随机过程-习题-第6章.pdf

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1、|.设 有 n 维 随 机 矢 量)(21n服 从 正 态 分 布，各 分 量 的 均 值 为niaEi,2,1,，其协方差矩阵为 2222222000000aaaB 试求其特征函数。解：n 元正态分布的特征函数为 21exp),(21Bttt jtttn niaEi,2,1,),(21ntttt ，则 niijatt j1),(2122322222121nntttttattattBtt =22223232222221221nttatttattt =1121122niiiniiattt 21exp)21(exp),(112112221niiiniiinatttjatttt.设n维正态分布随机矢

2、量)(21nT各分量的均值为iEi，ni,3,2,1，各分量间的协方差为 nimimnbim,3,2,1,|,|,设有随机变量nii1，求的特征函数。解：易得：n21 111 2)1(11nniEEninii 协方差矩阵为：nnnnnnnnnn321312211121B 所以 111 111 BD=223nn 由于高斯分布的随机变量的线形组合依旧是高斯分布的，所以的特征函数为：2456822)1(exp)(tnnntnnjt 设有三维正态分布随机矢量)(321T，其各分量的均值为零，即0iE)3,2,1(i，其协方差矩阵为 333231232221131211bbbbbbbbbB 其中，233

3、2211bbb，试求：（1）321E（2）232221E（3）)()(223222221E 解：（1）由教材467P页可看出 3,2,1,321321itttuttttii jijitttuutttbtttttjiijji且3,2,1,3213213212，&3213211232133123213213211233212133213123213213,tttuuuubububtttuuutttubtttubtttubtttttt 其中：321,ttt为零均值的三元正态分布随机变量321,的特征函数 3132121exp,kkkutttt 31iikiktbu 令0321ttt，则3,2,1,0

4、,10,0,0kuk，所以 0,032132133213213tttttttttjE（2）设321123213312uuuubububN，则 3213213213,tttNtttttt 21333123321333123312321233122321222132312221133112321111231312123131222213332122231133221132132222uubuubuubbbbbtNuubuubuubbbbbtNuubuubuubbbbbtNbbbbbbbbbbbbtttN 23131233221101323212231321232132123213213032132

5、13023222132164,321321321bbbbbbtNttttttNttttttNtttttttttttNttttttNttttttttttttttt 231312332211023222132162322214,63216bbbbbbjttttttjEttt(3)2121122221222121122122112221121222112121122122221214,2,ttuubuubuuubbuububbbbttuubtttttt 3131132321332131132133113231121333113131133122321314,2,ttuubuubuuubbuububb

6、bbttuubtttttt 3232232322332232232233223232222333223232233222322324,2,ttuubuubuuubbuububbbbttuubtttttt 21222110222121422212,21bbbttttEtt 21333110232131423212,31bbbttttEtt，22333220232232423222,32bbbttttEtt 22321321222313126232221423222321222122322212232222212224bbbbbbEEEEEEEE 另一种方法是利用 设有三维正态分布的随机矢量T=1

7、,2,3的概率密度为 f(x1,x2,x3)=C)422(21exp2321222121xxxxxxx(1)证明经过线性变换=A=100721021411321 得矢量T=321,，则321,是相互统计独立的随机变量。(2)求 C 值。(解：2331222121422xxxxxxx=x1,x2,x3401015.015.02x1,x2,x3T B1=401015.015.02,B=75.15.015.07212461,B=61(1)32124111 37222 33 E21=E23713221321412241317221=0 同样可得：E31=0，E32=0 所以321,是相互统计独立的随机

8、变量(2)C=212)2(1Bn=2133)61()2(1=61】、设有零均值平稳实高斯随机过程)(t，其功率谱密度为 其它频率范围）(0)()(2)(0fffPSfS 如果对该过程每隔f21秒作一次抽样，得到样本值),0(),22(),21(ff（1）写出前面 n 个样本点)(t所取值)21(),0(fn的 n 维联合概率密度。（2）定义随机变量10)2(1nknfkn 求概率aPPn的表示式，为常数，0。解：（1）首先由功率谱密度求出自相关函数，参见P345，图 5-5 结论。ffPfffSR2)2sin()2sin()(0 )(t是零均值的、平稳实高斯过程 均值向量=0，协方差阵1,1,

9、0,),2()2(cov,)(nkifkfibbBiknnik其中 由功率谱密度的表达式，我们可以看到，该信号最大频率分量为f，而对该过程的采样频率取为 2f，这样所得样本值),0(),22(),21(ff为相互统计独立的随机变量，其协方差阵 B 为对角阵，PRbii)0(，即PPPB 所求的n 元正态分布的联合概率密度为 )()(21exp)2(1),(121221XBXBxxxfnn=21exp)2(112212niinPxP（2）记10)2(1nknfkn=a，其中111nnna。根据线性变换前后的关系，得 100)2(1nknfkEnE，22nPBaa.所以，2exp2)(222Pnx

10、Pnxf dxxfdxxfPPPPn)()(=.设有图题 6-12 所示的接收机。&图题 6-12 接收机的输入有两种可能：存在信号和噪声，)()()(tntst 仅有噪声存在（信号不存在），)()(tnt )(ts代表信号，它是一确定性信号，在(0,T)内它具有能量dttsETs02)(。)(tn代表噪声，它是零均值白高斯随机过程，)(2)()(0utNuntnE 接收机的输出为，把和门限相比较，试求 P|信号存在时，这就是发现概率；，P|信号不存在时，这就是虚警概率。解：噪声在所有频率上的功率谱密度都是常数N0/2，由于信号)(ts是确知的，所以 dttstnTyT0)()()(仍是一个高

11、斯分布的噪声，其均值为 0，方差是 2)(002NEdttsnDyDsT 分布函数为：ssENyENyp020exp221)(当有信号时，输出)(TyEs 仍是一个高斯分布的变量，只是均值为Es Tdt0)()()()()(tntntst)(t)(ts比较器 门限电平 或 发现概率 dyENEyENPsssd020exp221 dyENEyENsss020exp221【当无信号时，输出)(Ty 虚警概率 dyENyENPssfa020exp221 设有图 6-13 所示的非线性系统，它的输出、输入关系如图中所示。）图题 6-13 如果输入为零均值平稳实高斯过程，其协方差函数为 PeC)(求：（

12、1）输出均值E；（2）输出的方差D；（3）设2)(EDu，画出 u 对)(T的关系曲线。平方律器件、2xy TdtxTz021 积分（平均）TydtTz01 y()(t)(t解：(1)输出均值为 ttETETd)(102 由于)(t是零均值的，所以 PCRtE)0()0()(2 于是 PdtPTET01(2)输出的方差为 22222)(PEEEEED 其中，T TT TT TvuvuRTvuvuETvuvuTEE0 020 020 022dd,1dd)()(1dd)()(1 且 22222222)(2)0()()(,ePPRRvuEvuR 其中，vu。方法一：直接以u和v为变量进行积分，积分区

13、域下图的(a)所示 12dd2d21222220222022222TTTuvuuvueTTPPuvePPvePPTE (a)(b)图题 6-13 积分区域 方法二：设vvvu,，则图示的积分区域(a)变换成积分区域(b)12d)(|1dd)(dd)(1222200022 TTTTTTTeTTPPRTTvRvRTE 于是，得的方差为 1222TeTTPD（3）设2)(EDu，则u与T的函数关系为 12)(1)(222TeTTEDu 其曲线如下图所示 如 上 题，如 果 输 入(t)为 零 均 值 平 稳 实高 斯 过 程，其 功 率谱 密 度 为：S(f)=fA2,(ff)S(f)=0,(其他频率范围)(1)试证明 E(t)=A；(2)假定(f.T)之值很大，求的方差D的近似表示式。