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1、工程光 郁道银 学习题解答 第十二章 光的衍射 1 波长为500nm的平行光垂直照射在宽度为0.025mm的单缝上，以焦距为50cm的会聚透镜将衍射光聚焦于焦面上进行观察，求（1）衍射图样中央亮纹的半宽度；（2）第一亮纹和第二亮纹到中央亮纹的距离；（3）第一亮纹和第二亮纹的强度。解：（1）零强度点有sin(1,2,3.)ann 中央亮纹的角半宽度为0a 亮纹半宽度2900350 10500 100.010.025 10rffma（2）第一亮纹，有1sin4.493a 9134.4934.493 500 100.02863.140.025 10rada 21150 100.02860.01431
2、4.3rfmmm 同理224.6rmm（3）衍射光强20sinII，其中sina 当sinan时为暗纹，tg为亮纹 对应 级数 0II 0 0 1 1 4.493 0.04718 2 7.725 0.01694 .2 平 行 光 斜 入 射 到 单 缝 上，证 明：（1）单 缝 夫 琅 和 费 衍 射 强 度 公 式 为20sin(sinsin)(sinsin)aiIIai 式中，0I是中央亮纹中心强度；a是缝宽；是衍射角，i是入射角（见图 12-50）（2）中央亮纹的角半宽度为cosai 工程光 郁道银 学习题解答 证明：(1)与垂直入射相比,只需将方向余弦sinl变为sinsini即可 (
3、2)令sinsinai 对于中央亮斑 sinsinia 3 在不透明细丝的夫琅和费衍射图样中，测得暗条纹的间距为1.5mm，所用透镜的焦距为30mm，光波波长为632.8nm。问细丝直径是多少？解：设直径为a，则有fda 93632.8 100.030.01261.5 10fammd 4.利用第三节的结果导出外径和内径分别为a和b的圆环（见图 12-51）的夫琅和费衍射强度公式，并求出当2ab 时，（1）圆环衍射与半径为a的圆孔衍射图样的中心强度之比；（2）圆环衍射图样第一个暗环的角半径。解：已知半径为a的圆孔的衍射场振幅为 122aJkaEpa cka 同样，圆屏使 P 点振幅减小 122b
4、JkbEpb ckb 因此圆环在 P 点产生的振幅为 i 图 12-50 习题 3 图 b a 图 12-51 习题 6 图 工程光 郁道银 学习题解答 22112aba Jkab JkbEEEckakb P 点强度为 222112224a Jkab JkbIEckakb 对于衍射场中心，0有 2224422222222204422442ababa bIccc ab 当2ab 时，（1）22224222490428416abaIcc aca 09016aII（2）第一暗纹有22110a Jkab Jkbkakb 11122aaJkaaJk 查表可有3.144ka 3.1443.1440.512
5、kaaa 4 （1）一束直径为2mm的氦氖激光（632.8nm）自地面射向月球，已知地面和月球相距33.76 10 km，问在月球上得到的光斑有多大？（2）如果用望远镜用作为扩束器将该扩展成直径为4m的光束，该用多大倍数的望远镜？将扩束后的光束再射向月球，在月球上的光斑为多大？解：（1）圆孔衍射角半宽度为0.61a 传到月球上时光斑直径为 9830.610.61 632.8 102223.76 10290.31 10Dllkma （2）若用望远镜扩束，则放大倍数为 2000倍。直径 980.610.61 632.8 102 223.76 10145.22Dllma 工程光 郁道银 学习题解答
6、5 若望远镜能分辨角距离为73 10 rad的两颗星，它的物镜的最小直径是多少？同时为了充分利用望远镜的分辨率，望远镜应有多大的放大率？解：970.610.61 550 1022.243 102Dm 人眼分辨率为412.9 10 rad 放大率472.9 109003 10M 6 若要使照相机感光胶片能分辨2 m的线距，（1）感光胶片的分辨率至少是每毫米当时线；（2）照相机镜头的相对孔径D/f至少有多大？（光波波长为550nm）解：（1）胶片分辨率为315002 10N线/毫米（2）1.220.341490DNNd 7 一台显微镜的数值孔径为0.85，问（1）它用于波长400nm时的最小分辨距
7、离是多少？（2）若利用油浸物镜使数值孔径增大到 1.45，分辨率提高了多少倍？（3）显微镜的放大率应设计成多大？（设人眼的最小分辨率为1）。解：（1）960.610.61 400 100.29 10sin0.85mnu（2）提高1.451.70.85（3）人眼在明视距离处能够分辨的长度为 422502502.9 107.25 10emmmm 放大率至少为 237.25 104250.29 101.7emmMmm 8 在双缝夫琅和费衍射实验中，所用光波波长632.8nm，透镜焦距50fcm，观察到两相邻亮条纹之间的距离1.5emm，并且第四级亮纹缺级。试求（1）双缝的缝距和缝宽；（2）第 1，2
8、，3 级亮纹的相对强度。解：（1）双缝衍射亮纹条件为sin,0,1,2.dmm 取微分有 cosdm 工程光 郁道银 学习题解答 令1m，且cos1，则d 又effd 933632.8 100.50.21 101.5 10fdme （2）衍射极小位置为sinan,1,2.0,1,2.adnmnm 取1,4nm 0.054damm （3）对于第一级亮纹有sind 即2sin2d 又4da sin4a sin4a 第一级亮纹的相对强度222102sinsinsin240.81sin24II 同理32000.4,0.09IIII 9 在双缝的一个缝前贴一块厚0.001mm，折射率为1.5的玻璃片。设
9、双缝间距为1.5 m，缝宽为0.5 m，用波长500nm的平行光垂直入射。试分析该双缝的夫琅和费衍射图样。解：衍射图样不变，干涉位置变为0sindnndm 10 一块光栅的宽度为10cm，每毫米内有 500条缝，光栅后面放置的透镜焦距为500nm。问（1）它产生的波长632.8nm的单色光的 1 级和 2 级谱线的半宽度是多少？（2）若入射光是波长为632.8nm和波长之相差0.5nm的两种单色光，它们的 1 级和 2 级谱线之间的距离是多少？工程光 郁道银 学习题解答 解：（1）6112 10500mmmmdmN 对于一级主极大有1sin18.43d 313.34 10cosfrmmNd 同
10、理324.08 10rmm（2）sindm 线色散coslm fd 1，2 级衍射线色散为 15000.26/0.002cos18.43lmmmm nmmm 20.64/lmm nm 而0.5nm 谱线间距 110.26/0.50.13llmm nmmm 20.32lmm 11 设计一块光栅，要求（1）使波长600nm的第 2 级谱线的衍射角030，（2）色散尽可能大，（3）第 3级谱线缺级，（4）在波长600nm的 2级谱线处能分辨0.02nm的波长差。在选定光栅的参数后，问在透镜的焦面上只可能看到波长600nm的几条谱线？解：为使600nm的二级谱线的衍射角30，则光栅常数d应满足 962
11、 600 102.4 10sinsin30mdm 色散cosdmdd d越小色散越大 62.4 10dm 若第三级缺级，应有630.8 10amd 由条件（4）600150000.022Nm 光栅总长度36LN dmm 工程光 郁道银 学习题解答 可看到最高级条纹为69sin2.4 104600 10ddm 可看到0,1,2 级，3级缺级，共 5 条条纹。12 为在一块每毫米1200条刻线的光栅的1 级光谱中分辨波长为632.8nm的一束氦氖激光的模结构（两个模之间的频率差为450MHz），光栅需要有多宽？解：632.8nm对应的频率为144.741 10 Hz 6414450 10632.8
12、6 104.741 10nm 光栅总条纹数为64632.81.005 106 10Nm 长度为611.005 108791200LNdmm 13 证明光束斜入射时，（1）光栅衍射强度分布公式为220sinsinsinNII式中sinsinai，sinsindi 为衍射角；i为入射角，见图12-53，N为光栅缝数。（2）若光栅常数d，光栅形成主级大的条件可以写为cosdiim 0,1,2,.m 证明：（1）与垂直入射相比，有22sinsindi sinsindi 同理sinsinai（2）光栅形成主极大有sinsindim i 图 12-53 习题 18 图 工程光 郁道银 学习题解答 2 co
13、ssin22iidm d ,0i coscos,sin222iiii 有cosdiim 14 有一多缝衍射屏如图 12-54所示，缝数为2N，缝宽为a，缝间不透明部分的宽度依次为a和3a。试求正入射情况下，这一衍射屏的夫琅和费衍射强度分布公式。解：相邻两个缝产生的相位差为，隔一缝相位差26 sina 122 sina 或 224 sina 单缝产生的复振幅为sinA，其中sina 多光束产生干涉有 1212121123121.sin.i NiiiiNiiieeeeE PAeeee sin111iNiieAee 1sinsin2exp1122iNAi Ne 设复数11exp12iMei N 则*
14、214cos2M M 3a a a 图 12-54 习题 19 图 工程光 郁道银 学习题解答 透射光强22410sinsin24cos22NII 令sinb 1,4,12 220sinsin64cos26NII 15 一块闪耀光栅宽260mm，每毫米有300个刻槽，闪耀角为077 12。（1）求光束垂直于槽面入射时，对于波长500nm的光的分辨本领；（2）光栅的自由光谱范围有多大？（3）试问空气间隔为1cm，精细度为 25 的法布里-珀罗标准具的分辨本领和自由光谱范围作一比较。解：（1）光栅刻痕数为47.8 10Nd 闪耀级数为612sin77 122 sin30013500 10mmdmm
15、m 分辨本领为610mN （2）自由光谱范围为50038.513nmm （3）F-P标准具的分辨为620.970.9710hAmss 自由光谱范围为2275000.012522 10nmh 比光栅小得多 16 一透射式阶梯光栅由 20 块折射率相同、厚度相等的玻璃平板平行呈阶梯状叠成，厚板1tcm，玻璃折射率1.5n，阶梯高度0.1dcm。以波长500nm的单色光垂直照射，试计算（1）入射光方向上干涉主极大的级次；（2）光栅的角色散和分辨本领（假定玻璃折射率不随波长变化）。解：（1）由于阶梯高度d与相比极大，所以衍射角极小，此时相邻两阶梯的光程差为cossin1nlldnld 对应0处，401
16、10nlm （2）1nldm 工程光 郁道银 学习题解答 1nmld 设n与相比变化很小，即0n 210/mrad nmd 分辨本领4510202 10AmN 17 设光栅的振幅透射系数为01010()cos2cos(2)2t xttf xtf x，这块光栅的夫琅和费衍射场中将出现几个衍射斑？各斑的中心强度与零级的比值是多少？18 在宽度为b的狭缝上放一折射率为n、折射角为的小光楔，由平面单色波垂直照射（见图 12-55），求夫琅和费衍射图样的光强分布以及中央零级极大和极小的方向。19 图 12-56为一透射型闪耀光栅，周期为d，闪耀角为，由平面波垂直入射（1）求夫琅和费衍射图样的光强分布。（
17、2）求光栅对1m 级光谱闪耀时应满足的条件。（3）试分析对1m 级闪耀时，光谱强度分布的特点。b a n 图 12-55 习题 23 图 n a d 图 12-56 习题 24 图 工程光 郁道银 学习题解答 20 如图 12-58所示，单色点光源（波长500nm）安放在离光阑1m远的地方，光阑上有一个内外半径分别为0.5mm和1mm的通光圆环。考察点 P离光阑1m（SP 连线通过圆环中心并垂直于圆环平面），问在 P点的光强和没有光阑时的光强之比是多少？解：半径为1mm的圆孔包含波带数为 22060110001000410001000500 10RrmmmmmmJr Rmmmmmm 半径为0.
18、5mm的圆屏挡住的1J 圆环通过波带数为 3，由于相邻波带相消，所以只有一个波带的光在 P 点产生振幅，无光阑时 P 点振幅为第一波带产生振幅的12，所以放置光阑前后光强变化 4倍。21 波长563.3nm的平行光正入射直径2.6Dmm的圆孔，与孔相距01rm处放一屏幕。问（1）屏幕上正对圆孔中心的 P 点是亮点还是暗点？（2）要使 P 点变成与（1）相反的情况，至少要把屏幕向前（同时求出向后）移动多少距离？解：在 P 点包含的波带数为 232209001.3 1031 563.3 10RrJRr Rr 中心为亮点 S 图 12-58 习题 28 图 P 工程光 郁道银 学习题解答 令2J 2
19、32091.3 101.52 563.3 10rmJ 4J 232091.3 100.754 563.3 10rmJ 22.试写出图中双狭缝衍射屏的复振幅透射系数的表达式(设缝宽为 a，缝距为 b，且b=4a)。(2)用单位振幅单色平面光波正入射照明时，试求在透镜 L 后焦面内沿 x 轴的复振幅分布。(3)求在透镜 L 后焦面内沿 x 轴的光强度分布。(4)指明光强度分布的特征(单缝衍射中央亮区的半角宽度；干涉主亮纹间距)。解 （1）双狭缝衍射屏的复振幅透射系数为：或 （2）复振幅分布为：（3）光强度分布为：其它及（,0)()22()22)22()22(,1)(tababababt)2()2(
20、)(abrectabrecttdeEfxfikfixEikl)()2(exp1)(2)cos()sin(2)2(exp1)()2(exp1)(22xfbxfaxfaafxfikfdeEfxfikfixEikl)(cos)sin(4)(220 xfbxfaxfaIxI1221dxeaaiklx工程光 郁道银 学习题解答 23.简要分析如图 2 所示夫琅和费衍射装置如有以下变动时，衍射图样会发生怎样的变化？1）增大透镜 L2的焦距；2）减小透镜 L2的口径；3）衍射屏作垂直于光轴的移动（不超出入射光束照明范围）。答：1）增大透镜 L2的焦距，将使接收屏上衍射图样的间隔增大。因有公式 fe，此时衍射角不变，条纹间隔e增大；2）增大透镜 L2的口径，不会改变衍射图样的分布，但进入系统的光束宽度增加，11)(122221221iklaiklaiklaiklaxaaiklxeeikldxeikliklxdeikllalaaklaklaaklaiikl)sin(2)2sin()2sin(21)(sin)(sinxfacalaca L1 L2 P 接收屏 衍射屏 光源 图 2 夫琅和费衍射系统俯视图 工程光 郁道银 学习题解答 可使光强增加；3）衍射屏垂直于系统光轴方向移动时，衍射图样不会改变，因为衍射屏移动前后光的入射角不变，缝宽不变，由衍射公式知其接收屏上的光强分布不变；