《广东省茂名市2020届高三第一次综合测试数学(文)试题.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《广东省茂名市2020届高三第一次综合测试数学(文)试题.pdf(22页珍藏版)》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、茂名市 2020 届高三第一次综合测试 数学(文)试题 一、单选题 1已知集合|24AxZx,2|230Bx xx,则AB()A2,1 B1,3 C1,0 D0,1,2【答案】D【解析】根据题意可知1,0,1,2,3A,解不等式2230 xx,得13x,即|13Bxx,再与集合A取交集,即可.【详解】|24AxZx 1,0,1,2,3A 又2|230|13Bx xxxx 0,1,2AB 故选:D【点睛】本题考查集合的运算,属于容易题.2i为虚数单位,复数21izi在复平面内对应的点所在象限为()A第二象限 B第一象限 C第四象限 D第三象限【答案】C【解析】2i 12ii 1i 1i 1i 1
2、z,复数21izi在复平面内对应坐标为1,1,所以复数21izi在复平面内对应的点在第四象限,故选 C.3在集合 1,2和3,4,5中各取一个数字组成一个两位数,则这个两位数能被 4 整除的概率为()A112 B13 C14 D16【答案】C【解析】列举出所有可能的两位数,从中找出能被4整除的数,根据古典概型概率计算公式,计算出所求的概率.【详解】在 1,2和3,4,5两个集合中各取一个数字组成一个两位数的所有事件为 13,31,14,41,15,51,23,32,24,42,25,52 共 12 个,其中能被 4 整除的两位数是 24,32,52 共 3 个,所求概率为31124.故选:C.
3、【点睛】本小题主要考查古典概型的概率计算,属于基础题.4已知定义在R上的奇函数 fx是单调函数,且 fx满足 112f,则()A 122ff B 122ff C 122ff D112f 【答案】B【解析】根据函数 f x为奇函数,求得 1f的值,由此判断出 f x的单调性,进而得出 122ff.【详解】112f 由奇函数的定义得 1112ff ,11ff.f x是R上的单调函数,f x在R上单调递减,故 122ff.D 选项无法判断.故选:B.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和单调性,属于基础题.5已知实数x,y满足5,210,220,xyxyxy 则3zxy的最小值为()A1 B3 C5
4、D11【答案】A【解析】画出可行域,平移基准直线3yx 到可行域边界点,由此求得目标函数的最小值.【详解】画出可行域,由图可知,可行域三个顶点分别为2,3A,4,1B,0,1C,当直线3yx 平移到点0,1C时,z取到最小值为 3 0 1 1z .故选:A.【点睛】本小题主要考查线性规划求目标函数的最小值,考查数形结合的数学思想方法,属于基础题.6公元 263 年左右,我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率,他从单位圆内接正六边形算起,令边数一倍一倍地增加,即 12,24,48,192,逐个算出正六边形,正十二边形,正二十四边形,正一百九十二边形,的面积,这些数值逐步地
5、逼近圆面积,刘徽算到了正一百九十二边形,这时候的近似值是 3.141024,刘徽称这个方法为“割圆术”,并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”.刘徽这种想法的可贵之处在于用已知的、可求的来逼近未知的、要求的,用有限来逼近无穷,这种思想极其重要,对后世产生了巨大影响.按照上面“割圆术”,用正二十四边形来估算圆周率,则的近似值是()(精确到0.01).(参考数据sin150.2588)A3.14 B3.11 C3.10 D3.05【答案】B【解析】圆内接正二十四边形的中心即为圆心,连接圆心与正二十四边形的各个顶点,构成 24 个全等的等腰
6、三角形,并且等腰三角形的腰长为单位圆的半径1r,顶角为3601524,根据圆面积2Sr,利用三角形面积公式in12sSabC,计算正二十四边形的面积2124sin152Sr ,求解即可.【详解】由题意可知,单位圆面积2Sr,正二十四边形的面积21241sin152S.则22124sin152rr.即12sin15120.25883.10563.11.故选:B【点睛】本题考查三角形面积公式,属于较易题.7已知1tan43,则sin 2()A35 B45 C35 D45【答案】D【解析】利用两角差的正切公式,求得tan的值,然后利用“1”的代换的方法,将sin2转化为只含tan的形式,由此求得si
7、n2的值.【详解】1tan43,tantan441tantan14432111tantan344,22222sincos2tan2 24sin2sincostan1215.故选:D.【点睛】本小题主要考查两角差的正切公式,考查齐次方程,考查化归与转化的数学思想方法,属于基础题.8 在ABC中,60BC,2AB,且点M满足2BMCM,则AM BC()A3 B6 C8 D12【答案】B【解析】利用,AB AC为基底表示出,AM BC,利用向量数量积的运算求得AM BC.【详解】依题意ABC是等边三角形,C为BM的 中点,2ABAC,选取AB,AC为基向量,则 2AMACCMACBCACAB,BCA
8、CAB 2AM BCACABACAB2223ACABAC AB 2223cos60ACABACAB 12 443 2 262 .故选:B.【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理,考查向量数量积的运算,考查化归与转化的数学思想方法,属于基础题.9某三棱锥的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A2 B43 C23 D13【答案】C【解析】画出三视图对应的原图,根据锥体体积计算公式,计算出几何体的体积.【详解】如图所示,由三视图可知,在三棱锥PABC中,PA 平面ABC,PA 平面ABC底面ABC为等腰三角形,且底边长为 2,高为 1,故三棱锥的体积为 11122 1 23323P ABCABC
9、VSPA .故选:C.【点睛】本小题主要考查三视图还原为原图,考查锥体体积计算,属于基础题.10已知1F、2F为双曲线C:22221xyab(0a,0b)的左、右焦点,点P在双曲线C上,且线段1PF的中点坐标为0,b,则双曲线C的离心率为()A2 B3 C5 D2【答案】C【解析】设线段1PF的中点为M,连接OM,2PF,则21/2OMPF,即222PFOMb,根据双曲线的定义可知,122PFab,在12Rt F F P中,2221212|PFPFFF,即2ba,根据221cbeaa,求解,即可.【详解】设线段1PF的中点为M,连接OM,2PF.线段1PF的中点M坐标为0,b 点P在双曲线C的
10、右支上.如图所示:原点O为线段12FF的中点 21/2OMPF,即212PFFF,222PFOMb.由双曲线的定义可知,12|2PFPFa,即122PFab,12|2FFc 在12Rt F F P中,2221212|PFPFFF,即 2222222abbc,整理得2ba.2221125cbeaa 故选:C【点睛】本题考查求双曲线的离心率,属于中档题.11下列函数图象中,函数|xf xx eZ的图象不可能的是()A B C D【答案】C【解析】当2时,验证A正确.当2 时,验证B正确.当1时,验证D正确.【详解】当2时,2xf xx e,定义域为R关于原点对称.22xxfxxex ef x,则(
11、)f x为偶函数.当0 x 时,2xf xx e.则 22222(2)0 xxxxxxfxx exeexxex exex 即函数 f x在0,上单调递增,则函数 f x在,0上单调递减.此时函数 f x的图象可能为A选项.当2 时,2xefxx,定义为|x xR且0 x 关于原点对称.22xxeefxfxxx,则()f x为偶函数.当0 x 时,2xefxx.则 222224322(2)xxxxxxexxeex exeexfxxxxx 当02x时 0fx,即函数 f x在0,2上单调递减 当2x 时 0fx,即则函数 f x在2,上单调递增.根据对称性可知,此时函数 f x的图象可能为B选项.
12、当1时,xf xxe,定义为R关于原点对称.xxfxx exef x ,则()f x为奇函数.当0 x 时,xf xxe.则 (1)0 xxxxxxfxxex eexexeex 令 1xg xex,则 111(2)0 xxxxgxexexexex 即 0fx并且在0,上单调递增,并且()f x在0,上单调递增.根据对称性可知,此时函数 f x的图象可能为D选项.故选:C【点睛】本题考查函数的图象,判断函数的奇偶性,利用导数判断函数的单调性,属于较难的题.12 已知函数 21,1ln,1axaxxf xxaxxaR,若函数 f x有四个零点,则a的取值范围是()A,0 B,e C4,D24,e【
13、答案】C【解析】由题意易知,0a 时不满足题意.当0a 且1x 时 21f xaxax,为开口向上,对称轴为12x 的二次函数,最多两个零点,当0a 且1x 时 lnf xxax,1axafxxx,当xa时 f x单调递增,当xa时 f x单调递减,最多两个零点,若使得函数 f x有四个零点,则需 11020aff a,求解即可.【详解】当0a 时,1,1,1xf xxx,函数 f x无零点,舍去.当0a 且1x 时,21f xaxax 为开口向下,对称轴为12x 的二次函数,211111102224faaa ,11 10faa .则1x 时,函数 f x与x轴只有一个交点.当0a 且1x 时
14、,lnf xxax.ln10axafxxaxxx 函数 f x在1,上单调递增,11f xf.则1x 时,函数 f x与x轴无交点.则当0a 时,函数 f x有一个零点.与题意不符,舍去.当0a 且1x 时 21f xaxax.为开口向上,对称轴为12x 的二次函数.21111112224faaa ,11 10faa .函数 f x在,1最多有两个零点 当0a 且1x 时 lnf xxax.ln1axafxxaxxx.当xa时 f x单调递增,当xa时 f x单调递减,lnf aaaa 函数 f x在1,最多有两个零点 若使得函数 f x有四个零点,则需 11020aff a.即11104ln
15、0aaaaa,解得4a.故选:C【点睛】本题考查根据函数零点个数,求参数的取值范围.属于较难的题.二、填空题 13已知圆C的圆心坐标是0,m,若直线10 xy 与圆C相切于点2,1A,则m _.【答案】3【解析】利用直线CA与直线10 xy 垂直得到1AClkk,由此列方程求得m的值.或利用圆心到切线的距离等于半径,结合两点间的距离公式列方程,解方程求得m的值.【详解】依题意直线CA与直线10 xy 垂直,所以1AClkk,即1112m ,故3m .或利用圆心到切线的距离等于半径得22|1|122mm,解得3m .故答案为:3【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系,考查方程的思想,属于基础题
16、.14 已知数列 na满足0na,且lgna,1lgna,2lgna成等差数列,若34674a a a a,则5a _.【答案】2【解析】根据等差中项的性质列方程,由此判断出 na为等比数列,由等比数列的性质化简34674a a a a 求得5a的值.【详解】lgna,1lgna,2lgna成等差数列,212nnnaa a,即 na为等比数列,237465a aa aa,从而4346754a a a aa则52a ,又0na,52a.故答案为:2【点睛】本小题主要考查等差中项的性质,考查对数运算,考查等比数列的性质,属于基础题.15已知椭圆C:22221xyab(0ab)的右焦点为F,直线l:
17、3yx与椭圆C相交于A,B两点,若AFBF,则椭圆C的离心率为:_.【答案】31【解析】画出图像,设左焦点为1F,连接1AF,1BF,根据椭圆对称轴以及AFBF,判断出四边形1AFBF为矩形,利用直线3yx的倾斜角,结合椭圆的定义列方程,化简后求得离心率.【详解】如图所示,设左焦点为1F,连接1AF,1BF,由椭圆的对称性 及AFBF,可知1AFBF为矩形,|OAOFOFc.由直线3yx得60AOF,|AFc,且130AF F,13AFc.椭圆的定义可得,1|32AFAFcca,23131cea.故答案为:31 【点睛】本小题主要考查椭圆的定义,考查椭圆的对称性,考查直线的倾斜角,考查椭圆离心
18、率的计算,属于基础题.16已知ABC内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,2 3b 且2coscosacBbC,则ABC面积的最大值为 _.【答案】3 3【解析】利用正弦定理、两角和的正弦公式、三角形内角和定理化简已知条件,求得cosB的值,由此求得B的大小,利用余弦定理和基本不等式求得ac的最大值,由此求得三角形ABC面积的最大值.【详解】由2coscosacBbC得2 coscoscosaBbCcB,由正弦定理得,2sincossincossincosABBCCB,即2sincossinABBC,又ABC,2sincossinABA,sin0A,1cos2B,又0,B,3B.2 3b,由
19、余弦定理222cos2acbBac得2222211222acbacacac,由基本不等式式得,22122acacac,即12ac,又因为三角形的面积为113sin123 3222acB,当且仅当ac时,取等号,故ABC面积的最大值为3 3.故答案为:3 3【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形,考查三角形的面积公式,考查基本不等式求最值,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.三、解答题 17 某学习小组在生物研究性学习中,对春季昼夜温差大小与黄豆种子发芽多少之间的关系进行研究,于是小组成员在 3 月份的 31 天中随机挑选了 5 天进行研究,且分别记录了每天昼夜温差与每天每 10
20、0 颗种子浸泡后的发芽数,得到如下资料:日期 3 月 2 日 3 月 8 日 3 月 15 日 3 月 22 日 3 月 28 日 温差x/C 10 11 13 12 8 发芽数y/颗 23 25 30 26 14 (1)在这个学习小组中负责统计数据的那位同学为了减少计算量,他从这 5 天中去掉了 3 月 2 日与 3 月 28 日的两组数据,请根据这 5 天中的另三天的数据,求出y关于x的线性回归方程ybxa;(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所去掉的试验数据的误差均不超过 2 颗,则认为得到的线性回归方程是可靠的,试问(1)中所得的线性回归方程是否可靠?(参考公式:1221niiini
21、ix ynx ybxnx,aybx)(参考数据:511319iiix y,521598iix)【答案】(1)532yx(2)得到的线性回归方程是不可靠的【解析】(1)利用回归直线方程的计算公式,计算出回归直线方程.(2)用(1)求得的回归直线方程,预测当10,8x 时,估计数据与实验数据的误差,由此判断出得到的线性回归方程不可靠.【详解】(1)由数据得11 13 12123x,253026273y.3972x y,23432x.511319iiix y,311319 10238 14977iiix y,由521598iix,同理得321434iix.3132213977972543443223
22、iiiiix yx ybxx,5271232aybx.所以y关于x的线性回归方程为532yx.(2)当10 x 时,22y,|2223|2,当8x 时,17y,|1714|2.所以得到的线性回归方程是不可靠的.【点睛】本小题主要考查回归直线方程的计算,考查利用回归直线方程进行检测,考查运算求解能力,属于中档题.18如图,在三棱柱111ABCABC中,1AA 平面ABC,点D是AB的中点,BCAC,22ABDC,13AA.(1)求证:平面1ADC 平面11ABB A;(2)求点A到平面1ADC的距离.【答案】(1)证明见解析(2)32【解析】(1)通过证明1,CDAA CDAB证得CD 平面11
23、ABB A,由此证得平面1ADC 平面11ABB A.(2)解法一:利用等体积法计算出点A到平面1ADC的距离;解法二:在平面1A AD内,过A作1AEAD,证得AE就是点A到平面1ADC的距离,利用等面积法求得点A到平面1ADC的距离.【详解】(1)证明:1AA 平面ABC,CD 平面ABC,1AACD,BCAC,D是的AB的中点,CDAB,又1AAABA,CD 平面11ABB A,CD 平面1ADC,平面1ADC 平面11ABB A;(2)解法一1AA 平面ABC,1AA是三棱锥1AADC的高,且1AAAD,由(1)及已知得ADC是腰长为 1 的等腰直角三角形,111 122ADCS ,1
24、1111333326AADCADCVSAA,又13AA,所以22112ADA AAD,由(1)得CD 平面11ABB A,1AD 平面11ABB A,1CDAD,11112 1122A DCSAD CD ,设点A到平面1ADC的距离为h,由11A A DCAADCVV,得113S36A DCh,32h 因此,点A到平面1ADC的距离为32.解法二:由(1)平面1ADC 平面11ABB A,平面1ADC平面111ABB AAD,在平面1A AD内,过A作1AEAD,则AE平面1ADC,故AE就是点A到平面1ADC的距离,1AA 平面ABC,在1Rt A AD中,22112ADA AAD.利用等面
25、积得113 1322A A ADAEAD,因此,点A到平面1ADC的距离为32.【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明,考查点到面的距离的求法,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题.19已知数列 na满足,*32111N232naaaan nnn.(1)求1a,2a的值(2)求数列 na的通项公式;(3)设121nnnnba a,数列 nb的前n项和为nS,求证:*Nn,314nS.【答案】(1)11a,24a(2)2*Nnann(3)证明见解析【解析】(1)根据题目所给已知条件,依次求得12,a a的值.(2)利用“退1作差法”求得数列 na的通项公式.(3)利用裂项求和法求得数列 nb
26、的前n项和为nS,根据nS的单调性证得314nS.【详解】(1)由32111232naaaan nn*Nn 当1n 时,111 112a,即11a.当2n 时,21122 1322a,解得24a.(2)32111232naaaan nn,当2n 时,3121112312naaaannn 111122nan nnnnn,2nan,由(1)11a,即上式当1n 时也成立.因此,na的通项公式为2*Nnann;(3)由(2)得2222121211111nnnnnba annnn,123222222211111111223341nnSbbbbnn 2111n 2111nSn 单调递增,当1n 时nS取
27、最小值134S,*Nn,2101n,21111n,即1nS.因此,314nS.【点睛】本小题主要考查根据递推关系求数列的通项公式,考查裂项求和法,考查数列的单调性,属于中档题.20已知抛物线C:220 xpy p的焦点为F,点00,P xy在抛物线C上,且满足0|1PFy.(1)求抛物线C的方程;(2)过抛物线C上的任意一点M作抛物线C的切线,交抛物线C的准线于点N.在y轴上是否存在一个定点H,使以MN为直径的圆恒过H.若存在,求出H的坐标,若不存在,则说明理由.【答案】(1)24xy(2)存在一个定点0,1H,使以MN为直径的圆恒过H【解析】(1)利用抛物线的定义,结合0|1PFy,求得p,
28、由此求得抛物线C的方程.(2)首先假设存在一个H,使以MN为直径的圆恒过H.设出切线MN的方程,利用导数建立切线斜率的等量关系式,结合HMHN0HM HN,利用向量数量积的坐标运算列方程,解方程求得H点的坐标,由此证得存在H点符合题意.【详解】(1)由抛物线定义知0|2pPFy,又0|1PFy,0012pyy,解得2p,抛物线C的方程为24xy.(2)存在一个H,使以MN为直径的圆恒过H.由(1)得抛物线C为214yx,准线方程为1y .依题意切线MN斜率一定存在且不为 0,设切线MN方程为ykxb.设定点为0,Ht,111,0M x yx,,1N a,12yx,切线斜率112kx,又2111
29、11114MNxykxaxa,MNkk,211111142xxxa,解得1122xax.以MN为直径的圆恒过定点H等价于HMHN.211111,4HMx ytxxt,112,12xHNtx.2111121124xHM HNxxttx 22111204t xtt 恒成立.10t 且220tt,解得1t,存在一个定点0,1H,使以MN为直径的圆恒过H.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义,考查抛物线的切线、圆的几何性质,考查向量数量积的坐标运算,考查利用导数求解抛物线切线有关问题,考查运算求解能力,属于中档题.21设函数 lnxg xxae,xh xaxe,10ea,(1)求 g x在1x 处的切线
30、的一般式方程;(2)请判断 g x与 h x的图像有几个交点?(3)设0 x为函数 g xh x的极值点,1x为 g x与 h x的图像一个交点的横坐标,且10 xx,证明:0132xx.【答案】(1)110ae xy(2)g x与 h x的图像有 2 交点(3)证明见解析【解析】(1)利用导数求得切线的斜率,结合切点坐标求得切线方程.(2)构造函数 f xg xh x,利用导数研究 f x的单调区间和零点,由此判断 g x与 h x的图像的交点个数.(3)结合(2)以及题意得到 0100fxfx,化简得到102011lne1xxxxx,利用放缩法以及取对数运算,化简证得0132xx成立.【详
31、解】(1)由 1exgaxx得切线的斜率为 11ekga,切点为1,ea.切线方程为:e1e1yaax,所求切线的一般式方程为110ae xy.(2)令 lneexxf xg xh xxaax由题意可知,f x的定义域为0,,且 211ee1exxxaxfxaaxxx.令 21exm xax,得 22 eexxmxaxx,由10ea,0 x 得,可知 m x在0,内单调递减,又 11e0ma,且221111ln1ln1ln0maaaaa ,故 0m x 在0,内有唯一解,从而 0fx在0,内有唯一解,不妨设为0 x,则011lnxa,当00,xx时,00m xm xfxxx,f x在00,x内
32、单调递增;当0,xx时,00m xm xfxxx,f x在0,x 内单调递减,因此0 x是 f x的唯一极值点.令 ln1xxx,则当1x 时,110 xx,故 x在1,内单调递减,当1x 时,10 x,即ln1xx,从而1ln111lnlnln1 lnafaeaaa111lnlnln1ln0aaa,又因为 010f xf,f x在0,x 内有唯一零点,又 f x在00,x内有唯一零点 1,从而,f x在0,内恰有两个零点.所以 g x与 h x的图像有 2 交点;(3)由(2)及题意,010,0,fxf x即012011e1,ln1 e,xxaxxa x 从而1011201lnexxxxx,
33、即102011lne1xxxxx,当1x 时,ln1xx,又101xx,故1020120111xxxxexx,两边取对数,得1020lnlnxxex,于是10002ln21xxxx,整理得0132xx,命题得证.【点睛】本小题主要考查利用导数求切线方程,考查利用导数研究两个函数图像的交点个数,考查利用导数研究函数的单调性和极值,考查利用导数证明不等式,考查化归与转化的数学思想方法,考查运算求解能力,属于难题.22设A为椭圆1C:221424xy上任意一点,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C的极坐标方程为210cos240,B为2C上任意一点.()写出1C参数方程和2C普
34、通方程;()求AB最大值和最小值.【答案】()2cos2 6sinxy(为参数),2251xy()3 61,2【解析】()根据椭圆的参数方程cossinxayb,(为参数),直接写出1C参数方程,再根据222cosxyx,将2C转化为普通方程,即可.()由()得,设2cos,2 6sinA,圆2C的圆心5,0M,计算2120 cos542AM,计算maxAM与minAM,求解max1AM与min1AM,即可.【详解】()由题意可得1C的参数方程为:2cos,2 6sin,xy(为参数),又210cos240,且222xy,cosx,2C的普通方程为2210240 xyx,即2251xy.()由
35、()得,设2cos,2 6sinA,圆2C的圆心5,0M,则22|2cos52 6sinAM220cos20cos49 2120 cos542,cos1,1,当1cos2 时,max|3 6AM;当cos1时,min|3AM.当1cos2 时,maxmax|13 61ABAM;当cos1时,minmin|12ABAM.【点睛】本题考查椭圆的参数方程,极坐标方程与直角坐标方程互化,以及二次函数的最值,属于中档题.23已知函数 22f xxa aR,对Rx,f x满足 2f xfx.()求a的值;()若Rx,使不等式 2122f xf xmm,求实数m的取值范围.【答案】()1a,()21m 【解
36、析】()根据函数的对称性,确定 f x的图象关于直线1x 对称,求解即可.()令 3,11231,1123,1xxg xf xf xxxxx ,则 max12g xg,根据存在性问题,可知 2maxg xmm,求解m的取值范围即可.【详解】()Rx,2f xfx,f x的图象关于直线1x 对称,又|22|2|f xxaxa,f x的图象关于直线xa对称,1a.()令 122g xf xf x,由()2|1|f xx,则 3,112131,113,1xxg xxxxxxx 因此,g x在区间1,上单调递减,在区间,1 上单调递增.max12g xg.Rx 使不等式 2122f xf xmm等价于 2maxg xmm,即220mm.解得21m,即实数m的取值范围是21m.【点睛】本题考查函数的对称性,含绝对值不等式的求解,属于常规题.