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1、二、解答题重难点突破二、解答题重难点突破题型五题型五函数应用题函数应用题类型一一次函数与反比例函数的综合应用针对演练1.“捍卫蓝天,治理雾霾”,建设环境友好型社会已经从理念变为人们的行动.某市某企业由于排污超标,于 2013 年 2 月起适当限产,并投入资金进行治污改造,5 月底治污改造工程顺利完工.已知该企业2013 年 1 月的利润为 200 万元,设第 x 个月的利润为 y 万元(2013 年1 月为第 1 个月).当 1x5 时,y 与 x 成反比例;当 x5 时,该企业每月的利润比前一个月增加 20 万元.(1)分别求 1x5 和 x5 时,y 与 x 之间的函数关系式;(2)治污改
2、造工程完工后经过几个月,该企业月利润才能达到 2013 年1 月的水平?(3)当月利润少于 100 万元时为该企业资金紧张期,问该企业资金紧张期共有几个月?2.某种商品上市之初采用了大量的广告宣传,其销售量与上市的天数之间成正比,当广告停止后,销售量与上市的天数之间成反比(如图),现已知上市 30 天时,当日销售量为 120 万件.(1)写出该商品上市以后销售量 y(万件)与时间 x(天数)之间的表达式;(2)求上市至第 100 天(含第 100 天),日销售量在 36 万件以下(不含 36万件)的天数;(3)广告合同约定,当销售量不低于 100 万件,并且持续天数不少于 12天时,广告设计师
3、就可以拿到“特殊贡献奖”,那么本次广告策划,设计师能否拿到“特殊贡献奖”?(说明:天数可以为小数,如 3.14天等)类型二二次函数图象的实际应用(抛物线型)针对演练1.(2015(2015 六安轻工学校一模六安轻工学校一模)在机器调试过程中,生产甲、乙两种产品的效率分别为 y1、y2(单位:件/时),y1、y2与工作时间 x(小时)之间大致满足如图所示的函数关系,y1的图象为折线 OABC,y2的图象是过 O、B、C 三点的抛物线的一部分.(1)根据图象回答:调试过程中,生产乙的效率高于甲的效率的时间x(小时)的取值范围是;说明线段 AB 的实际意义是;(2)求出 y2关于 x 的函数解析式;
4、(3)当工作时间为 7 小时时,生产乙种产品的效率为多少?2.两个杂技演员练习头顶接碗,甲站在 O 处抛碗,碗从 1.5 m 高的 B 处抛出,乙骑独轮车接碗,最初在距离O点3 m的A处,乙刚开始头顶有只碗,高度为 3 m,碗在空中的运行高度 y(m)与运行 的 水 平 距 离x(m)之 间 满 足 关 系 式y=a(x-2)2+h.(1)当 h=3.5 时,求 y 与 x 的关系式(不要求写出自变量 x 的取值范围);(2)当 h=3.5 时,乙是否需要移动位置才能接住碗?请说明理由;(3)若乙最多只能前后移动 0.2 m,求 h 的取值范围.3.教练对小明推铅球的录像进行技术分析,发现铅球
5、行进高度 y(m)与水平距离 x(m)之间的关系满足 y=a(x-4)2+h.(1)在某次比赛中,他第一次投掷后,铅球的最大高度为 4 m,落地点距离出手点的水平距离为 12 m.求他的出手高度是多少米?(2)第二次投掷时,由于发挥不当,结果出手高度变为 2.4 m,铅球行进中的最大高度比第一次降低了 0.8 m,求他这次投掷后落地点距离出手点的水平距离;(3)若第三次投掷后,落地点距离出手点的水平距离为 14 m,他便可以获得冠军.如果出手高度为 2.8 m,则铅球行进过程中的最大高度为多少米?类型三二次函数的实际应用针对演练1.(2015(2015 泉州泉州)某校在基地参加社会实践活动中,
6、带队老师考问学生:基地计划新建一个矩形的生物园地,一边靠旧墙(墙足够长),另外三边用总长 69 米的不锈钢栅栏围成,与墙平行的一边留一个宽为 3 米的出入口,如图所示,如何设计才能使园地的面积最大?下面是两位学生争议的情境:请根据上面的信息,解决问题:(1)设 AB=x 米(x0),试用含 x 的代数式表示 BC 的长;(2)请你判断谁的说法正确,为什么?2.(2015(2015 丹东丹东)某商店购进一种商品,每件商品进价 30 元.试销中发现这种商品每天的销售量 y(件)与每件销售价 x(元)的关系数据如下:x30323436y40363228(1)已知 y 与 x 满足一次函数关系,根据上
7、表,求出 y 与 x 之间的关系式(不写出自变量 x 的取值范围);(2)如果商店销售这种商品,每天要获得 150 元利润,那么每件商品的销售价应定为多少元?(3)设该商店每天销售这种商品所获利润为 w(元),求出 w 与 x 之间的关系式,并求出每件商品销售价定为多少元时利润最大?类型四一次、反比例和二次函数的综合应用针对演练1.如图是一种新型的滑梯的示意图,其中线段 PA 是高度为 6 米的平台,滑道 AB 是函数 y=10的图象的一部分,滑道 BCD 是二次函数图象x的一部分,两滑道的连接点 B 为抛物线的顶点,且 B 点到地面的距离为 2 米,当甲同学滑到 C 点时,距地面的距离为 1
8、 米,距点 B 的水平距离 CE 也为 1 米.(1)试求滑道 BCD 所在抛物线的解析式;(2)试求甲同学从点 A 滑到地面上 D 点时,所经过的水平距离.2.某企业投资 120 万元人民币生产甲、乙两种商品,经调查发现:甲商品获得的年利润 y1(万元)与投入的资金 x1(万元)之间的关系如下表:投入的资 1 2 3 4金 x1(万0 0 0 0元)1 1 27y1(万元)4 9 2乙商品获得的年利润 y2(万元)与投资的资金 x2(万元)之间的关系满足0.6x2(0 x250)y21x2+12(50 x2120)4年利润.(1)请你根据表中数据,在三个函数模型:y=kx+b(k、b 为常数
9、,k0);y=kx(k 为常数,k0);y=ax2+bx+c(a、b、c 为常数,a0)中,选取一个适合的函数模型,求出 y1关于 x1的函数关系式(不需写出 x1的取值范围);(2)在投资保证甲商品获得最大年利润的前提下,将剩下的资金投给乙商品,会取得多少总利润;(3)要想获得的年总利润最大,应怎样分配投资金额?并求出最大年总利润.【答案】【答案】类型一一次函数与反比例函数的综合应用针对演练1.(1)【思路分析】【思路分析】当 1x5 时,y 与 x 成反比例;当 x5 时,该企业每月的利润比前一个月增加 20 万元.从而可分别求出函数解析式;解解:当 1x5 时,设 y=kx,把(1,20
10、0)代入,得 k=200,即 y=200;x当 x=5 时,y=200=40,5所以当 x5 时,y=40+20(x-5)=20 x-60;(2)【思路分析】【思路分析】2013 年 1 月的水平为 200 万元,把 200 代入函数解析式即可求解;解解:当 y=200 时,20 x-60=200,x=13,x-5=13-5=8,所以治污改造工程完工后经过 8 个月,该企业月利润才能达到 2013年 1 月的水平;(3)【思路分析】【思路分析】当月利润少于 100 万元时为该企业资金紧张期,根据两个函数解析式分别求出月份即可求解.解解:对于 y=200,当 y=100 时,x=2,x由反比例函
11、数的性质知,当1x5时,y随x的增大而减小,故x=3,4,5时,y100.对于 y=20 x-60,当 y=100 时,x=8,由一次函数的性质知,当5x8时,y随x的增大而增大,故x=6,7时,y100.所以资金紧张的时间为:3,4,5,6,7 月份,共有 5 个月.2.(1)【思路分析】【思路分析】将已知点的坐标分别代入到正比例函数和反比例函数中利用待定系数法确定其解析式即可;解解:当 0 x30 时,设 y=k1x,把(30,120)代入,得 k1=4,y=4x;当 x30 时,设 y=kx,把(30,120)代入得 k2=3600,2y=3600,x综上所述,y=4x 0 x30360
12、0 x 30 x;(2)【思路分析】【思路分析】利用函数值小于 36 即可求得 x 的取值范围,从而确定天数;解解:当 0 x30 时,由 4x36,解得,x9,即 0 x9;当 30 x100 时,由360036,x解得,x100,不合条件,共有 8 天;(3)【思路分析】【思路分析】分别求得销量不低于 100 万件的天数,相加后若大于等于 12 天即可拿到特殊贡献奖,否则不能.解解:当 0 x30 时,由 4x100,解得,x25,即 25x30,有 6 天;当 x30 时,由3600100,解得,x36,x即 30 x36,有 6 天,共有 6+6=12 天,因此设计师可以拿到特殊贡献奖
13、.类型二二次函数图象的实际应用(抛物线型)针对演练1.(1)【思路分析】【思路分析】根据 y2图象在 y1上方的部分,可得答案;根据线段AB 的工作效率没变,可得答案;解解:2x8且x6;从第一小时到第六小时甲的工作效率是3件/时;解法提示由题意可知,x 的取值范围为 y2图象在 y1图象上方的部分,生产乙的效率高于甲的效率的时间 x(小时)的取值范围是 2x8且 x6;(2)【思路分析】思路分析】由题图可知 y2关于 x 的函数解析式为二次函数,观察图象可得抛物线的顶点和点 B 的坐标,因此设顶点式即可求出抛物线的解析式;解解:由题意知抛物线的顶点坐标为(4,4),点 B 的坐标为(6,3)
14、,设 y2关于 x 的函数解析式为:y2=a(x-4)2+4,点 B(6,3)在抛物线的图象上,3=a(6-4)2+4,解得,a=-1,42y2关于 x 的函数解析式为:y2=-1(x-4)+4(0 x8);4(3)【思路分析】【思路分析】把 x=7 代入(2)中所求的解析式,求出 y 值即可.解解:当 x=7 时,y2=-(7-4)+4=7.4142当工作时间为 7 小时时,生产乙种产品的效率为7件/时.42.解解:(1)把 x=0,y=1.5 及 h=3.5 代入函数关系式得:1.5=(0-2)2a+3.5,解得 a=-1,227y=-1(x-2)+2;227(2)h=3.5 时,y=-1
15、(x-2)+.2227令 x=3,y=-1(x-2)+2=3,2乙不需要移动恰好能接住碗;232h(3)把 x=0,y=1.5 代入函数关系式得:3=a(0-2)+h,解得 a=,28y=32h8(x-2)+h.2乙往前移动 0.2 m 时,x=2.8=14,52233=382h(14-2)+h,h=,57乙往后移动 0.2 m 时,x=3.2=16,521233=382h(16-2)+h,h=,532123由得:23h.3273.(1)【思路分析】【思路分析】铅球的最大高度为 4 m,即 y=a(x-4)2+h 中的 h=4,落地点距离出手点的水平距离为12 m,则抛物线经过点(12,0),
16、将(12,0)代入解析式,求出 a 的值,从而可得抛物线的解析式,将 x=0 代入解析式就可以求出出手高度;解解:由题意知,抛物线 y=a(x-4)2+h 中 h=4,且抛物线经过点(12,0),则 a(12-4)2+4=0,1解得 a=-16,y=-(x-4)+4,1161当 x=0 时,y=-16(0-4)2+4=3,2他的出手高度是 3 米;(2)【思路分析】【思路分析】根据题意知抛物线经过点(0,2.4),且 h=4-0.8=3.2,代入解析式 y=a(x-4)2+h,求出 a 的值,即可得出第二次投掷时的抛物线的解析式,把y=0代入解析式就可以求出落地点距离出手点的水平距离;解解:由
17、题意知,抛物线 y=a(x-4)2+h 中,h=4-0.8=3.2,且抛物线经过点(0,2.4),1则 a(0-4)+3.2=2.4,解得 a=-20,1y=-20(x-4)2+3.2,2当 y=0 时,-(x-4)+3.2=0,解得 x1=12,x2=-4(舍去),1202他这次投掷后的落地点距离出手点的水平距离为 12 米;(3)【思路分析】【思路分析】用待定系数法求出 a、h 的值,再用配方法求解二次函数的最值即可求出最大高度.解解:由题意知,抛物线 y=a(x-4)2+h 经过点(14,0)和点(0,2.8),则2a(144)h 0a(04)2h 2.8,a 1解得30,h 103y=
18、-1(x-4)230+103.当 x=4 时,y 最大值=103,铅球行进过程中的最大高度为103米.类型三二次函数的实际应用针对演练1.(1)【思路分析】【思路分析】设 AB=x 米,根据等式 x+x+BC=69+3,可以求出 BC的表达式;解解:设 AB=x 米,由题意可得 BC=69+3-2x=72-2x;(2)【思路分析】【思路分析】得出面积关系式,根据所求关系式进行判断即可.解解:小英说法正确;矩形面积 S=x(72-2x)=-2(x-18)2+648,72-2x0,x36,0 x36,当 x=18 时,S 取最大值,此时 x72-2x,面积最大的不是正方形.2.解解:(1)设该函数
19、的表达式为 y=kx+b,根据题意,得40 30k b36 32k b,k 2解得,.b 100故该函数的表达式为 y=-2x+100;(2)根据题意,得,(-2x+100)(x-30)=150,解方程得,x1=35,x2=45,故每件商品的销售价定为 35 元或 45 元时,日利润为 150 元;(3)根据题意,得w=(-2x+100)(x-30)=-2x2+160 x-3000=-2(x-40)2+200,w 与 x 之间的关系式为 w=-2(x-40)2+200,a=-20,抛物线开口向下,函数有最大值,即当 x=40 时,w 的值最大,当销售单价为 40 元时获得利润最大.类型四一次、
20、反比例和二次函数的综合应用针对演练1.(1)【思路分析】【思路分析】B 点既在双曲线上,又在抛物线上,根据题中数据可求出 B 点坐标.又因为点 B 为抛物线的顶点,且 B 点到地面的距离为2 米,当甲同学滑到 C 点时,距地面的距离为 1 米,距点 B 的水平距离CE 也为 1 米.据此可求出解析式;解解:依题意,B 点到地面的距离为 2 米,设 B 点坐标为(x,2),代入 y=10,得 x=5,x点 B(5,2),C 点距地面的距离为 1 米,距点 B 的水平距离 CE 也为 1 米,点 C(6,1),设滑道 BCD 所在抛物线的解析式为 y=a(x-5)2+2,将 C 的坐标(6,1)代
21、入,得a+2=1,解得,a=-1,2则 y=-(x-5)+2;(2)【思路分析】【思路分析】依据前面的解析式求出 A、D 的横坐标,两横坐标之间的差距即为所经过的水平距离.解解:在 y=-(x-5)2+2 中,令 y=0,解得 x1=5-2(舍),x2=5+2,即 D(5+2,0).将 y=6 代入 y=10,x5得 x=5,即 A(,6).33甲同学从点 A 滑到地面上 D 点时,10所经过的水平距离为2+5-5=(+2)米.3x2.(1)【思路分析】【思路分析】根据表格中的数据,得出 y1关于 x1的函数关系式为二次函数,用待定系数法求出解析式即可;解解:经判断两种函数模型不符合要求,设
22、y1=ax+bx1+c,把(10,7),(20,14),(30,19)代入关系式,21得100a10bc 7400a20bc 14900a30bc 19,解得1a 100b 1c 2,1y1=-100 x+x1-2,21把(40,22)代入也满足上述关系式,故该函数关系式为1y1=-100 x+x1-2;21(2)【思路分析】【思路分析】根据题意先求出甲商品获得的最大年利润,再求出乙商品的最大年利润,两者相加即可;解解:y1=-x+x1-2=-(x1-50)+23,11002111002当 x1=50 时,y1取得最大值,最大值为 23,剩下的资金为 120-50=70(万元),即投给乙商品
23、70 万元,y2=1470+12=29.5(万元),取得的总利润为:23+29.5=52.5(万元);(3)【思路分析】【思路分析】需分情况讨论,比较两种情况,取较大的即可.解解:设投资给乙商品的资金为x万元,获得的年总利润为w万元,则投资给甲商品的资金为(120-x)万元,当 0 x50 时,1w=y1+y2=-100(120-x)2+(120-x)-2+0.6x=-x+2x-2611001=-100(x-100)2+74,2当 0 x50 时,w 随 x 的增大而增大,1当 x=50 时,w 最大=-100(50-100)2+74=49(万元);当 50 x120 时,1w=y1+y2=-100(120-x)2+(120-x)-2+14x+1211=-100 x2+33x-20428651=-100(x-165)+,21650165=82.549,16投资甲商品120-82.5=37.5万元,乙商品82.5万元时,年总利润最大,且最大年总利润为865万元.16