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1、第一课时 简单的线性规划问题 1.设变量 x，y 满足约束条件则目标函数 z=3x-y 的取值范围是(A)(A）-,6 （B)-,-1(C）1，6（D)-6，解析：画出可行域，如图阴影部分所示。目标函数 z=3xy 可转化为 y=3x-z,作 l0:3x-y=0，在可行域内平移 l0,可知在 A 点处 z 取最小值为，在 B 点处 z 取最大值为 6。故选 A.2。设变量 x，y 满足约束条件则 z=2x+3y 的最大值为(A)(A）18(B)2 （C)3（D)0 解析：由约束条件作出可行域如图，联立解得 B(3,4）。由图可知，当目标函数图象过 B 时 z 有最大值。z=23+34=18.故
2、选 A.3。设变量 x，y 满足约束条件则目标函数 z=x+6y 的最大值为(C)（A）3(B)4(C)18(D）40 解析:由约束条件画出可行域如图中阴影部分所示，当动直线 x+6yz=0 过点(0,3)时,zmax=0+63=18.故选 C.4。设变量 x，y 满足约束条件则目标函数 z=2x+3y+1 的最大值为(B）（A）11 (B）10（C)9 （D)8.5 解析:画出不等式组表示的可行域如图所示（阴影部分），当直线 z=2x+3y+1 平移至点 A(3,1)时,目标函数 z=2x+3y+1 取得最大值 10。故选 B.5.若变量 x,y 满足则 x2+y2的最大值是（C)（A)4
3、（B）9 (C)10 (D)12 解析:作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示，设 P(x,y)为平面区域内任意一点，则x2+y2表示|OP2.由 解得故 A(3,1),由解得故 B（0,3)，由解得 故 C（0，2）。OA|2=10，OB2=9，OC|2=4.显然,当点 P 与点 A 重合时，|OP|2即 x2+y2取得最大值。所以 x2+y2的最大值为 10。故选 C.6。若实数 x，y 满足则 z=3x+2y的最小值是（B)(A）0（B）1(C）(D）9 解析：约束条件 表示的可行域如图所示，令 t=x+2y,则 y=x+t，平移直线 y=x 与可行域相交,分别在点（0，0）,(
4、0,1）处 t 取得最小值 0,最大值 2，故 z=3t1,9。故选 B。7。某旅行社租用 A,B 两种型号的客车安排 900 名客人旅行,A，B 两种车辆的载客量分别为 36人和 60 人，租金分别为 1 600 元/辆和 2 400 元/辆，旅行社要求租车总数不超过 21 辆，且 B型车不多于 A 型车 7 辆,则租金最少为（C）(A)31 200 元（B）36 000 元 (C)36 800 元(D)38 400 元 解析:设租用 A 型车 x 辆,B 型车 y 辆(x,yN),租金为 z 元,则即 画出可行域，如图，则目标函数 z=1 600 x+2 400y=800(2x+3y)在点
5、 N（5，12)处取得最小值 36 800,故选 C.8.已知 x,y 满足约束条件则（x+3）2+y2的最小值为(D）（A）(B）2 (C)8 （D）10 解析：画出可行域（如图所示)。(x+3)2+y2即点 A(3，0)与可行域上点（x，y)间距离的平方.显然|AC长度最小，所以AC|2=（0+3)2+（10)2=10.故选 D.9.若 x,y 满足约束条件则 的最大值为 .解析：由约束条件画出可行域，如图.的几何意义是可行域内的点(x,y）与原点 O 连线的斜率,所以 的最大值即为直线 OA 的斜率，又由 得点 A 的坐标为(1，3）,则()max=kOA=3。答案：3 10。已知变量
6、x，y 满足约束条件若目标函数 z=ax+y（其中 a0）仅在点（3,0）处取得最大值,则 a 的取值范围是 。解析：由约束条件画出可行域如图所示。要使 z 仅在点(3，0)处取最大值,则a-,即 a。答案:(，+)11.实数 x,y 满足不等式|x-1+|y12，则 x2+y2的最大值是 。解析：不等式x-1|+y-1|2 表示的平面区域为一个中心在(1，1)的正方形及内部区域 如图中阴影部分所示,x2+y2表示正方形区域内点（x,y）到原点的距离的平方，故 x2+y2的最大值是12+32=10.答案:10 12.已知 x，y 满足则 z=7x+5y 的最大值为 .解析:满足线性约束条件的可
7、行域是如图中的四边形 ADOE 内部的整点及边界上的整点.作直线 l0：7x+5y=0 的平行直线 l：7x+5y=z,即 y=-x+.当直线 l 过点 A 时,z 取最大值.由方程组 可以求出点 A 的坐标为(，），然而 A 不是整点，点 A 不可作为最优解。因 为 点A的 横 坐 标 为,所 以 可 以 先 求 出 横 坐 标 为1,2,3，4的 整 点 来 检验.当 x=1 时，代入不等式组得-y,取 y=5；当 x=2 时，代入得 0y4，取 y=4；当 x=3 时，取 y=2；当 x=4 时,取 y=1。所以整点为(1,5)，(2,4)，(3，2),(4，1)，代入目标函数 z=7x
8、+5y 可知，当 x=2,y=4 时,z 最大，此时 zmax=34.答案:34 13。设 E 为平面上以 A(4,1)，B（1,-6）,C(-3,2）为顶点的三角形区域（包括边界）,则z=4x-3y的最大值与最小值分别为 .解析:如图把目标函数 z=4x-3y 化为 y=x-z.当动直线 y=x-z 通过点 B 时，z 取最大值；当动直线 y=x-z 通过点 C 时，z 取最小值.所以 zmax=4（-1）-3（-6）=14;zmin=4(-3)32=-18.答案:14,18 14.如果点 P 在平面区域上，点 Q 在曲线 x2+（y+2）2=1 上，求|PQ的最小值。解:画出不等式组所表示
9、的平面区域，x2+(y+2)2=1 所表示的曲线为以（0,-2)为圆心,1 为半径的圆.如图所示,只有当点 P 在点 A（0,)，点 Q 在点 B（0，1）时,|PQ|取最小值。15。某公司计划在今年同时出售电子琴和洗衣机，由于两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力等）确定产品的月供应量,以使得总利润达到最大.已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于两种产品的有关数据如表:单位产品所需资金（百元）月资金供应量（百元）电子琴（架)洗衣机（台)成本 30 20 300 劳动力(工资）5 10 110 单位利润 6 8/试问
10、：怎样确定两种产品的供应量,才能使总利润最大，最大利润是 多少?解：设电子琴和洗衣机月供应量分别为 x 架，y 台(x，yN),总利润为 z 百元,则根据题意,有 且 z=6x+8y,作出以上不等式组所表示的平面区域，如图中所示的阴影部分.令 z=0，作直线 l：6x+8y=0，即 3x+4y=0。当移动直线 l 过图中的 A 点时，z=6x+8y 取得最大值。解方程组 得 A（4，9)，代入 z=6x+8y 得 zmax=64+89=96（百元）.所以当供应量为电子琴 4 架,洗衣机 9 台时,公司可获得最大利润,最大利润是 96 百元.16.x,y 满足约束条件若 z=y-ax 取得最大值
11、的最优解不唯一，则实数 a 的值为（D)(A）或-1(B)2 或（C）2 或 1（D）2 或1 解析:作出可行域(图中阴影部分)，由图象可知直线 z=y-ax 经过 AB 或 AC 时取得最大值的最优解不唯一,此时 a=2 或-1。故选 D。17.设实数 x，y 满足则 xy 的最大值为(A）（A)（B）(C)12 (D）16 解析先画出可行域，再将 xy 转化为矩形面积 S,求 S 的最大值。表示的可行域如图中阴影部分所示.令 S=xy,不妨设在点 M(x0，y0）处 S 取得最大值,且由图象知点 M（x0，y0)只可能在线段 AD，AB,BC 上。当 M(x0,y0）在线段 AD 上时，x
12、02，0,此时 S=xy0；当 M(x0,y0)在线段 AB 上时,x00，2,S=xy=x=x(7-）=+7x=(x7)2+,当 x0=2 时,Smax=(2-7）2+=+=12;当 M（x0，y0)在线段 BC 上时,x02，4，S=xy=x(102x)=2x2+10 x=2(x)2+，当 x0=时，Smax=.综上所述，xy 的最大值为.18。若实数 x，y 满足则 z=的取值范围为 。解析:画出可行域如图,z=表示可行域内的点 P(x,y)与点 A(1，2）连线的斜率,因为 kAB=，kOA=-2,由图知,z=的取值范围为（-,2,+)。答案：（-,2,+)19。已知实数 x，y 满足
13、不等式组求 z=|x+2y-4|的最大值.解:作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示.法一 z=|x+2y-4=，其几何意义为阴影区域内的点到直线 x+2y-4=0 的距离的倍.由得点 B 的坐标为(7，9),显然点 B 到直线 x+2y-4=0 的距离最大,此时 zmax=21。法二 由图可知，阴影区域（可行域)内的点都在直线 x+2y-4=0 的上方,显然此时有 x+2y-40,于是目标函数等价于 z=x+2y-4，即转化为一般的线性规划问题,显然当直线经过点 B 时,目标函数 z 取得最大值，由得点 B 的坐标为(7,9）,此时 zmax=21.20.设 O 为坐标原点,A(1，
14、1),若点 B(x，y)满足 试求的最大值.解：不等式 x2+y2-2x-2y+10（x-1)2+（y-1）21,作出不等式组表示的平面区域,如图阴影部分所示。=x+y,令 z=x+y,化为 y=-x+z,则将直线 y=-x 向右上方平移时，z 随之增大，当平移至通过可行域内的点(2,2）时，z 最大,所以 zmax=2+2=4,即的最大值为 4。尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进
15、步，成长。This article is collected and compiled by my colleagues and I in our busy schedule.We proofread the content carefully before the release of this article,but it is inevitable that there will be some unsatisfactory points.If there are omissions,please correct them.I hope this article can solve your doubts and arouse your thinking.Part of the text by the users care and support,thank you here!I hope to make progress and grow with you in the future.