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1、- 1 -第三节第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系2017 考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解作为推理依据的公理和定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。2016，山东卷，6,5 分(线线、面面位置关系)2015，广东卷，7,5 分(线线、面面位置关系)2014，全国卷，11,5 分(线面位置关系判定)平面的基本性质是立体几何的基础，而两条异面直线所成的角和距离是高考热点，在新课标高考卷中频频出现。微知识 小题练自|主|排|查1平面的基本性质名称图示文字表示符号表示公理 1如果一
2、条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内Al，Bl，且A，Bl- 2 -公理 2过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面A、B、C三点不共线有且只有一个平面，使A、B、C公理 3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P，且Pl，且Pl2.空间两直线的位置关系(1)Error!(2)平行公理：公理 4：平行于同一直线的两条直线互相平行空间平行线的传递性。(3)等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。(4)异面直线所成的角：定义：设a、b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直
3、线a与b所成的角(或夹角)。范围：。(0， 23直线与平面的位置关系位置关系图示符号表示公共点个数直线l在平面内l无数个直线l与平面相交lA一个直线l与平面平行l0 个- 3 -微点提醒 1正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内” 。2不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件。3两条异面直线所成角的范围是。(0， 24两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角。小|题|快|练一 、走进教材1(必修 2P49练习题)若直线a不平行于平面，且a，则下列结论成立的是( )A内的所有
4、直线与a异面B内不存在与a平行的直线C内的直线与a都相交D内存在唯一的直线与a平行【解析】 若直线a不平行于平面，且a，则线面相交，A 选项不正确，内存在直线与a相交；B 选项正确，内的直线与直线a的位置关系是相交或者异面，不可能平行；C 选项不正确，内只有过直线a与平面的交点的直线与a相交；D 选项不正确，因为内的直线与直线a的位置关系是相交或者异面，不可能平行。故选 B。【答案】 B2(必修 2P52B 组 T1(1)如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：BM与ED平行；CN与BE是异面直线；CN与BM成 60角；DM与BN是异面直线。以上四个命题中，正确命题的序号是( )A BC
5、D【解析】 展开图复原的正方体如图，不难看出：BM与ED是异面直线，故错误；CN与BE是平行线，故错误；CN与BM成60，故正确；DM与BN是异面直线，故正确。故答案为。故选 C。- 4 -【答案】 C二、双基查验1若空间三条直线a，b，c满足ab，bc，则直线a与c( )A一定平行 B一定相交C一定是异面直线 D一定垂直【解析】 因为bc，ab，所以ac，即a与c垂直。故选 D。【答案】 D2下列命题正确的个数为( )经过三点确定一个平面梯形可以确定一个平面两两相交的三条直线最多可以确定三个平面A0 个 B1 个C2 个 D3 个【解析】 错误，正确。故选 C。【答案】 C3.如图所示，已知
6、在长方体ABCDEFGH中，AB2，AD2，AE2，则BC和EG所成角的大小是_，AE33和BG所成角的大小是_。【解析】 BC与EG所成的角等于EG与FG所成的角即EGF，tanEGF1，EGF45，AE与BG所成的角EF FG2 32 3等于BF与BG所成的角即GBF，tanGBF，GBF60。GF BF2 323【答案】 45 604已知空间四边形ABCD中，M，N分别为AB，CD的中点，则下列判断：- 5 -MN (ACBD)；MN (ACBD)；MN (ACBD)；MN (ACBD)。其中正确的是1 21 21 21 2_。【解析】 如图，取BC的中点O，连接MO，NO，则OMAC，
7、ONBD，1 21 2在MON中，MNOMON (ACBD)，正确。1 2【答案】 微考点 大课堂考点一 平面的基本质及应用【典例 1】 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点，求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点。【证明】 (1)如图，连接CD1，EF，A1B，E，F分别是AB和AA1的中点，EFA1B且EFA1B。1 2又A1D1綊BC，四边形A1BCD1是平行四边形。A1BCD1，EFCD1，EF与CD1确定一个平面。E，F，C，D1，即E，C，D1，F四点共面。(2)由(1)知，EFCD1，且EFCD1，1 2四边形C
8、D1FE是梯形，CE与D1F必相交。设交点为P，则PCE平面ABCD，- 6 -且PD1F平面A1ADD1，P平面ABCD且P平面A1ADD1。又平面ABCD平面A1ADD1AD，PAD，CE，D1F，DA三线共点。反思归纳 1.证明点或线共面问题的两种方法：首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合。2证明点共线问题的两种方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；直接证明这些点都在同一条特定直线上。3证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点。【变式训
9、练】 (1)(2016上海区调研)已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件(2)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点。求证：D1，H，O三点共线。【解析】 (1)若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直线AC和BD不相交，但直线AC和BD平行时，A，B，C，D四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件。(2)证明：连接BD，B1D1，如图。则BDACO，BB
10、1綊DD1，四边形BB1D1D为平行四边形，又HB1D，B1D平面BB1D1D，则H平面BB1D1D，又H平面ACD1，平面ACD1平面BB1D1DOD1，HOD1。即D1，H，O三点共线。【答案】 (1)A (2)见解析考点二 空间两条直线的位置关系多维探究角度一：平行与相交的判定【典例 2】 (1)(2017济南模拟)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别在- 7 -A1D，AC上，且A1E2ED，CF2FA，则EF与BD1的位置关系是( )A相交但不垂直 B相交且垂直C异面 D平行(2)(2015广东高考)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面内，l2在平面内，l是平面与
11、平面的交线，则下列命题正确的是( )Al与l1，l2都不相交Bl与l1，l2都相交Cl至多与l1，l2中的一条相交Dl至少与l1，l2中的一条相交【解析】 (1)连接D1E并延长，与AD交于点M，因为A1E2ED，可得M为AD的中点，连接BF并延长，交AD于点N，因为CF2FA，可得N为AD的中点，所以M，N重合，且 ， ，ME ED11 2MF BF1 2所以，所以EFBD1。故选 D。ME ED1MF BF(2)由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交。故选 D。【答案】 (1)D (2)D角度二：异面直线的判定【典例 3】 在图中，G，N，M，H分
12、别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_。(填上所有正确答案的序号)- 8 -【解析】 图中，直线GHMN；图中，G，H，N三点共面，但M面GHN，因此直线GH与MN异面；图中，连接MG，GMHN，因此GH与MN共面；图中，G，M，N共面，但H面GMN，因此GH与MN异面。所以在图中，GH与MN异面。【答案】 反思归纳 1.线线平行或垂直的判定方法(1)对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理 4 及线面平行与面面平行的性质定理来判断。(2)对于线线垂直，往往利用线面垂直的定义，由线面垂直得到线线垂直。2异面直线的判定方法(1)反证法：先假设两条直
13、线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面。(2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线。【变式训练】 (1)(2016福州质检)已知命题p：a，b为异面直线，命题q：直线a，b不相交，则p是q的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件(2)(2016浙江金丽衢联考)已知a，b，c为三条不同的直线，且a平面，b平面，c。若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；若ab，则必有ac；若ab，ac，则必有。其中正确命题的个数
14、是( )A0 B1- 9 -C2 D3【解析】 (1)若直线a，b不相交，则a，b平行或异面，所以p是q的充分不必要条件。故选 A。(2)中若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交，故正确；中平面平面时，若bc，则b平面，此时不论a，c是否垂直，均有ab，故错误；中当ab时，则a平面，由线面平行的性质定理可得ac，故正确；中若bc，则ab，ac时，a与平面不一定垂直，此时平面与平面也不一定垂直，故错误，所以正确命题的个数是 2。故选 C。【答案】 (1)A (2)C考点三 异面直线所成的角母题发散【典例 4】 如图在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1
15、2AB2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )A. B.1 52 5C. D.3 54 5【解析】 连接BC1，易证BC1AD1，则A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角。连接A1C1，由AB1，则AA12，A1C1，A1BBC1，25故 cosA1BC1 。5522 5 54 5则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为 。故选 D。4 5【答案】 D【母题变式】 将本典例条件“AA12AB2”改为“AB1，若异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为” ，试求：的值。9 10AA1 AB【解析】 设t，则AA1tAB。AA1 ABAB1，AA1t，A1C1，A1BBC1，2t21
16、cosA1BC1。t21t2122 t21 t219 10- 10 -t3，即3。AA1 AB【答案】 3反思归纳 探求常规的异面直线所成角的问题，首先要理清求角的基本步骤为“一作，二证，三求” ，通过平行线或补形平移法把异面直线转化为相交直线进而求其夹角，其中空间选点任意但要灵活，如常选择端点、中点、等分点，通过三角形的中位线平行于底边，长方体对面上的平行线进行平移等。这是研究空间图形的一种基本思路，即把空间图形问题转化为平面图形问题。微考场 新提升1下列命题正确的个数为( )梯形可以确定一个平面；若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；
17、如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合。A0 B1 C2 D3解析 中两直线可以平行、相交或异面，中若三个点在同一条直线上，则两个平面相交，正确。故选 C。答案 C2已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b( )A一定是异面直线B一定是相交直线C不可能是平行直线D不可能是相交直线解析 由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若bc，则ab，与已知a，b为异面直线相矛盾。故选 C。答案 C3已知直线a和平面，l，a，a，且a在，内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是( )A相交或平行 B相交或异面C平行或异面 D相交、平行或异面解析 依题
18、意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面，故选 D。答案 D4(2016临沂模拟)在三棱锥SACB中，SABSACACB90，AC2，BC- 11 -，SB，则SC与AB所成角的余弦值为_。1329解析 如图，取BC的中点E，分别在平面ABC内作DEAB，在平面SBC内作EFSC，则异面直线SC与AB所成的角为FED，过F作FGAB，连接DG，则DFG为直角三角形。由题知AC2，BC，SB，可得DE，EF2，DF 。13291725 2在DEF中，由余弦定理可得 cosFED。DE2EF2DF2 2DEEF1717答案 17175.(2017泸州模拟)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中
19、，ACB90，AA12，ACBC1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值为_。解析 由于ACA1C1，所以BA1C1(或其补角)就是所求异面直线所成的角。在BA1C1中，A1B，A1C11，BC1，65cosBA1C1。6152 6 166答案 66微专题 巧突破构造平面研究直线相交问题【典例】 在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有_条。【思路分析】 【解析】 解法一：如图，在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有一个交点N，当M取不同的位置时就确定不同的平面，从而与CD
20、有不同的交点N，而直线MN与这三条异面直线都有交点，所以在空间中与这三条直线都相交的直线有无数条。解法二：在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面，因为- 12 -CD与平面不平行，所以它们相交，设它们交于点Q，连接PQ，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线。由点P的任意性，知有无数条直线与三条直线A1D1，EF，CD都相交。【答案】 无数【温馨提示】 1.本题难度不大，但比较灵活。对平面的基本性质、空间两条直线的位置关系的考查难度一般都不会太大。2注意本题解法较多，但关键在于构造平面，但不少学生不会构造平面，因此失分较多。【变式训练】 设l是直线，是两个不同的平面，( )A若l，l，则 B若l，l，则C若，l，则l D若，l，则l【解析】 解法一：设a，若直线la，且l，l，则l，l，因此不一定平行于，故 A 错误；由于l，故在内存在直线ll。又因为l。所以l，故，所以 B 正确；若，在内作交线的垂线l，则l，此时l在平面内，因此 C 错误；已知，若a，la，且l不在平面，内，则l且l，因此 D 错误。故选 B。解法二：借助于长方体模型解决本题：对于 A，如图，与可相交；对于 B，如图，不论在何位置，都有；对于 C，如图，l可与平行或l内；对于 D，如图，l或l或l。故选 B。【答案】 B