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1、.开始 i=2,sum=0 sum=sum+i i=i+2 i100?否 是 输出sun 结束 正视图 侧视图 俯视图 3 3 1 厦门二中 2013 届高三数学(理科)试题 姓名 班级 座号 成绩 一、选择题：本大题共 10 小题每小题 5 分，共 50 分每个小题有且仅有一个选项是正确的 1复数3(1)(2)iii（）.A3i B3i C3i D3i 2已知命题p：1sin,xRx，则（）A.1sin,:xRxp B.1sin,:xRxp C.1sin,:xRxp D.1sin,:xRxp 3一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是（）A3 B52 C2 D32 4曲
2、线1yx与直线14xx、及 x 轴所围成的区域的面积是（）A34 Bln2 C2ln 2 Dln2 1 5已知条件p:k=3，条件q：直线2 kxy与圆122 yx相切，则p是q的 ()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 6已知数列 na的前n项和为nS，且nS是na与 1 的等差中项，则na等于 ()A1 B-1 Cn)1(D1)1(n 7给出下面的程序框图，那么输出的数是（）.A2450 B.2550 C.5050 D.4900 801lgxx有解的区域是（）A(0,1 B(1,10 C(10,100 D(100,)9有 6 个座位连成一排，现有 3
3、 人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同 坐法有（）A36 种 B48 种 C72 种 D96 种 10 函数221,0()(1),0axaxxf xaex在(,)上单调，a的取值范围是（）A(,2(1,2 B2,1)2,)C(1,2 D 2,).二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分.共 20 分请将正确答案填在题后相应的横线上 11二项式621xx的展开式中，常数项为_ _.12某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班 其中甲班有40 人，乙班50 人 现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90 分，乙班的平均成绩是81 分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是 分 13椭圆的焦点及其短
4、轴端点都在以原点为圆心的同一个圆上，则此椭圆的离心率为_ _ 14已知向量)1,1(a，)cos,(sinxxb，),0(x，若ba/，则x的值是_ _ 15已知有序实数对),(ba满足3,0a，2,0b，则关于 x 的一元二次方程0222baxx有实数根的概率是_ _ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16(本小题满分 13 分)已知函数f(x)=cos2x+sinxcosx(xR)(1)求f(83)的值；(2)若20，x，求f(x)的最大值及取最大值时的x值集合 17(本小题满分 13 分)如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C
5、1D1中，E、F 分别为 AA1，和 CC1的中点(1)求证：EF平面 ACD，；(2)求EF与平面 ACD 所成角的正弦值 .18（本小题满分 13 分）甲、乙、丙三人参加了一家公司招聘面试，甲表示只要面试合格就签约；乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约，设每人面试合格的概率都是21，且面试是否合格互不影响。（1）求至少有一人面试合格的概率；（2）求签约人数的分布列和数学期望；19(本小题满分 13 分)已知点 A、B 的坐标分别为(0，32)、(0，32)，曲线 C 上任意一点 P 满足822 PBPA，且0 PBPA (1)求曲线 C 的方程；(2)已知点 Q(0，5
6、)，轨迹 C 上是否存在满足0 NQMQ的 M、N 两点？证明你的结论 .20(本小题满分 14 分)已知函数f(x)=ln(x+a)-x2-x在x=0 处取得极值(1)求实数a的值；(2)若关于x的方程，f(x)=bx 25 在区间0，2上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围；(3)证明：对任意的正整数 n，不等式 ln 211nnnn都成立 21本大题是选修 4 内容，共 14 分，共三个小题，考生在其中选择两个小题作答若三个小题都作答，则只按前面的两个小题计分（1）（本题满分 7 分）选修 4-2：矩阵与变换：给定矩阵4121A 试求矩阵A的特征值及对应的特征向量 （2）（本题满分
7、7 分）选修 4-4：极坐标与参数方程：已知直线l的参数方程：tytx412（t为参数），圆 C 的极坐标方程：4sin22，试判断直线l与圆 C 的位置关系 （3）（本题满分 7 分）选修 4-5：不等式选讲：解不等式：521xx.厦门二中 2009 届高三数学(理科)试题参考答案 一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题 5 分，满分 50 分 1 2C 3 4 5A 6D 7 8 9 10 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算.每小题 4 分.满分 20 分 1115；1285；1322；1443；1532 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，证明过
8、程或演算步骤 16本小题主要考查三角函数的倍角公式、和角公式，三角函数的图象与性质等基础知识；考查理解能力和运算能力（本题满分 13 分）解：1 cos21()sin222xf xx(4 分)2221(sin2cos2)222221sin(2)242xxx(6 分)3211(I)()sin8222f(8 分)(II)222242kxk令(10 分)322244kxk 即3()88kxkkZ时，f(x)单调递增.f(x)单调递增区间为38k，38k()kZ(13 分)17本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、二面角的概念等基础知识；考查空间想象能力。逻辑思维能力和探索问题、解决问题的能
9、力（本题满分 13 分）解：如图分别以 DA、DC、DD1所在的直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 D-xyz，由已知 得D(0，0，0)、A(2，0，0)、B(2，2，0)、C(0，2，0)、B1(2，2，2)、D1(0，0，2)、E(1，0，2)、F(0，2，1)(2 分)()易知平面ACD1的一个法向量是1DB=(2，2，2).(4 分)又EF=(-1,2，-1)，由EF1DB=-2+4-2=0，.EF1DB，而EF平面ACD1，EF平面ACD1(6 分)()设点P(2，2，t)(0t2)，平面ACP的一个法向量为n=(x，y，z)，则0,0.n ACn AP AP=(0，
10、2，t),AC=(-2，2，0)，220,20,xyytz取2(1,1,)nt.易知平面 ABC 的一个法向量1(0,0,2)BB，依题意知，=30或=150，|cos|=24|32422tt(10 分)即22434(2)4tt，解得6.3t 6(0,23，在棱BB1上存在一点P，当BP的长为63时，二面角 P-AC-B 的大小为 30.(13 分)18本小题主要考查统计与概率的基础知识，包括概率的计算，随机变量分布列及期望等；考查学生的运算求解能力，分析问题、解决问题的能力；考查必然与或然的思想及应用意识；（本题满分 13 分）解：A、B、C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格，则 21CPBP
11、AP（1）至少有一人合格的概率 P=1P（CBA）=872113 4 分（2）可能取值 0，1，2，3 5 分;83)21()21()21()()()()0(333CBAPCBAPCBAPP;83)21()21()21()()()()1(333CBAPCABPCBAPP;81)()2(BCAPP;81)()3(ABCPP 分布列为 0 1 2 3.10 分 .1813812831830E 13 分 19本小题主要考查解析几何中圆锥曲线的基础知识；考查分析问题、解决问题的能力；考查方程、数形结合的思想方法；（本题满分 13 分）(1)解：由已知得：8|PBPA 曲线C是以 A、B 为焦点的椭圆(
12、去除短轴两端点)2 分 2a=8，a=4，32c，42b 4 分 曲线C的方程为116422yx(x0)6 分 (2)解：不存在 设过点 Q(0，5)，斜率为 k 的直线方程为y=kx5(斜率不存在时，显然不合题意)由1164522yxkxy得：0910)4(22kxxk 8 分 由0 得k249 10 分 假设在轨迹C上存在两点 M、N，令 MQ、NQ 的斜率分别为 k1、k2，则|k1|23，|k2|23，显然不可能满足 k1k2=1 轨迹C上不存在满足0 NQMQ的两点 13 分 20本小题主要考查函数的导数、单调性、极值和不等式等基础知识；考查化归及数形结合的思想方法；考查分析问题、解
13、决问题的能力（本题满分 14 分）解：(1)()fx=121xxa(2 分)x=0 时，f(x)取得极值，(0)f=0，(3 分)故12 0 10a =0，解得 a=1.经检验 a=1 符合题意.(4 分)(2)由 a=1 知 f(x)=ln(x+1)-x2-x，由 f(x)=bx 25,得 ln(x+1)-x2+32x-b=0，P 83 83 81 81.令(x)=ln(x+1)-x2+32x-b，则 f(x)=52x+b在0，2上恰有两个不同的实数根等价于(x)=0 在0，2 恰有两个不同实数根(5 分)13(45)(1)()2122(1)xxxxxx，(7 分)当 x(0，1)时，()x
14、 O，于是(x)在(0，1)上单调递增；当 x(1，2)时，()x 0，于是(x)在(1，2)上单调递减(8 分)依题意有(0)0,3(1)ln(1 1)10,2(2)ln(12)430,bbb ln3-1b-1，(10 分)由()知(23)()(1)xxfxx，(11 分)令()fx=0 得，x=0 或 x=-32(舍去)，当-1x0，f(x)单调递增；当x0 时，()fx0 得，ln(1n+1)1n+21n，故 ln(1nn)21nn.(14 分)21.（1）本小题主要考查矩阵与变换的基础知识；考查运算求解的能力（本题满分 7 分）解：令04121 得到：0241 2 分 解得：3221，
15、3 分 所以，矩阵 A 的特征值为 2 和 3 当时21，0202yxyx 令,1y得2x，所以，对应的特征向量为124 分.当时32，0022yxyx 令,1y得1x，所以，对应的特征向量为116 分 矩阵的两个特征值分别是 2 和 3，它们对应的特征向量分别是12和117 分 （2）本小题主要考查参数方程的基础知识；考查运算求解的能力，考查数形结合的思想（本题满分7 分）解：将直线l的参数方程化为普通方程为：12 xy 2 分 将圆C 的极坐标方程化为普通方程为：21122yx 4 分 从圆方程中可知：圆心 C（1，1），半径2r ，所以，圆心 C 到直线l的距离rd252)1(2111222 6 分 所以直线l与圆C 相交 7 分 （3）本小题主要考查不等式的基础知识；考查运算求解的能力（本题满分 7 分）解：原不等式等价于：5122xx 或52112xxx 或5121xx 3 分 解得 23x 或 12x 或 21 x 6 分 所以 原不等式的解集为23xx 7 分