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1、 (建议用时：90 分钟)一、填空题 1.(2014 襄阳调研)曲线 y=x3 2x+4 在点(1,3)处的切线的倾斜角为 _.解析 由 y二 3x2 2 得丫 V=1=1,即曲线在点(1,3)处的切线斜率为 1,所 以切线的倾斜角为 45 答案 45 2.函数 f(x)的定义域为 R,f(1)=2,对任意 x R,f(x)2，则 f(x)2x+4 的 解集为_.解析 设 g(x)=f(x)2x 4,由已知 g(x)=f(x)20,贝 U g(x)在(一x,+x)上递增,又 g(1)=f(1)2=0,由 g(x)=f(x)2x 40,知 x 1.答案(1,+x)3.(2014 韶关模拟)曲线
2、y=ex在点 A 处的切线与直线 xy+3=0 平行，则点 A 的坐标为_.解析 直线 xy+3=0 的斜率为 1,所以切线的斜率为 1,因为 y=ex,所 V 0 以由 y=e=1,解得 x=0,此时 y=e=1,即点 A 的坐标为(0,1).答案(0,1)4.已知函数 f(x)=2ln x xf(1),则曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程是 _.2 解析 易知 f(x)=；f(1),令 x=1，得 f(1)=2 f(1),/.f(1)=1,入 因此 f(x)=2ln x x,目(1)=1，/所求的切线方程为 y+1=1(x 1),即 x y 2=0.答案 x y 2=0 3 2 5
3、.(2014 济南质检)若 a0,b0,且函数 f(x)=4x ax 2bx+2 在 x=1 处有 极值，贝 U ab 的最大值等于 _.能力提升练 导数及其应用 ab0,又 x=1 是极值点，f(1)=12 2a 2b=0,即 a+b=6,且 a0,b0,答案 9 6.(2014 青岛模拟)幕指函数 y=f(x)g(x)在求导数时，可以运用对数法：在函数解!析式两边求对数得 In y=g(x)ln f(x)，两边求导数得 片厂=g(x)ln f(x)+g(x)f，于是 y=f(x)g(x)g x|nfx+gxf.运用此法探求 y=的 单调递增区间为 _.1 1 y 1 解析 将函数 y=x-
4、两边求对数得 In y=-|n x,两边求导数得 匚=2|n x+x x y x 1 1 1 1 1-厂 01 In x)，所以 y=yj2(1 In x)=x2(1 In x).令 y 0，即 1 In x0,.0 x0),入 入 1 令 f(x)=0,得 x=2 k1v2 0,答案 11,3)9.(2014 广州模拟)已知 e 是自然对数的底数，函数 f(x)=ex+x 2 的零点为 a,函数 g(x)=In x+x 2 的零点为 b,则 f(a),f(1),f(b)的大小关系是 _.解析 由 f(x)=ex+10,知 f(x)在 R 上是增函数，y y+f(0)=1 20.f函数 f(x
5、)的零点 aq0,1).亠，1 由 g(x)二 x+10(x0),得 g(x)在(0,+x)上单调递增.答案 f(a)vf0 时,解析 由条件，得x(x)-X3-x 2 e 2x f x 3 又 g(1)=In 1+1 20,函数 g(x)的零点 b 6(1,2),从而 0a1b2，故 f(a)vf2 时，g(x)0;当 0 x2 时，g(x)0,f(x)gx0,入 f(x)在(0,+x)上单调递增，无极大(小)值.答案 11.若曲线 f(x)ax2+In x 存在垂直于 y 轴的切线，则实数 a 的取值范围是 解析 依题意得，f(x)2ax+x 0(x0)有实根，所以 a 应0.1 1 所以
6、三角形的面积为 qx3X 1 9.解析 由题意得切点坐标为(1,1),切线斜率为 k=y|x=-1=2-3x3k=2 1=2 3X(1)4 5 6=1.故切线 I 的方程为 y(1)=x(1),整理得 x+y+2=0.|3+2+2|A/2 点 P(3,2)到直线 I 的距离为2 2=7.AJ1+1 答案今 13.(2014 山东省实验中学诊断)曲线 y=X3+x 在点 1,3 处的切线与坐标轴围 成的三角形面积为 _.解析 y=f(x)=x2+1,在点 1,3 的切线斜率为 k=f(1)=2 所以切线 4 2(1、方程为 y 3=2(x 1),即 y=2x 3,与坐标轴的交点坐标为 0,3,3
7、 0,3 因为 g(x)=警=xe2x 所以 g(x)=(xe2x)=e2x+xe2x(1)=e2X(1 x).当 0 x0；当 x1 时，g(x)g XL max f X2 min 2 2+1 2 f 14.设函数 f(x)=咒,g(x)=警，对任意 X1,X2(0,+),不等式 9 廿 2,所以 g(x)在(0,1上单调递增，在1,+鸡)上单调递减.所以当 x=1 时，g(x)取到最大值，即 g(x)max=g(1)=e.又 f(x)=e2x+x2e(x0).x 2 1 1 当且仅当 ex=x 即 x=e 时取等号，故 f(x)min=2e.入 D 又 k0,所以 k 1.答案 1，+)二
8、、解答题 15.(2013 新课标全国I卷)已知函数 f(x)=ex(ax+b)x2-4x，曲线 y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为 y=4x+4.(1)求 a，b 的值；(2)讨论 f(x)的单调性，并求 f(x)的极大值.解(1)f(x)=e0；当 x(2,ln 2)时,f(x)0).ae(1)求 f(x)在0,+x)内的最小值;3(2)设曲线 y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为 y=乂，求 a,b 的值.1 解(1)f(x)二 aex aex，令 f(x)0，得 x In a,令 f(x)0，得 x In a.所以 f(x)在(In a，+x)上递增，f(x)在(x，
9、In a)上递减.当 0a0，f(x)在(0，In a)上递减，在(一 In a，+)上递增,从而 f(x)在0，+x)上的最小值为 f(In a)=2+b.当 a 1 时，一 In a 0，f(x)在0，+)上递增，从而 f(x)在0，+)上的 1 最小值为 f(0)=a+b.2 1 3(2)依题意 f(2)=3,f=ae2 a=2，解得 ae2=2 或*(舍去)，因此 a=2 1 1 代入 f(2)=3,得 2+2+b=3,即 b=2 1 故 a=孑且 b=1 2(2)g，(x)=m 2x.当 mW0 时，g (x)0 时，令 g(x)v0,解得 xv 2m 或 x 2m,则 g(x)的单
10、调递减区间是(一x,2m),(2m,+).3 x 当 m=1 时，g(x)=x石.令 h(x)=g(x)f(x)=x sin x,x 0,+x),h(x)=1 cos x0,则 h(x)是0,+x)上的增函数.x3 故当 x0 时，h(x)h(0)=0,即 sin xvx,f(x)vg(x)+18.已知函数 f(x)=ax+xln x 的图象在点 x=e(e 为自然对数的底数)处的切线斜 率为3.(1)求实数 a 的值；(2)若 k Z,且 k1 恒成立，求 k 的最大值.解 因为 f(x)=ax+xln x,所以 f(x)=a+ln x+1.因为函数 f(x)=ax+xln x 的图象在点
11、x=e 处的切线斜率为 3,所以 f(e)=3,即 a+ln e+1=3,所以 a=1.(2)由(1)知，f(x)=x+xln x,又巳=牡 2严对任意 x1 恒成立，x 1 x1 人 x+xln x“，x ln x 2 令 g(x)=k，则 g(x)=x一-，令 h(x)=x ln x 2(x1),1 x 一 1 则 h(x)=1 -=-0,所以函数 h(x)在(1,+x)上单调递增.因为 h(3)=1 ln 30,所以方程 h(x)=0 在(1,+)上存在唯一实根 X0,且满足 X0 (3,4).当 1xxo 时，h(x)0，即 g(x)xo时，h(x)0，即 g(x)0,x 丰 xln x 所以函数 g(x)二 亠_在(i,X。)上单调递减，在(X0,+x)上单调递增，X0 1+In X0 X0 1+X0 2 所以g(X)min=g(X0)=X0 1 X0 1 所以 k0 时，f(x)vg(x)+6.解由题意得所求切线的斜率心 f&=8寸=切点 Pn，密,则切 线方程为 y-于=xn 即 x.2y+1 扌=0.