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1、目录目录一实际现象的描述3二问题的求解4 4（一）求弦振动泛定方程4（二）解弦振动方程6.达朗贝尔法求“无限和半无限的”弦振动函数6.分离变量法求两端固定弦振动方程7三 各 种 情 形 下 的 弦 振 动 求 解 及 图像9四总结2121一实际现象的描述演奏者在演奏弦乐器（如二胡、提琴）时，用弓在弦上来回拉动，并通过另一只手指在按不同弦的不同地位的协调作用，奏出各种不同的美妙的音乐。演奏者所用的乐器不同，奏出音乐的悦耳度也就不同。演奏者虽然用弓所接触的只是弦的很小一段，似乎应该只引起这个小段的振动，而事实上，振动总是传播到整根弦。这振动是怎样传播的呢如何利用数学方法来求解这种物理问题如何通过直
2、观的方程来说明不同乐器演奏出的音乐效果不同的原因可否利用 matlab 来将这种振动直观表示出来通过对于弦振动方程的学习，及对 matlab 的初步了解，我对于不同定解问题下弦振动方程的求解做了初级小结。也尝试利用matlab直观表述不同定解条件下的弦振动动态图像。二问题的求解（一）求弦振动泛定方程（一）求弦振动泛定方程在求解时，我们不妨认为弦是柔软的，就是说在放松的条件下，把弦完成任意的形状，它都保持静止。由于弦乐器所用的弦往往是很轻的，它的重量只有张力的几万分之一。跟拉力相比，弦的重量完全可以略去，这样，真实的弦就抽象为“没有重量”的弦。把没有重量的弦绷紧，它在不振动时是一根直线，就取这直
3、线作为 x 轴。把弦上各点的横向位移记作u。这样，横向位移u 是 x 和t 的函数，记作 u（x，t）。要求解弦振动，首先应找出 u 所遵从的方程。把弦细分为许多极小的小段，拿区间(x,x+dx)上的小段 B 为代表加以研究。B 既然没有重量而且是柔软的，它就只受到邻段A 和 C 的拉力和。弦的每小段都没有纵向（即 x 方向）的运动，所以作用于 B的纵向合力应为零。弦的横向加速度记作动分别为。按照，小段 B 的纵向和横向运式中 时弦的线密度，即单位长度的质量。ds 为小段 B 的弧长。因考虑的振动为小范围振动，这时以上的高阶小量，则，,又。这样，（1）和（2）简化为、为小量，如果忽略，、，因此
4、，弦中张力不随 x 而变，它在整根弦中取同一数值。另一方面，在振动过程中的每个时刻都有长度 ds=dx，即长度 ds 不随时间而变，所以作用于 B 段的张力也不随时间而变。弦中张力即跟x 无关，又跟 t 无关，只能是常数，记为 T。则（4）式为由于 dx 取得很小，段的运动方程就成为（5）由于 B 是作为代表任选的，所以方程（5）适用于弦上各处，是弦做微小横振动的运动方程，简称弦振动方程。由此就求得了自由振动状态下的弦振动方程为。这样，B若为受迫振动，则方程为（二）解弦振动方程（二）解弦振动方程.达朗贝尔法求“无限和半无限的”弦振动函数达朗贝尔法求“无限和半无限的”弦振动函数弦振动方程为：即
5、(6)先求其通解：依据方程（6）的形式作代换，即在此代换之下，由此，方程（6）可化为（7）先对 积分，得（8）其中 f 是任意函数，再对 积分，就得到通解ud+f=9）（通解中的 与 可用定解条件确定。因我们在此求解的为“无限长或半无限长的”弦，因而此种情况下就不存在边界条件，设初始条件是（10）将一般解（9）带入初始条件，得即由此解得以此带回（9）式即得满足初始条件（10）的特解d.即所谓的达朗贝尔公式。.分离变量法求两端固定弦振动方程分离变量法求两端固定弦振动方程定解问题为：泛定方程边界条件 (12)初始条件(0)(13)解：令 u(x,t)=X(x)T(t)带入泛定方程及边界条件得 X
6、(14)11）（(15)因 T(t)不恒等于零，故而（15）式即为 X(0)=0,X(l)=0 (16)用遍除（14）式各项即得因此式左边是时间 t 的函数，与坐标 x 无关；右边是坐标 x 的函数，跟时间 t 无关。若两边相等，则两边比为一常数。将此常数记为-，即由此化为 (19)先求解 X，将（1）当 时，方程（17）的解为 X(x)=由条件（18）确定，即由此解出解，故排除（2）当，进而有 X的可能。，所以此解为无意义之积分常数时，方程（17）的解为 X(x)=由条件（18）确定，即积分常数由此解出，进而有 X，所以此解为无意义之解，故也排除（3）当 的可能。时，方程（17）的解为 X(
7、x)=由条件（18）确定，即积分常数由于，为使函数有意义，只能，进而解得由此可得X(x)=其中为任意常数将式（20）代入方程（19）得这个方程的解为（21）其中 A,B 为任意常数将（21）和（22）代入 u(x,t)=X(x)T(t)即得分离变数的解进而可得 弦振动方程的解为其中系数情况一：初速度不为零，初位移为零情况一：初速度不为零，初位移为零设初速度为其解析解为其中系数取 a=2，=1，则弦振动动画的源程序为：function u(x,t)N=50;t=0:;x=0:1;ww=u1fun1(N,0);h=plot(x,ww,linewidth,3);axis(0,1,-1,1)sy=;f
8、or n=2:length(t)ww=u1fun1(N,t(n);set(h,ydata,ww);drawnow;sy=sy,sum(ww);endfunction wtx=u1fun1(N,t)x=0:1;a=2;wtx=0;for k=1:NBk=5/(k*k*pi*pi)*(cos(2*k*pi/5)-cos(4*k*pi/5);wtx=wtx+Bk*sin(2*k*pi*t)*sin(k*pi*x);end此种情况与可用差分法求解clearN=4010;dx=;dt=;c=dt*dt/dx/dx;u(1:420,1)=0;x=linspace(0,1,420);u(2:280,1)=2
9、80*(2:280);u(281:419,1)=(419-280)*(419-(281:419);u(2:419,2)=u(2:419,1)+c/2*(u(3:420,1)-2*u(2:419,1)+u(1:418,1);h=plot(x,u(:,1),linewidth,3)axis(0,1,);set(h,EraseMode,xor,MarkerSize,18)for k=2:Nset(h,XData,x,YData,u(:,2);drawnow;u(2:419,3)=2*u(2:419,2)-u(2:419,1)+c*(u(3:420,2)-2*u(2:419,2)+u(1:418,2)
10、;u(2:419,1)=u(2:419,2);u(2:419,2)=u(2:419,3);end此种情况下此种情况下n=1n=1，2 2，3,4,5,63,4,5,6时的本征振动随时间分布图时的本征振动随时间分布图cleara=1;l=1;x=0:1;t=0:3;u=0;n=1;X,T=meshgrid(x,t)R=5/(n*n*pi*pi)*(cos(2*n*pi/5)-cos(4*n*pi/5)u=u+(R*sin(n*pi*a*T/l).*sin(n*pi*X/l);figure(1)axis(0 1)mesh(X,T,u)title(n=1本征振动随时间分布图)xlabel(x)xla
11、bel(t)xlabel(u)情况二：初速度为零，初位移不为零情况二：初速度为零，初位移不为零设初位移为取a=1，=1得其中系数此种情况下弦振动动画的源程序为：function FN=50t=0:;x=0:1;ww=wfun(N,0);ymax=max(abs(ww);h=plot(x,ww,linewidth,3);axis(0,1,-ymax,ymax)sy=;for n=2:length(t)ww=wfun(N,t(n);set(h,ydata,ww);drawnow;sy=sy,sum(ww);endfunction wtx=wfun(N,t)x=0:1;a=1;wtx=0;for I
12、=1:Nif I=5wtx=wtx+*(sin(pi*(5-I)*4/5)-sin(pi*(5-I)*2/5)./(5-I)/pi-(sin(pi*(5+I)*4/5)-sin(pi*.(5+I)*2/5)/(5+I)/pi)*cos(I*pi*a*t).*sin(I*pi*x);elsewtx=wtx+5*cos(I*pi*a*t).*sin(I*pi*x);endend情况三：有驱动力的弦振动方程情况三：有驱动力的弦振动方程定解问题为因有因有，所以此类问题可以用傅里叶级数法求解，如果初始条件，所以此类问题可以用傅里叶级数法求解，如果初始条件为零，则同样也可用冲量法求解为零，则同样也可用冲量
13、法求解傅里叶级数法求解过程为傅里叶级数法求解过程为：因边界条件为下的本征函数是（n=0,1,）。所以可以把所求的解展开为傅里叶余弦级数将这个级数代入泛定方程得将傅里叶级数展开等式两边比较系数得将的傅里叶余弦级数代入初始条件，得由傅里叶级数基本函数族的正交性可得的常微分方程在以上初始条件下的解为由此可得，所求的解是初始条件为零时的冲量法求解过程为：初始条件为零时的冲量法求解过程为：应用冲量定理法，先求解因边界条件为下的本征函数是（n=0,1,）。所以可以把所求的解展开为傅里叶余弦级数将此代入泛定方程得由此分离出的常微分方程为这个常微分方程的解为这样解v的傅里叶级数是将上式代入初始条件得比较等式两
14、边系数得至此求得：因故而可得当当=1;a=1=1;a=1，在驱动力，在驱动力w=;al=pi*a/l;A=2;x=0:1;m=moviein(301);for k=0:300u=A/al/(w2-al2)*(w*sin(al*k*.-A*al*sin(w*k*)*cos(pi*x./l);plot(x,u);axis(0 1)m(:,k+1)=getframe;end作用下的弦振动图像为作用下的弦振动图像为总总结结通过这次对于弦振动解法的小结，让我更深刻的了解了实际问题中为什么不同的乐器会奏出不同的音乐，主要是因为求解出的振动函数展开为傅里叶级数所包含的项不同，外加弹奏着所使用的驱动力不同，也会使振动效果不同，自然悦耳度也就不同。通过利用matlab对于不同情况下的弦振动的动态表述，让我对于matlab有了更深的认识，由于时间有限，外加对于matlab的掌握程度比较低，也让我的操作受了很大的限制。在今后的学习中更因该加强这方面的操作，真正将利用软件和原始计算求解能够完美结合，以此来加深自己对于数理方程的更深刻了解。