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1、1课时作业课时作业(十六十六) 圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的综合问题1(2015全国卷)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，点(2，)在Cx2 a2y2 b2222上(1)求C的方程；(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值解析：(1)由题意有，1，a2b2a224 a22 b2解得a28，b24，所以C的方程为1.x2 8y2 4(2)设直线l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)将ykxb代入1 得x2 8y2 4(2k21)x24kbx2b280.xM，x1x
2、2 22kb 2k21yMkxMb.b 2k21于是直线OM的斜率kOM，yM xM1 2k即kOMk .1 2所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值2(2017北京卷)已知抛物线C：y22px过点P(1,1)过点作直线l与抛物(0，1 2)线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点解析：(1)由抛物线C：y22px过点P(1,1)，得p .1 2所以抛物线C的方程为y2x.抛物线C的焦点坐标为，准线方程为x .(1 4，0)1 42(2)由题意，设直线l的方程
3、为ykx (k0)，l与抛物线C的交点为M(x1，y1)，1 2N(x2，y2)由Error!得 4k2x2(4k4)x10，则x1x2，x1x2.1k k21 4k2因为点P的坐标为(1,1)，所以直线OP的方程为yx，点A的坐标为(x1，x1)直线ON的方程为yx，点B的坐标为.y2 x2(x1，y2x1 x2)因为y12x1y2x1 x2y1x2y2x12x1x2 x2(kx11 2)x2(kx21 2)x12x1x2 x22k2x1x212x2x1 x20，2k2 1 4k21k 2k2 x2所以y12x1，y2x1 x2故A为线段BM的中点3(2017全国卷)已知抛物线C：y22x，
4、过点(2,0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆(1)证明：坐标原点O在圆M上；(2)设圆M过点P(4，2)，求直线l与圆M的方程解析：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：xmy2，由Error!可得y22my40，则y1y24.又x1，x2，故x1x24.y2 1 2y2 2 2y1y22 4因此OA的斜率与OB的斜率之积为1，所以OAOB，y1 x1y2 x24 4故坐标原点O在圆M上(2)由(1)可得y1y22m，x1x2m(y1y2)42m24，故圆心M的坐标为(m22，m)，圆M的半径r.m222m23由于圆M过点P(4，2)，因此0，APBP故(x14
5、)(x24)(y12)(y22)0，即x1x24(x1x2)y1y22(y1y2)200.由(1)可得y1y24，x1x24，所以 2m2m10，解得m1 或m .1 2当m1 时，直线l的方程为xy20，圆心M的坐标为(3,1)，圆M的半径为，10圆M的方程为(x3)2(y1)210.当m 时，直线l的方程为 2xy40，圆心M的坐标为，圆M的半径1 2(9 4，1 2)为，854圆M的方程为22.(x9 4)(y1 2)85 164(2017山东卷)在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：1(ab0)的离心率x2 a2y2 b2为，焦距为 2.22(1)求椭圆E的方程；(2)如图，动直线l：yk
6、1x交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上一点，直线OC32的斜率为k2，且k1k2.M是线段OC延长线上一点，且|MC|AB|23，M的半径为24|MC|，OS，OT是M的两条切线，切点分别为S，T.求SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率解析：(1)由题意知e ，2c2，所以a，b1，c a222所以椭圆E的方程为y21.x2 2(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程Error!得(4k2)x24k1x10.2 134由题意知0，且x1x2，x1x2，2 3k12k2 111 22k2 11所以|AB| |x1x2|1k2 1 .21k2 1 18k2 112k2 1由题意
7、可知圆M的半径r为r |AB| .2 32 231k2 1 18k2 12k2 11由题设知k1k2，所以k2，2424k1因此直线OC的方程为yx.24k1联立方程Error!得x2，y2，8k2 1 14k2 11 14k2 1因此|OC| .x2y218k2 1 14k2 1由题意可知 sin，SOT 2r r|OC|11|OC|r而|OC| r18k2 1 14k2 12 231k2 1 18k2 112k2 1，3 2412k2 114k2 1 1k2 1令t12k，则t1， (0,1)，2 11 t因此|OC| r3 2t2t2t13 2121t1 t21，3 21(1t1 2)2
8、9 4当且仅当 ，即t2 时等号成立，此时k1，1 t1 222所以 sin ，因此，SOT 21 2SOT 2 65所以SOT的最大值为. 3综上所述：SOT的最大值为，取得最大值时直线l的斜率为k1. 3225如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1y2的值及直线AB的斜率解析：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y22px(p0)因为点P(1,2)在抛物线上，所以 222p1，解得p2.故所求抛物线的方程是y24x，准线方程是x1
9、.(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，则kPA(x11)，kPB(x21)，y12 x11y22 x21因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，所以kPAkPB.由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得y4x1，2 1y4x2，2 2所以，所以y12(y22)y12 1 4y2 11y22 1 4y2 21所以y1y24.由得，yy4(x1x2)，2 12 2所以kAB1(x1x2)y1y2 x1x24 y1y26(2017陕西省高三教学质量检测试题(一)已知F1，F2为椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，点P(1， )在椭圆E上，且|PF1|PF2|4.x2 a2
10、y2 b23 2(1)求椭圆E的方程；(2)过F1的直线l1，l2分别交椭圆E于A，C和B，D，且l1l2，问是否存在常数，使得，成等差数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由1 |AC|1 |BD|6解析：(1)|PF1|PF2|4，2a4，a2.椭圆E：1.x2 4y2 b2将P(1， )代入可得b23，3 2椭圆E的方程为1.x2 4y2 3(2)当AC的斜率为零或斜率不存在时， ；1 |AC|1 |BD|1 31 47 12当AC的斜率k存在且k0 时，AC的方程为yk(x1)，代入椭圆方程1，并化简得(34k2)x28k2x4k2120.x2 4y2 3设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1x2，x1x2.8k2 34k24k212 34k2|AC|x1x2|1k2.1k2x1x224x1x2121k2 34k2直线BD的斜率为 ，1 k|BD|.1211k2341k2121k2 3k24.1 |AC|1 |BD|34k2 121k23k24 121k27 12综上，2，1 |AC|1 |BD|7 12.7 24故存在常数，使得，成等差数列7241|AC|1|BD|