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1、1专题检测（十九）坐标系与参数方程专题检测（十九）坐标系与参数方程1(2017合肥一检)已知直线l的参数方程为Error!(t为参数)在以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为 sin cos20.3(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)写出直线l与曲线C交点的一个极坐标解：(1)sin cos20，sin 2cos20，33即yx20.3故曲线C的直角坐标方程为yx20.3(2)将Error!代入yx20 得，3t20，333(11 2t)解得t0，从而交点坐标为(1，)，3交点的一个极坐标为.(2， 3)2在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极
2、坐标系，半圆C的极坐标方程为4cos ，.0， 2(1)求半圆C的参数方程；(2)若半圆C与圆D：(x5)2(y)2m(m是常数，m0)相切，试求切点的直角3坐标解：(1)半圆C的普通方程为(x2)2y24(0y2)，则半圆C的参数方程为Error!(t为参数，0t)(2)C，D的圆心坐标分别为(2,0)，(5，)，3于是直线CD的斜率k.305233由于切点必在两个圆心的连线上，故切点对应的参数t满足 tan t，t，33 6所以切点的直角坐标为，(22cos 6，2sin6)即(2，1)33(2017宝鸡质检)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C
3、的极坐标方程为2(cos sin )(1)求C的直角坐标方程；2(2)直线l：Error!(t为参数)与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点E，求|EA|EB|.解：(1)由2(cos sin )得22(cos sin )，得曲线C的直角坐标方程为x2y22x2y，即(x1)2(y1)22.(2)将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，化简得t2t10，点E对应的参数t0，设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1t21，t1t21，所以|EA|EB|t1|t2|t1t2|.t1t224t1t254(2017张掖一诊)在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：Error!(为参数)，在以坐标原点O为
4、极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：cos，曲线( 4)22C3：2sin .(1)求曲线C1与C2的交点M的直角坐标；(2)设点A，B分别为曲线C2，C3上的动点，求|AB|的最小值解：(1)曲线C1：Error!消去参数，得yx21，x1,1 曲线C2：cosxy10， ( 4)22联立，消去y可得：x2x20，解得x1 或x2(舍去)，所以M(1,0)(2)曲线C3：2sin 的直角坐标方程为x2(y1)21，是以(0,1)为圆心，半径r1 的圆设圆心为C，则点C到直线xy10 的距离d，所以|AB|的最小值|011|22为1.25(2017成都一诊)在平面直角坐标系xOy中，
5、倾斜角为的直线l的( 2)参数方程为Error!(t为参数)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是cos24sin 0.(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；3(2)已知点P(1,0)若点M的极坐标为，直线l经过点M且与曲线C相交于(1， 2)A，B两点，设线段AB的中点为Q，求|PQ|的值解：(1)直线l的参数方程为Error!(t为参数)，直线l的普通方程为ytan (x1)由cos24sin 0，得2cos24sin 0，即x24y0.曲线C的直角坐标方程为x24y.(2)点M的极坐标为，(1， 2)点M的直角坐标为(0,1)tan 1，直线
6、l的倾斜角.3 4直线l的参数方程为Error!(t为参数)代入x24y，得t26t20.2设A，B两点对应的参数分别为t1，t2.Q为线段AB的中点，点Q对应的参数值为3.t1t2 26 222又点P(1,0)，则|PQ|3.|t1t2 2|26(2017全国卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为cos 4.(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|OP|16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求OAB面积的最大值(2， 3)解：(1)设P的极坐标为(，)(0)，M的极坐标为(
7、1，)(10)由题设知|OP|，|OM|1.4 cos 由|OM|OP|16，得C2的极坐标方程4cos (0)因此C2的直角坐标方程为(x2)2y24(x0)(2)设点B的极坐标为(B，)(B0)，由题设知|OA|2，B4cos ，于是OAB的面积S |OA|BsinAOB4cos 1 2|sin( 3)|422.|sin(2 3)32|3当时，S取得最大值 2. 123所以OAB面积的最大值为 2.37(2017成都二诊)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为Error!(为参数)，直线l的参数方程为Error!(t为参数)在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O的
8、射线与曲线C相交于不同于极点的点A，且点A的极坐标为(2，)，其中.3( 2，)(1)求的值；(2)若射线OA与直线l相交于点B，求|AB|的值解：(1)由题意知，曲线C的普通方程为x2(y2)24，xcos ，ysin ，曲线C的极坐标方程为(cos )2(sin 2)24，即4sin .由2，得 sin ，332，.( 2，)2 3(2)由题易知直线l的普通方程为xy40，33直线l的极坐标方程为cos sin 40.33又射线OA的极坐标方程为(0)，2 3联立Error!解得4.3点B的极坐标为，(4 3，2 3)|AB|BA|422.3338在极坐标系中，已知曲线C1：2cos 和曲
9、线C2：cos 3，以极点O为坐标原点，极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系(1)求曲线C1和曲线C2的直角坐标方程；(2)若点P是曲线C1上一动点，过点P作线段OP的垂线交曲线C2于点Q，求线段PQ长度的最小值解：(1)C1的直角坐标方程为(x1)2y21，C2的直角坐标方程为x3.(2)设曲线C1与x轴异于原点的交点为A，PQOP，5PQ过点A(2,0)设直线PQ的参数方程为Error!(t为参数)，代入C1可得t22tcos 0，解得t10，t22cos ，可知|AP|t2|2cos |.代入C2可得 2tcos 3，解得t，1 cos 可知|AQ|t|，|1 cos |PQ|AP|AQ|2cos |2，当且仅当|2cos |时取|1 cos |2|1 cos |等号，线段 PQ 长度的最小值为 2.2