广东省2016届高三3月适应性考试数学理试题(解析版).pdf

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1、 1 2016 年适应性考试 理科数学 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1已知集合2430Ax xx，21xBx，则AB（）A 3,1 B(,3 1,0)C(,3)(1,0 D(,0)【答案】B【解析】(,3 1,)A ，(,0)B ，(,3 1,0)AB 2若(2)zaai为纯虚数，其中aR，则7i1iaa（）Ai B1 Ci D1【答案】C【解析】z为纯虚数，2a，7i2i(2i)(12i)3ii1i312i(12i)(12i)aa 3设nS为数列na的前n项的和，且*3(1)()2nnSanN，则na（）A

2、3(32)nn B32n C3n D13 2n【答案】C【解析】1111223(1)23(1)2aSaaaa，1239aa，经代入选项检验，只有 C 符合 4执行如图的程序框图，如果输入的100N，则输出的x（）A0.95 B0.98 C0.99 D1.00【答案】C【解析】11111 22 33 499 100 x n=n+1x=x+1n(n+1)x输出结束nNn=1,x=0是否开始输入N 2 111111199(1)()()()2233499100100 5三角函数()sin(2)cos26f xxx的振幅和最小正周期分别是（）A3,2 B3,C2,2 D2,【答案】B【解析】()sinc

3、os2cossin2cos266f xxxx 3331cos2sin23(cos2sin2)2222xxxx 3cos(2)6x，故选 B 6一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A12 B6 C4 D2【答案】D【解析】11=2(2+1)2232V 正四棱锥 7设p、q是两个命题，若()pq是真命题，那么（）Ap是真命题且q是假命题 Bp是真命题且q是真命题 Cp是假命题且q是真命题 Dp是假命题且q是假命题 【答案】D 8从一个边长为2的等边三角形的中心、各边中点及三个顶点这7个点中任取两个点，则这两点间的距离小于1的概率是（）A71 B73 C74 D76【答案】A【解析】

4、两点间的距离小于1共有 3 种情况，分别为中心到三个中点的情况，故两点间的距离小于1的概率27317PC 9已知平面向量a、b满足|1ab，(2)aab，则|ab（）A0 B2 C2 D3 【答案】D【解析】(2)aab，(2)0aab，21122a ba，112221 3 222|()2 ababaa bb 22112132 1062)21(xx 的展开式中，常数项是（）A45 B45 C1615 D1615【答案】D【解析】2612 316611()()()22rrrrrrrTCxC xx，令1230r，解得4r 常数项为446115()216C 11 已知双曲线的顶点为椭圆1222yx长

5、轴的端点，且双曲线的离心率与椭圆的离心率的乘积等于1，则双曲线的方程是（）A122 yx B122 xy C222 yx D222 xy【答案】D【解析】椭圆的端点为(0,2)，离心率为22，双曲线的离心率为2，依题意双曲线的实半轴2a，2c，2b，故选 D 12如果定义在 R 上的函数)(xf满足：对于任意21xx，都有)()(2211xfxxfx)()(1221xfxxfx，则 称)(xf为“H函 数”给 出 下 列 函 数：13xxy；)cossin(23xxxy；1xey；000|lnxxxy，其中“H函数”的个数是（）A4 B3 C2 D1【答案】C【解析】1122()()x f x

6、x f x)()(1221xfxxfx，1212()()()0 xxf xf x，)(xf在R上单调递增 231yx ，3(,)3x，0y，不符合条件；32(cos+sin)=32 2sin()04yxxx，符合条件；4 0 xye，符合条件；f x在(,0)单调递减，不符合条件；综上所述，其中“H函数”是 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分 13已知实数x，y满足约束条件1122yxyxyx，若目标函数ayxz 2仅在点)4,3(取得最小值，则a的取值范围是 【答案】(,2)【解析】不等式组表示的平面区域的角点坐标分别为(1,0),(0,1),(3,4)ABC,2

7、Az，Bza，64Cza 64264aaa，解得2a 14已知双曲线1163222pyx的左焦点在抛物线pxy22的准线上，则p 【答案】4【解析】223()162pp，4p 15已知数列na的各项均为正数，nS为其前n项和，且对任意nN*，均有na、nS、2na成等差数列，则na 【答案】n【解析】na，nS，2na成等差数列，22nnnSaa 当1n 时，2111122aSaa 又10a 11a 当2n 时，2211122()nnnnnnnaSSaaaa，2211()()0nnnnaaaa，111()()()0nnnnnnaaaaaa，又10nnaa，11nnaa，5 na是等差数列，其公

8、差为 1，11a，*(N)nan n 16已知函数)(xf的定义域 R，直线1x和2x是曲线)(xfy 的对称轴，且1)0(f，则)10()4(ff 【答案】2【解析】直线1x和2x是曲线)(xfy 的对称轴，(2)()fxf x，(4)()fxf x，(2)(4)fxfx，)(xfy 的周期2T (4)(10)(0)(0)2ffff 三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 17（本小题满分 12 分）已知顶点在单位圆上的ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且 CbBcAacoscoscos2（1）Acos的值；（2）若422 cb，求ABC的面积【解析】（1）2 cos

9、coscosaAcBbC，2sincossincossincosAACBBC，2sincossin()AABC，ABC，sin()sinBCA，2sincossinAAA 0A，sin0A，2cos1A，1cos2A（2）由1cos2A，得3sin2A，由2sinaA，得2sin3aA 2222cosabcbcA，222431bcbca，6 1133sin2224ABCSbcA 18（本小题满分 12 分）某单位共有10名员工，他们某年的收入如下表：员工编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年薪（万元）3 35 4 5 55 65 7 75 8 50（1）求该单位员工当年年薪的平均值

10、和中位数；（2）从该单位中任取2人，此2人中年薪收入高于5万的人数记为，求的分布列和期望；（3）已知员工年薪收入与工作年限成正相关关系，某员工工作第一年至第四年的年薪分别为3万元、5.4万元、6.5万元、2.7万元，预测该员工第五年的年薪为多少？附：线性回归方程axby中系数计算公式分别为：121()()()niiiniixx yybxx，xbya，其中x、y为样本均值【解析】（1）平均值为 10 万元，中位数为 6 万元（2）年薪高于 5 万的有 6 人，低于或等于 5 万的有 4 人；取值为 0，1，2 152)0(21024CCP，158)1(2101614CCCP，31)2(21026

11、CCP，的分布列为 0 1 2 P 152 158 31 2816()012151535E （3）设)4,3,2,1(,iyxii分别表示工作年限及相应年薪，则5,5.2yx，21()2.250.250.252.255niixx，7 41()()1.5(2)(0.5)(0.8)0.5 0.61.52.27iiixxyy ，121()()71.45()niiiniixx yybxx，5 1.42.51.5ayb x，由线性回归方程为1.41.5yx可预测该员工年后的年薪收入为8.5万元 19（本小题满分 12 分）如图，在直二面角CABE中，四边形ABEF是矩形，2AB，32AF，ABC是以A为

12、直角顶点的等腰直角三角形，点P是线段BF上的一点，3PF（1）证明：FB面PAC；（2）求异面直线PC与AB所成角的余弦值 【解析】（1）证明：以A为原点，建立空间直角坐标系，如图，则(0,0,0)A，(2,0,0)B，(0,2,0)C，(0,0,2 3)F 224BFABAF，3PF，33(,0,)22P，(2,0,2 3)FB，(0,2,0)AC，33(,0,)22AP 0FB AC，FBAC 0FB AP，FBAP FBAC，FBAP，ACAPA，FB 平面APC（2）(2,0,0)AB，33(,2,)22PC ，PCABEF 8 记AB与PC夹角为，则 33 7cos=142 7AB

13、PCAB PC 【方法 2】（1）4FB,3coscos2PFABFA，222cosPAPFFAPF FAPFA 9 122 3 2 33/23 2223912PAPFAF，PABF 平面ABEF 平面ABC，平面ABEF平面ABCAB，ABAC，AC 平面ABC，AC 平面ABEF BF 平面ABEF，ACBF PAACA，BF 平面PAC（2）过P作/,/PMAB PNAF，分别交,BE BA于,M N点，MPC的补角为PC与AB所成的角连接MC，NC 32PNMB，32AN，2252NCANAC，2 2BC，227PCPNNC，22352MCMBBC，135733 744cos1142

14、7272MPC 异面直线PC与AB所成的角的余弦值为3 714 9 20（本小题满分 12 分）已知抛物线C：xy42，过其焦点F作两条相互垂直且不平行于x轴的直线，分别交抛物线C于点1P、2P和点3P、4P，线段21PP、43PP的中点分别为1M、2M（1）求21MFM面积的最小值；（2）求线段21MM的中点P满足的方程【解析】（1）由题设条件得焦点坐标为(1,0)F，设直线12PP的方程为(1)yk x，0k 联立2(1)4yk xyx，得22222(2)0k xkxk（*）22222 2(2)416(1)0kk kk 设111(,)P x y，222(,)P xy，则21222(2)kx

15、xk 设111(,)MMMxy，则1112122222(1)MMMxxkxkyk xk 类似地，设222(,)MMMxy，则2222212211221MMkxkkykk 2222122222|(1)()1kFMkkkk，22222|(2)(2)2|1FMkkkk，因此121211|2(|)2|FM MSFMFMkk 1|2|kk，124FM MS，当且仅当1|kk，即1k 时，12FM MS取到最小值 4（2）设线段12M M的中点(,)P x y，由（1）得 121222221121()(22)12211 21()(2)22MMMMxxxkkkkyyykkkk ，消去k后得23yx 1 0

16、线段12M M的中点P满足的方程为23yx 21（本小题满分 12 分）设函数mxxxxfln21)(2（0m）（1）求)(xf的单调区间；（2）求)(xf的零点个数；（3）证明：曲线)(xfy 没有经过原点的切线【解析】（1）()f x的定义域为(0,)，211()xmxfxxmxx 令()0fx，得210 xmx 当240m，即02m时，()0fx，()f x在(0,)内单调递增 当240m，即2m 时，由210 xmx 解得 2142mmx，2242mmx，且120 xx，在区间1(0,)x及2(,)x 内,()0fx，在12(,)x x内，()0fx，()f x在区间1(0,)x及2(

17、,)x 内单调递增，在12(,)x x内单调递减（2）由（1）可知，当02m时，()f x在(0,)内单调递增，()f x 最多只有一个零点 又1()(2)ln2f xx xmx，当02xm且1x 时，()0f x；当2xm且1x 时，()0f x，故()f x有且仅有一个零点 当2m 时，()f x在1(0,)x及2(,)x 内单调递增，在12(,)x x内单调递减，且22221144(4)()()ln2222mmmmm mmf x 222424ln42mm mmm，而2222422044mm mmm，2244401242(4)mmmm（2m），1()0f x，由此知21()()0f xf

18、x，又当2xm且1x 时，()0f x，故()f x在(0,)内有且仅有一个零点 综上所述，当0m 时，()f x有且仅有一个零点（3）假设曲线()yf x在点(,()x f x（0 x）处的切线经过原点，则有()()f xfxx，即21ln2xxmxx1xmx，化简得：21ln102xx（0 x）（*）记21()ln12g xxx（0 x），则211()xg xxxx，令()0g x，解得1x 1 1 当01x时，()0g x，当1x 时，()0g x，3(1)2g是()g x的最小值，即当0 x 时，213ln122xx 由此说明方程（*）无解，曲线()yf x没有经过原点的切线 请考生在

19、 22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时请写清楚题号 22（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图所示，BC是半圆O的直径，ADBC，垂足为D，ABAF，BF与AD、AO分别交于点E、G（1）证明：DAOFBC；（2）证明：AEBE 【解析】（1）连接FC，OF，ABAF，OBOF，点G是BF的中点，OGBF BC是O的直径，CFBF/OG CFAOBFCB，90,90DAOAOBFBCFCB，DAOFBC （2）在Rt OAD与Rt OBG中，由（1）知DAOGBO，又OAOB，OADOBG，于是ODOG AGOAOGOBODBD 在Rt A

20、GE与Rt BDE中，由于DAOFBC，AGBD，AGEBDE，AEBE 23（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 EFGCOADBBDAOCGFE 1 2 在直角坐标系xOy中，过点(1,2)P的直线l的倾斜角为45以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2sin2cos,直线l和曲线C的交点为,A B（1）求直线l的参数方程；（2）求PAPB【解析】（1）直线l过点(1,2)P，且倾斜角为45 直线l的参数方程为1cos452sin45xtyt （t为参数），即直线l的参数方程为212222xtyt （t为参数）（2）2sin2cos，2(s

21、in)2 cos，cosx，siny，曲线C的直角坐标方程为22yx，212222xtyt ，222(2)2(1)22tt，26 240tt，1 24t t，4PAPB 24（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 设函数()5f xxax（1）当1a 时，求不等式()53f xx的解集；（2）若1x 时有()0f x，求a的取值范围【解析】（1）当1a 时，不等式()53f xx，5315xxx，13x，24x 不等式()53f xx的解集为 4,2（2）若1x 时，有()0f x，50 xax，即5xax，5xax，或5xax，6ax，或4ax，1x ，66x ，44x，6a ，或4a 1 3 a的取值范围是(,64,)