1kn1），由题意，化简求解，利用 n为自然数求出所有的 n 的个数 解答：解：（1）为常数项，=0，即 n=18；.（3 分）（2）连续三项的二项式系数分别为、（1kn1），由题意，依组合数的定义展开并整理得 n2（4k+1）n+4k22=0，故，.（6 分）则因为 n 为整数，并且 8k+9 是奇数，所以令 8k+9=（2m+1）22k=m2+m2，代入整理得，442=1936，452=2025，故 n 的取值为 4422，4322，322，共 42 个 .（10 分）点评：本题考查二项式定理的展开式的应用，方程的思想的应用，考查计算能力