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1、24.1.3弧、弦、圆心角一、课前预习（5 5 分钟训练）1.下列说法中，正确的是（）A.等弦所对的弧相等C.圆心角相等，所对的弦相等B.等弧所对的弦相等D.弦相等所对的圆心角相等2.如图 24-1-3-1，同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于 C、D,已知 AB=4,CD=2,AB 的弦心距等于 1,那么两个同心圆的半径之比为（）图 24-1-3-1A.3:2B.V5:2C.V5:V2D.5:43.半径为 R 的O 中，弦 AB=2R，弦 CD=R，若两弦的弦心距分别为 OE、OF,贝 U OE:OF 等于（）A.2:1B.3:2C.2:3D.0二、课中强化（1010 分钟训练）1.2.一条弦
2、把圆分成 1：3 两部分，贝 U 弦所对的圆心角为.弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是，弦所对的圆心角是.答案：2:2 903.如图 24-1-3-2,已知以点 O 为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦 AB 交小圆于 C、D.(1)求证：AC=DB;(2)如果 AB=6 cm,CD=4 cm,求圆环的面积.4.图 24-1-3-2如图 24-1-3-3 所示，AB 是。的弦（非直径），C、D 是 AB 上的两点，并且 AC=BD.求证：OC=OD.图 24-1-3-3如图 24-1-3-4,O O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E,已知 AE=6 cm,EB=2 cm,Z CEA=30 ,
3、求 CD 的长.5.6.如图 24-1-3-5,AB 是 OO 的直径，CD 是弦，AE CD,垂足为 E,BF CD,垂足为 F,I)我们知道 EC 和 DF 相等.若直线 EF 平移到与直径 AB 相交于 P（P 不与 A、B 重合）,在其他图 24-1-3-4条件不变的情况下，结论是否依然成立？为什么？当 EF/AB 时,情况又怎样？图 24-1-3-5三、课后巩固（3030 分钟训练）1.如图 24-1-3-6 所示，AB、CD 是O 的两条直径，弦 BE=BD，则弧 AC 与弧 BE 是否相等?为什么?图 24-1-3-62.如图 24-1-3-7 所示,AB 是。O 的弦，C、D
4、为弦 AB 上两点，且 OC=OD，延长 OC、OD,分别交 O O 于点 E、F.试证:弧 AE=弧 BF.图 24-1-3-73.如图 24-1-3-8,AB、CD、EF 都是。的直径，且/1=/2=/3,弦 AC、EB、DF 是否相等？为什么？图 24-1-3-84.为美化校园，学校准备在一块圆形空地上建花坛，现征集设计方案，要求设计的方案由圆和三角形组成（圆和三角形个数不限），并且使整个图案成对称图形案图（至少两种）.5.如图 24-1-3-9，已知在。中，AD 是 OO 的直径，BC 是弦，AD BC,E 为垂足，由这些条件你能推出哪些结论？（要求：不添加辅助线，不添加字母，不写推理
5、过程，只写出，请你画出你的设计方6 条以上的结论）D6.图 24-1-3-9如图 24-1-3-10,AB 为 O 的弦，P 是 AB 上一点，AB=10 cm,OP=5 cm,PA=4 cm,求图 24-1-3-107.0O 的直径为 50 cm,弦 AB/CD,且 AB=40 cm,CD=48 cm，求弦 AB 和 CD 之间的距参考答案一、课前预习（5 5 分钟训练）1.A.等弦所对的弧相等C.圆心角相等，所对的弦相等下列说法中，正确的是（）B.等弧所对的弦相等D.弦相等所对的圆心角相等思路解析：根据弧、弦、圆心角的关系知：等弦所对的弧不一定相等，圆心角相等，所对的弦相等缺少等圆或同圆的
6、条件，所以也不对；弦相等所对的圆,心角相等缺少等圆或同圆的条件，弦所对的弧也不一定是同弧，所以不正确；等弧所对的弦相等是成立的答案：B2.如图 24-1-3-1，同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于 C、D,已知 AB=4,CD=2,AB 的弦心距等于 1,那么两个同心圆的半径之比为（）图 24-1-3-1A.3:2B.J5:2C.75:J2D.5:4思路食军析：作 OE CD 于 E,贝 U CE=DE=1,AE=BE=2,OE=1.在 Rt ODE 中，OD=J2+12=72.在 Rt OEB 中，OB=“BE2+OE2=V1=J5 OB:OD=V5:V2.答案：C3.半径为 R 的O 中，
7、弦 AB=2R，弦 CD=R，若两弦的弦心距分别为 OE、OF,贝 U OE:OF 等于（）A.2:1B.3:2C.2:3D.0思路解析：AB 为直径，OE=0.OE:OF=0.答案：D二、课中强化（1010 分钟训练）1.一条弦把圆分成 1：3 两部分，贝 U 弦所对的圆心角为.1490.思路解析：X360=90，弦所对的圆心角为答案：902.弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是，弦所对的圆心角是思路解析：如图，OD AB,OD=DB=AD.设 OD=x，贝 U AD=DB=x.在 Rt ODB 中，.OD=DB,OD AB,/DOB=45./AOB=2/DOB=90,OB=.OD2 DB2,
8、X2 X2=,2x.AB:BC=1:J2=:2.弦与直径的比为显：2,弦所对的圆心角为 90。.答案：2：2 903.如图 24-1-3-2,已知以点 O 为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦 AB 交小圆于 C、D.图 24-1-3-2(1)求证：AC=DB;(2)如果 AB=6 cm,CD=4 cm,求圆环的面积.思路分析：求圆环的面积不用求出的长也求不出来.(1)证明：作 OE AB 于 E,.EA=EB,EC=ED.二 EA EC=EB ED,即 AC=BD.(2)解：连结 OA、OC.AB=6 cm,CD=4 cm,z.AE=-AB=3 cm.CE=-CD=2 cm.OA、OC,应用等量
9、代换的方法.事实上，OA、OC22S 环=兀 OA兀-电(OA2-OC2)=Tt:(AE2+OE2)(CE2+OE2)=TT(AE2 CE2)=Tt(32 22)=5 兀(cm2).4.如图 24-1-3-3 所示，AB 是。O 的弦(非直径)，C、D 是 AB 上的两点，并且 AC=BD.求证：OC=OD.图 24-1-3-3思路分析：根据弧、弦、圆心角的关系得出证法一：如图(1)，分别连结 OA、OB.OA=OB,.A=Z B.AOCA BOD.OC=OD.D证法二：如图，过点 O 作 OEL AB 于 E,.AE=BE.AC=BD,.CE=DE.OC=OD.5.如图 24-1-3-4 O
10、 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E,已知 AE=6cm,EB=2 cm,Z CEA=30 ,求 CD 的长.图 24-1-3-4思路分析：如何利用/CEA=30 是解题的关键，若作弦心距题就容易解决.解：过 O 作 OFL CD 于 F,连结 CO.AE=6 cm,EB=2 cm,z.AB=8 cm.z.OA=1 AB=4(cm)OF,构造直角.三角形，问2OE=AE AO=2(cm).在 Rt OEF 中,.ZCEA=30,OF=1OE=1(cm).2在 Rt CFO 中，OF=1 cm,OC=OA=4(cm),.CF=(OC2 OF2=VT5(cm).又.OF CD,.DF=CF.C
11、D=2CF=2 J15(cm)6.如图 24-1-3-5,AB 是 OO 的直径，CD 是弦，AE CD,垂足为 E,BF CD,垂足为 F,我们知道 EC 和 DF 相等.若直线 EF 平移到与直径 AB 相交于 P（P 不与 A、B 重合）,在其他条件不变的情况下，结论是否依然成立？为什么？当 EF/AB 时,情况又怎样？E C图 24-1-3-5思路分析：考查垂径定理及三角形、梯形相关知识.可适当添加辅助线.解：当 EF 交 AB 于 P 时,过 O 作 OM CD 于 M,则 CM=DM.通过三角形，梯形知识或构造矩形可证明AM=MF,当 EF/AB 时,同理作 OM CD 于 M,可
12、证四边形EC=DF.AEFB 为矩形.所以 EF=AB.且 EM=MF,又由垂径定理有 CM=MD,.二 EC=DF.三、课后巩固（3030 分钟训练）1.如图 24-1-3-6 所示，AB、CD 是O 的两条直径，弦 BE=BD，则弧 AC 与弧 BE 是否相等?为什么?图 24-1-3-6圆心角、弧、弦、弦心距”四量之间思路分析：欲求两弧相等，结合图形，可考虑运用的 等对等”关系，可先求弧 AC 与弧 BE 所对的弦相等，也可利用 等量代换”的思想，先找一条弧都与弧 AC 以及弧 BE 相等.解：弧 AC=弧 BE.原因如下:法一：连结 AC，:AB、CD 是直径,Z AOC=Z BOD.
13、AC=BD.又 BE=BD,AC=BE.弧 AC=弧 BE.法二：AB、CD 是直径，/AOC=/BOD.弧 AC=弧 BD.BE=BD,.弧 BE=弧 BD.弧 AC=弧 BE.2.如图 24-1-3-7 所示，AB 是O 的弦，C、D 为弦 AB 上两点，且 OC=OD,分别延长 OC、OD,交 O O 于点 E、F.试证:弧 AE=弧 BF.图 24-1-3-7思路分析：欲求弧相等，结合图形，可先求弧所对的圆心角相等，即求 Z证明：,OC=OD,OCD=Z ODC.AO=OB,A=Z B./OCD-Z A=Z ODC-Z B,即 Z AOC=/BOD,即 Z AOE=Z BOF.弧 AE
14、=弧 BF.AOE=Z BOF.3.如图 24-1-3-8,AB、CD、EF 都是。的直径，且/1=/2=/3,弦 AC、EB、DF 是否相等？为什么？图 24-1-3-8思路分析：应用圆心角、弧、弦的关系解决解：在 O O 中，.1=/2=/3,.证明弦相等往往转化成圆心角相等又 AB、CD、EF 都是。的直径，Z FOD=Z AOC=Z BOE.弧 DF=弧 AC=弧 BE.AC=EB=DF.4.为美化校园，学校准备在一块圆形空地上建花坛，现征集设计方案，要求设计的方案由圆和三角形组成（圆和三角形个数不限），并且使整个图案成对称图形案图（至少两种）.思路解析：设计的基本思路是等分圆心角，或
15、等分圆周，取得轴（或中心）对称的对应点，适当画圆或连线，设计出一些适合要求的图案答案：根据题意画出如下方案供选用，如图5.，请你画出你的设计方，本题答案不唯一，只要符合条件即可.如图 24-1-3-9，已知在 O。中，AD 是 OO 的直径，BC 是弦，AD BC,E为垂足，由这些条件你能推出哪些结论？（要求：不添加辅助线，不添加字母，不写推理过程，只写出6 条以上的结论）图 24-1-3-9思路解析：因 AD BC,且 AD 为直径，所以可以利用垂径定理得到一些结论，同时可 证得 AD垂直平分 BC,据此又能得到许多结论.本题是 2000 年新疆建设兵团的模拟题,是一个开放性试题，开放到可以
16、不写步骤，但它比书写证明一个结论步骤的题考查面更 广，因为写出六个结论考生需要证明六个题识的好题.答案：(1)BE=CE;(2)弧 BD=弧 CD;(3)弧 AB=弧 AC(4)AB=AC;(5)BD=DC;(6)Z ABC=Z ACB;(7)Z DBC=Z DCB;(8)Z ABD=Z ACD;(9)AD 是 BC 的中垂线；(10)ABDA ACD;(11)O ABC 的外心等等.本题是一个考查考生发散思维能力和创新意6.如图 24-1-3-10,AB 为 O 的弦，P 是 AB 上一点，AB=10 cm,OP=5 cm,PA=4 cm,求O O 的半径.图 24-1-3-10思路分析：圆
17、中的有关计算，大多都是通过构造由半径、弦心距、弦的一半组成的直角 三角形，再利用勾股定理来解决.解：过 O 作 OCLAB 于 C,连结 OA,贝 U AB=2AC=2BC.在 Rt OCA 和 OCP 中，OC2=OA2 AC2,OC2=OP2-CP2,.OA2-AC2=OP2-CP2.AB=10,PA=4,AB=2AC=2BC,.CP=AB PA BC=1,AC=5.OA2-52=52 1.L OA=7,即O 的半径为 7 cm.7.0O 的直径为 50 cm,弦 AB/CD,且 AB=40 cm,CD=48 cm，求弦 AB 和 CD 之间的距 离.思路分析：（1）图形的位置关系是几何的
18、一个重要方面，应逐步加强位置感的培养本题往往会遗忘或疏漏其中的一种情况（1）解：（1）当弦 AB 和 CD 在圆心同侧时，如图（1）,作 OG AB 于 G,交 CD 于 E,连结OB、OD.AB/CD,OG AB,.OE CD.二 EG 即为 AB、CD 之间的距离.OE CD,OG AB,.BG=1 AB=-40=20(cm),（.2）22DE=【CD=1 X48=24(cm).22.EG=OG OE=15 7=8(cm).OE=.OD2-DE2=J 252-242=7(cm).在 Rt DEO中(2),当 AB、CD 在圆心两侧时，如图，同理可以求出 OG=15 cm,OE=7 cm,+OE=15 GE=OG2222+7=22(cm).=25 -20=15(cm).OG=,OB -BG在 Rt BGO中,综上所述，弦 AB 和 CD 间的距离为 22 cm 或 7 cm.