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1、广深珠三校 2020 届高三第一次联考 理科数学参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C C B B A D D A D C D 12、已知函数()2xmf xxemx（e为自然对数的底数）在(0,)上有两个零点，则m的范围是（）A.(0,)e B.(0,2)e C.(,)e D.(2,)e 【详解】由()02xmf xxemx得1()22xmxemxm x，当12x 时，方程不成立，即12x，则12xxemx，设()12xxeh xx（0 x
2、且12x），则222111222()1122xxxxexxeexxh xxx21(1)(21)212xexxx，0 x 且12x，由()0h x 得1x，当1x 时，()0h x，函数为增函数，当01x且12x 时，()0h x，函数为减函数，则当1x 时函数取得极小值，极小值为(1)2he，当102x时，()0h x，且单调递减，作出函数()h x的图象如图：故：要使12xxemx有两个不同的根，则2me即可，即实数m的取值范围是(2,)e.二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13 19 ；14 15；152 33；1620；三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程
3、或演算步骤 17（本小题满分 12 分）如图，在ABC中，角、ABC所对的边分别为abc、，2 sincossin2 sinbCAaAcB；（1）证明：ABC为等腰三角形；（2）若D为BC边上的点，2BDDC，且2ADBACD，3a，求b的值【详解】（1）2 sin cossin2 sinbCAaAcB，由正弦定理得：22cos2bcAacb .2分 由余弦定理得：2222222bcabcabcbc；.4 分 化简得：222bcbc,所以20bc即bc，.5分 故ABC为等腰三角形 .6 分（2）如图，由已知得2BD，1DC，2,ADBACDACDDAC ACDDAC，1ADCD，.8 分 又
4、coscosADBADC，22222222ADBDABADCDACAD BDAD CD，.10 分 即22222212112 2 12 1 1cb ，得2229bc，由（1）可知bc，得3b .12 分 18（本小题满分 12 分）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为直角梯形，/BC AD，且222,ADABBC 90,BADPAD 为等边三角形，平面ABCD 平面PAD；点EM、分别为PDPC、的中点（1）证明：/CE平面PAB；（2）求直线DM与平面ABM所成角的正弦值【详解】（1）设PA的中点为N，连接,EN BN，E为PD的中点，所以EN为PAD的中位线，则可得/EN AD，且12E
5、NAD；.2分 在梯形ABCD中，/BC AD，且12BCAD，/,BC EN BCEN，所以四边形ENBC是平行四边形，.4分/CE BN，又BN 平面PAB，CE 平面PAB，/CE平面PAB .6分 法二：设O为AD的中点，连接,CO OE，E为PD的中点，所以OE是ADP的中位线，所以/OE AP，又OE 平面PAB，AP 平面PAB，/OE平面PAB，.2分 又在梯形ABCD中，/BC AD，且12BCAD，所以四边形BAOC是平行四边形，/BC BA，又OC 平面PAB，AB平面PAB，/OC平面PAB，.4 分 又OEOCO，所以平面/OEC平面PAB，又CE 平面PAB，/CE
6、平面PAB .6 分 （2）设AD的中点为O，又,PAPDPOAD 因平面PAD 平面ABCD，交线为AD，PO 平面PAD，PO平面ABCD，又由/CO BA，90BAD，COAD 即有,OA OC OP两两垂直，如图，以点O为原点，OA为x轴，OP为y轴，OC为z轴建立坐标系 .7 分 已知点3 13 11,0,0,1,0,1,0,1,0,0,0,0,1,1,2222ABMDABAM，.8 分 设平面ABM的法向量为：,mx y z 则有031022m ABzm AMxyz ，可得平面ABM的一个法向量为3,2,0m，3 11,22DM，.10 分 可得：222222313 1204222
7、cos,731320122m DMm DMmDM ，.11 分 所以直线DM与平面ABM所成角的正弦值为427 .12 分 19.（本小题满分 12 分）已知椭圆2222:=10 xyCabab的离心率为32，且经过点31,2（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点3,0作直线l与椭圆C交于不同的AB、两点，试问在x轴上是否存在定点Q，使得直线QA与直线QB恰好关于x轴对称？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由【详解】（）由题意可得，又 a2b2c2，.2 分 解得 a24，b21，所以，椭圆的方程为 .4 分（）存在 x 轴上在定点 Q，使得直线 QA 与直线 QB 恰关于 x 轴对称，设
8、直线 l 的方程为 x+my0，与椭圆联立可得 设 A（x1，y1），B（x2，y2），假设在 x 轴上存在定点 Q（t，0）y1+y 2，y 1 y 2 .6 分 PN 与 QN 关于 x 轴对称，kAQ+kQB0，.7 分 即y1（x2t）+y2（x1t）0，t .9 分 在 x 轴上存在定点 Q（，0）使得直线 QA 与直线 QB 恰关于 x 轴对称 .10 分 特别地，当直线 l 是 x 轴时，点 Q（，0）也使得直线 QA 与直线 QB 恰关于 x 轴对称.11 分 综上，在 x 轴上存在定点 Q（，0）使得直线 QA 与直线 QB 恰关于 x 轴对称 .12 分 20（本小题满分
9、12 分）已知函数()ln2f xxx（1）求曲线()yf x在1x处的切线方程；（2）函数()f x在区间(,1)()k kkN上有零点，求k的值；（3）若不等式()(1)()xm xf xx对任意正实数x恒成立，求正整数m的取值集合【详解】（1）1()1fxx，所以切线斜率为(1)0f，又(1)1f，切点为(1,1)，所以切线方程为1y -2 分（2）令1()10fxx，得1x，当01x时，()0fx，函数()f x单调递减；当1x时，()0fx，函数()f x单调递增，所以()f x的极小值为(1)10f ，又22221111()ln20eeeef，所以()f x在区间(0,1)上存在一
10、个零点1x，此时0k；因为(3)3ln321ln30f，(4)4ln4222ln22(1ln2)0f，所以()f x在区间(3,4)上存在一个零点2x，此时3k 综上，k的值为 0 或 3 -6 分（3）当1x时，不等式为(1)10g 显然恒成立，此时mR；当01x时，不等式()(1)()xm xf xx可化为ln1xxxmx，-7 分 令ln()1xxxg xx，则22ln2()()(1)(1)xxf xg xxx，由（2）可知，函数()f x在(0,1)上单调递减，且存在一个零点1x，此时111()ln20f xxx，即11ln2xx 所以当10 xx时，()0f x，即()0g x，函数
11、()g x单调递增；当11xx时，()0f x，即()0g x，函数()g x单调递减 所以()g x有极大值即最大值1111111111ln(2)()11xxxx xxg xxxx，于是1mx -9 分 当1x时，不等式()(1)()xm xf xx可化为ln1xxxmx，由（2）可知，函数()f x在(3,4)上单调递增，且存在一个零点2x，同理可得2mx 综上可知12xmx 又因为12(0,1),(3,4)xx，所以正整数m的取值集合为1,2,3 -12 分 21.（本小题满分 12 分）某景区的各景点从 2009 年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游
12、，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变 下表是从 2009 年至 2018 年，该景点的旅游人数y（万人）与年份x的数据：第x年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 旅游人数y（万人）300 283 321 345 372 435 486 527 622 800 该景点为了预测 2021 年的旅游人数，建立了y与x的两个回归模型：模 型 ：由 最 小 二 乘 法 公 式 求 得y与x的 线 性 回 归 方 程50.8169.7yx；模型：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线bxyae的附近（1）根据表中数据，求模型的回归方程b
13、xyae（a精确到个位，b精确到 001）（2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数2R，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测 2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）回归方程 50.8169.7yx bxyae 1021()iiiyy 30407 14607 参考公式、参考数据及说明：对于一组数据 1122,nnv wv wv w，其回归直线wv的斜率和截距的最小二乘法估计分别为121()(),()niiiniiww vvwvvv 刻画回归效果的相关指数22121()1()niiiniiyyRyy 参考数据：5.46235e，1.434.2e x y u 1021()ii
14、xx 101iiixxyy 101iiixxuu 55 449 605 83 4195 900 表中1011ln,10iiiiuy uu 解：（1）对bxyae取对数，得lnlnybxa，1 分 设lnuy，lnca，先建立u关于x的线性回归方程。10110219.000.10883iiiiixxuubxx，3 分 6.050.108 5.55.4565.46cubx 5 分5.46235caee6 分 模型的回归方程为0.11235xye。7 分（2）由表格中的数据，有 3040714607，即101022113040714607()()iiiiyyyy，9 分 即1010221130407
15、1460711()()iiiiyyyy，2212RR 10 分 模型的相关指数21R小于模型的22R，说明回归模型的拟合效果更好。11 分 2021 年时，13x，预测旅游人数为0.11 131.43235235235 4.2987yee（万人）12 分 请考生从第（22）、（23）两题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一个题目计分 22选修 4-4：坐标系与参数方程(10 分）在平面直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为2cos,2sin,xy（为参数），已知点(4,0)Q，点P是曲线1C上任意一点，点M为PQ的中点，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求点M的轨迹2C
16、的极坐标方程；（2）已知直线l：ykx与曲线2C交于,A B两点，若3OAAB，求k的值.【详解】（1）设2cos,2sinP，,M x y.且点4,0Q，由点M为PQ的中点，所以2cos42,22sin,2xcosysin 3分 整理得2221xy.即2243 0 xyx，化为极坐标方程为24 cos3 0.5 分（2）设直线l：ykx的极坐标方程为.设1,A，2,B，因为3OAAB，所以43OAOB，即1243.6 分 联立2430,cos整理得24cos3 0 .7 分 则1212124,3,43,cos 解得7cos8.9 分 所以222115tan1cos49k，则157k.10 分
17、 23选修 4-5：不等式选讲(10 分）已知函数()121f xaxx （1）当1a 时，求不等式()3f x 的解集；（2）若02a，且对任意xR，3()2f xa恒成立，求a的最小值 【详解】（1）当1a 时，121f xxx，即 3,112,1213,2x xf xxxx x ，3分 解法一：作函数 121f xxx 的图象，它与直线3y 的交点为1,3,1,3AB，4 分 所以，3f x 的解集的解集为,11,5 分 解法 2：原不等式 3f x 等价于133xx 或11223xx 或1233xx，3 分 解得：1x 或无解或1x，所以，3f x 的解集为,11,5 分（2）1102,2 0,202aaaa 6分 则 12,1112122,212,2ax xaf xaxxaxxaax x 7 分 所以函数 f x在1,a 上单调递减，在1 1,2a上单调递减，在1,2上单调递增 所以当12x 时，f x取得最小值，min1122afxf 8 分 因为对xR，32f xa恒成立，所以 min3122af xa 9 分 又因0a，所以2230aa，解得1a （3a 不合题意）所以a的最小值为 1 10 分