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1、1配餐作业配餐作业( (七十六七十六) ) 不等式证明的基本方法不等式证明的基本方法(时间：40 分钟)1(1)已知a，b都是正数，且ab，求证：a3b3a2bab2；(2)已知a，b，c都是正数，求证：abc。a2b2b2c2c2a2 abc证明 (1)(a3b3)(a2bab2)(ab)(ab)2。因为a，b都是正数，所以ab0。又因为ab，所以(ab)20。于是(ab)(ab)20，即(a3b3)(a2bab2)0，所以a3b3a2bab2。(2)因为b2c22bc，a20，所以a2(b2c2)2a2bc。同理，b2(a2c2)2ab2c。c2(a2b2)2abc2。相加得 2(a2b2
2、b2c2c2a2)2a2bc2ab2c2abc2，从而a2b2b2c2c2a2abc(abc)。由a，b，c都是正数，得abc0，因此abc。a2b2b2c2c2a2 abc2(2016安徽皖北联考)设函数f(x)|x2|x2|，xR R，不等式f(x)6 的解集为M。(1)求M；(2)当a，bM时，证明：3|ab|ab9|。解析 (1)|x2|x2|6 等价于Error!或Error!或Error!解得3x3。故M3,3。(2)证明：当a，bM时，即3a3，3b3 时，要证 3|ab|ab9|，即证 9(ab)2(ab9)2。而 9(ab)2(ab9)29a29b2a2b281(b29)(9
3、a2)0，故 3|ab|ab9|。答案 (1)3,3 (2)见解析23(2017赣州模拟)设a、b为正实数，且 2。1 a1 b2(1)求a2b2的最小值；(2)若(ab)24(ab)3，求ab的值。解析 (1)由 2 2得ab 。21 a1 b1 ab1 2当且仅当ab时取等号。22故a2b22ab1，当ab时取等号。22所以a2b2的最小值是 1。(2)由(ab)24(ab)3得24ab。(1 a1 b)即24ab，从而ab2。(1 a1 b)4 ab1 ab又ab2，所以ab2，1 ab1 ab又a，b为正实数，所以ab1。答案 (1)1 (2)14(2016湖北八校联考)已知函数f(x
4、)的定义域为 R R。|x2|x4|m(1)求实数m的取值范围；(2)若m的最大值为n，当正数a，b满足n时，求 4a7b的最小值。4 a5b1 3a2b解析 (1)函数f(x)的定义域为 R R，且|x2|x4|(x2)(x4)|6，m6。(2)由(1)知n6，利用柯西不等式求得，4a7b (4a7b) (a5b)(3a2b) ，当且1 6(4 a5b1 3a2b)1 6(4 a5b1 3a2b)3 2仅当a，b时取等号，1 265 264a7b的最小值为 。3 2答案 (1)(，6 (2)3 2(时间：20 分钟)1(2016福建质检)已知函数f(x)|x1|。3(1)求不等式f(x)f(
5、a)f(b)。解析 (1)当x1 时，原不等式可化为x11，1 2此时原不等式的解是x1。综上，Mx|x1。(2)证明：因为f(ab)|ab1|(abb)(1b)|abb|1b|b|a1|1b|，又a，bM，所以|b|1，|a1|0。所以f(ab)|a1|1b|，即f(ab)f(a)f(b)。答案 (1)x|x1 (2)见解析2(2016安徽江南十校联考)已知函数f(x)|x|2x1|，记f(x)1 的解集为M。(1)求M；(2)已知aM，比较a2a1 与 的大小。1 a解析 (1)f(x)|x|2x1|Error!由f(x)1，得Error!或Error!或Error!解得 00，a1a21 a所以a2a1 ，1 a综上所述：当 0 。1 a答案 (1)x|01a