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1、1升级增分训练升级增分训练 最值、范围、存在性问题最值、范围、存在性问题1(2016贵阳监测考试)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且椭圆Cy2 a2x2 b263上的点到一个焦点的距离的最小值为32(1)求椭圆C的方程；(2)已知过点T(0,2)的直线l与椭圆C交于A，B两点，若在x轴上存在一点E，使AEB90，求直线l的斜率k的取值范围解：(1)设椭圆的半焦距长为c，则由题设有Error!解得a，c，32b21，故椭圆C的方程为x21y2 3(2)由已知可得，直线l的方程为ykx2，以AB为直径的圆与x轴有公共点设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点为M(x0，y0)，将直线l：
2、ykx2 代入x21，y2 3得(3k2)x24kx10，则12k2120，x1x2，x1x24k 3k21 3k2x0，y0kx02，x1x2 22k 3k26 3k2|AB|1k2x1x224x1x2，1k212k2123k22 3k413k2Error!解得k413，即k或k413413故所求斜率的取值范围为(，)4134132(2016西安质检)如图所示，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好在抛物线x28y的准线上32(1)求椭圆C的标准方程；(2)点P(2，)，Q(2，)在椭圆上，A，B是椭圆上位于直33线PQ两侧的动点，当A，B运动时，满足APQBPQ
3、，试问直线AB的斜率是否为定值，2请说明理由解：(1)设椭圆C的标准方程为1(ab0)x2 a2y2 b2椭圆的一个顶点恰好在抛物线x28y的准线y2 上，b2，解得b2又 ，a2b2c2，c a32a4，c23可得椭圆C的标准方程为1x2 16y2 4(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，APQBPQ，则PA，PB的斜率互为相反数，可设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为k，直线PA的方程为：yk(x2)，3联立Error!消去y，得(14k2)x28k(2k)x4(2k)2160，33x128k2k 314k2同理可得：x22，8k2k 314k28k2k 314k2x1x2，x1x2
4、，16k24 14k216 3k14k2kABy1y2 x1x2kx1x24k x1x236直线AB的斜率为定值363(2016贵阳期末)已知椭圆C的两个焦点是(0，)和(0，)，并且经过点33，抛物线E的顶点在坐标原点，焦点恰好是椭圆C的右顶点F(32，1)(1)求椭圆C和抛物线E的标准方程；(2)过点F作两条斜率都存在且互相垂直的直线l1，l2，l1交抛物线E于点A，B，l2交抛物线E于点G，H，求的最小值AGHB解：(1)设椭圆C的标准方程为1(ab0)，焦距为 2c，则由题意得c，y2 a2x2 b232a4，3 41 323 41 323a2，b2a2c21，椭圆C的标准方程为x21
5、y2 4右顶点F的坐标为(1,0)设抛物线E的标准方程为y22px(p0)， 1,2p4，p 2抛物线E的标准方程为y24x(2)设l1的方程：yk(x1)，l2的方程：y (x1)，1 kA(x1，y1)，B(x2，y2)，G(x3，y3)，H(x4，y4)由Error!消去y得：k2x2(2k24)xk20，4k416k2164k40，x1x22，x1x214 k2同理x3x44k22，x3x41，()()AGHBAFFGHFFBAFHFAFFBFGHFFGFB|AF|FB|FG|HF|x11|x21|x31|x41|(x1x2x1x21)(x3x4x3x41)84k24 k28216，4
6、 k24k2当且仅当4k2，即k1 时，有最小值 164 k2AGHB4已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半x2 a2y2 b263轴长为半径的圆与直线 2xy60 相切2(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点A，B为动直线yk(x2)(k0)与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点E，使得2为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值；若不存EAEAAB4在，请说明理由解：(1)由e，得 ，63c a63即ca，63又以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2y2a2，且该圆与直线 2xy60 相切，2所以a，代入得c2，|6|22 226所以b2a2c22，
7、所以椭圆C的标准方程为1x2 6y2 2(2)由Error!得(13k2)x212k2x12k260设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1x2，x1x212k2 13k212k26 13k2根据题意，假设x轴上存在定点E(m,0)，使得2()EB为定值，EAEAABEAABEAEA则EB(x1m，y1)(x2m，y2)EA(x1m)(x2m)y1y2(k21)x1x2(2k2m)(x1x2)(4k2m2)，3m212m10k2m26 13k2要使上式为定值，即与k无关，只需 3m212m103(m26)，解得m ，7 3此时，2m26 ，EAEAAB5 9所以在x轴上存在定点E使得2为定值，且定值为 (7 3，0)EAEAAB5 9