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1、专题18解析几何中的双曲线问题【高考真题】（2022北京）已知双曲线2+工=1的渐近线方程为）,=且和 则，? =.m31.答案 一3 解析 对于双曲线9+ = 1,所以加 （）的渐近线与圆产+24），+ 3 = 0相切，贝lj? =.2. 答案 与 解析双曲线），2- = 1（/0）的渐近线为），=,即x士四，二0,不妨取x+D，=。，圆 f +），2-4），+ 3 = 0,即f+（y_2）2=l,所以圆心为（0,2）,半径r= 1,依题意圆心（0,2）到渐近线X +叫，=。的距离d = j = l,解得 ?=立或j =立（舍去）.故答案为立 V1 + W3333.（2022全国甲支）记双曲
2、线C: = -1=1（40力0）的离心率为e,写出满足条件“直线 = 2x与C无 a- b-公共点”的e的一个值3.3.答案2（满足l0力0）,所以。的渐近线方程为y = &x, a结合渐近线的特点，只需。4d即/4,可满足条件“直线lx与C无公共点，所以714=75 ,又因为61,所以l0,所以N在双曲线的右支，所以|OG| = ，|O = j |G用=力，设/再叫=。， 4 F、FN = 0 , 由 cosNNEu。，即 cosa = 3,则 sina=3, sin /? = , cos /?=,在 中，- 55Seesin/汨居N = sin（乃一a-= sin（a + ）=sincrc
3、os/74-cos6ysin/? = x + x= + ,由正弦定理得5 c 5 c 5c2c _加巴|_ 加/ =5csin a sin P sin ZFlF2N 2，所以|N周=5sinN片马2 =5x314 = 3142 5c 2|W| = ySin/? = yx = y ,又 |N| 一|N周=% ； 4=4b 2 2a = 2a，所以乃= M,即 g = |，所以双曲线的离心率以双曲线的离心率5. （2022浙江）已知双曲线4=130,方0）的左焦点为立 过尸且斜率为3的直线交双曲线于点a2 b24a5.答案平y = T-U+c)4aby = xA（国,y）,交双曲线的渐近线于点以%
4、），2）且。.若1所|=3|融|,则双曲线的离心率是解析 过b且斜率为二的直线AB: y = -（x + c）,渐近线: y = -x ,联立4a4aa得哈都由得从仔斜而点A在双曲线上，于是券一需“解得小噌所以离心率e =亚.故答案为地. 44【知识总结】1 .双曲线的定义（I）定义：平面内与两个定点尸I，尸2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于IF/,）的点的轨迹.符号表示：IIMBMF2=2a（常数）（0v24|FiF2|）.（3）焦点：两个定点Q, F2.（4）焦距：两焦点间的距离，表示为IFiBL2 .双曲线的标准方程和简单几何性质标准方程22%一1=1(0, /?0)?2力一筐=l(
5、a0, /?0)图形w性质住占 1JFi(-c, 0), F2(c, 0)Fi(0, c) 尸2(0，c)焦距|FiF2|=2c范围yWa 或xR对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点4( 4, 0),42(。，0)Ai(0 a), A2(0, a)轴实轴：线段A1A2，长：加;虚轴：线段当生，长：2b,实 半轴长：a,虚半轴长：b离心率6=会(1，+)渐近线h y=y尸瑜Ch 8, C的关系c-2=a2+b2 (ca0, cb0)【题型突破】题型一双曲线的标准方程（2017全国IH）已知双曲线C：宗一=1（。0, Q0）的一条渐近线方程为严笔，且与椭圆出+弓=1有公共焦点，则C的方程为（）
6、A-看-旨=1 B.衿=1C.衿=1D. 7-3 = 1（2016天津）已知双曲线=13（）,比0）的焦距为2#,且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直，则双曲线的方程为（a. 7-r=1a. 7-r=1B.3a2 3v2D- -5-20 = 13.（2018天津）已知双曲线一:=150,心0）的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于4, 8两点.设4, B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为力和小，且4+小=6,则双曲线的方程 为（）4.已知双曲线点一/=1（。0, （）的右焦点为r，点A在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（0为原点），则双曲线的方程为（c f-r=ic
7、 f-r=iD. x2-2-=l5.已知双曲线7去=1SO）,以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A, & C,。四点，四边形ABCO的面积为2，则双曲线的方程为（交于A, & C,。四点，四边形ABCO的面积为2，则双曲线的方程为（R 2堡=1B- 4399C工一J4 4 1D.)4-126.6.已知双曲线E的中心为原点，/（3, 0）是石的焦点,过尸的直线/与E相交于A, B两点,且AB的中点为N（-12, -15）,则石的方程式为（）7.7.A. f-f =，B- T-i=1C.X2 y2D. L-匕54已知双曲线C：1（0,人0）的右焦点为F,点3是虚轴
8、的i个端点，线段8尸与双曲线C的右支交于点A，若84=24凡且|8Q=4,则双曲线。的方程为（）x2 v2b. t-n=,x2 v2b. t-n=,C. f-7=i8. v23已知双曲线一*=1（。0,80）的离心率为5，过右焦点F作渐近线的垂线，垂足为M.若户OM CtUJ的面积为小，其中。为坐标原点，则双曲线的方程为（）92c f-f=192c f-f=197D，l6-20=19.已知双曲线中心在原点且一个焦点为旧（明，0）,直线），=x-1与其相交于M, N两点，MN中点的横坐 2标为一东则此双曲线的方程是（）.A. =1B. f-f=l22C 一二=15 2 1,210.双曲线兴一方=
9、1伍，比0）的离心率为小，左、右焦点分别为尸2, P为双曲线右支上一点，NFiPF2 的角平分线为，点Fl关于/的对称点为。|BQ=2,则双曲线的方程为（）a. y-r=iB. X21C. X2=1题型二双曲线中的求值（2018全国I ）已知双曲线C f-r=l, O为坐标原点，尸为。的右焦点，过广的直线与C的两条渐近线的交点分别为M, N.若OMN为直角三角形，则|MM等于（）A.A.B. 3C. 2小D. 411. （2019.全国HI）双曲线C，一号=1的右焦点为八点P在。的一条渐近线上，O为坐标原点，若|PO|= PF,则APFO的面积为（）C. 2。，/）的右顶点为4,与x轴平行的直
10、线交于8, C两点，记NB4C =仇若的离心率为陋，则（）A. （）,B. 0=C. 传，冗）D. =竽.已知人，尸2为双曲线C：fy2=2的左、右焦点，点P在。上,|尸川=2|尸则cosZF|PF2=.14 .如图，双曲线的中心在坐标原点0, 4, C分别是双曲线虚轴的上、下端点，4是双曲线的左顶点，F 为双曲线的左焦点，直线A3与FC相交于点Q.若双曲线的离心率为2,则的余弦值是.一 方=1相交于A, 4两点，若。为A4的中点，则|A阴=（15 .过点P（4, 2）作一直线与双曲线C： yA. 2小B. 23C. 3小D. 4小.过点P（4, 2）作一直线48与双曲线C：，一尸=1相交于A
11、、8两点，若P为AB中点,则|A8| = （）A. 272B. 2巾C. 3小D. 4小216 .已知双曲线一）2=1的左、右焦点分别为a，F2,点P在双曲线上，且满足|PF1| + |PF2| = 2小，则4PFXF2 的面积为（）A. 1B.小C.小D. 1.已知双曲线C：，一=1（0, 0）的离心率为2,左、右焦点分别为B，B，点A在双曲线C上,若AAF1尸2的周长为10a，则AARB的面积为（ ）A. l5crB. l5crC. y5a2D. 30/E. 15/20.已知双曲线/一号=1的左、右焦点分别为3，双曲线的离心率为e,若双曲线上存在一点P使sin/PFFe则冲冲的值为(C.
12、-3D. -2A. 3B. 2题型三双曲线的离心率.已知双曲线C： 5一（=1（，6。）的两条渐近线的夹角为60。，则双曲线。的离心率为（）A. -2B.小C.小或D. 或 2,221 . （2019全国I）双曲线C：5一方=130,力0）的一条渐近线的倾斜角为130,则C的离心率为（）A. 2sin 400A. 2sin 400B. 2cos40C-sin 50D-cos 50. （2019全国I ）已知双曲线C $一=130,。0）的左，右焦点分别为自，B，过R的直线与C的 两条渐近线分别交于4, 3两点.若后又=薪，后方.炭=0,则。的离心率为. x2 V2.已知Q,尸2分别是双曲线氏/
13、一力=1（40, Q0）的左、右焦点，点M在E上，与轴垂直, sinZ/WF2Fi=1,则E的离心率为（）A.啦B. 1C.小D. 22225.已知双曲线C，一方=l（a0,比0）的左、右焦点分别为Q, B，。为双曲线C上第二象限内一点,若直线），=3恰为线段尸后的垂直平分线，则双曲线C的离心率为（）B.小A.市2226.已知O为坐标原点，点A, B在双曲线C：#=1（4。，/0）上，且关于坐标原点。对称.若双曲线C上与点A, B横坐标不相同的任意一点P满足幻4公8=3,则双曲线。的离心率为（）27.27.A. 2B. 4D.1029已知双曲线C：a一方=l（a0, b0）,M12, 15）,
14、则双曲线C的离心率为（过点P（3, 6）的直线/与C相交于A,B两点、,且A8的中点为A. 2B.C平D.28.已知双曲线，一奈=1（）,历0）的右焦点为凡 直线/经过点尸且与双曲线的一条渐近线垂直，直线/与双曲线的右支交于不同两点A, B,若汴=3祚,则该双曲线的离心率为（）A.坐B.哗C.D,小.已知双曲线小，一 =1（。0, 0）,过双曲线厂的右焦点凡 且倾斜角为为直线/与双曲线，交于A, B两点,。是坐标原点，若NAOB=NO4B,则双曲线T的离心率为（）a/+币DE+而小+啊n 1+5A c15 clx （D 4.过双曲线C 5一左焦点尸的直线/与。交于知，N两点，且扇=3前，若OM
15、人FN,则C的离心率为（）A. 2B.币C. 3题型四双曲线的渐近线9231 . （2018全国II）双曲线一分=130,心0）的离心率为小，则其渐近线方程为（）A. y=12xB. y=12xC. y=3xD. y.已知双曲线C：，一。0）的左、右焦点分别为Q, B, O为坐标原点，尸是双曲线在第一象限上的点，直线P0交双曲线。左支于点例，直线P&交双曲线C右支于点N,若|PF|=2|P&|， 且/“巳汽=60。，则双曲线C的渐近线方程为（）33.过双曲线今一分A. y=lxB. y=r-xC. y=2xD. y=2y2x =1（0,方0）的右焦点r（I, 0）作x轴的垂线，与双曲线交于4,
16、 B两点、,O为坐标原点，若AAO8的面积为1,则双曲线的渐近线方程为.34 .已知双曲线C： =l（a,。0）的右顶点A和右焦点尸到一条渐近线的距离之比为1 :j,则C的 渐近线方程为（）A. y=xB. y=j2xC. y=2xD. y=3x.双曲线一营=13（）,历0）的两条渐近线分别为小 小 为其一个焦点，若E关于人的对称点在L 上，则双曲线的渐近线方程为（）A. y=2xB. y=3xC. y=3xD. y=y/2x7,236.已知1尸2分别是双曲线，一方比0）的左、右焦点，P是双曲线上点，若|PQ| + |PBI=6a,且PQF2的最小内角为1则双曲线的渐近线方程为（）A. y=2
17、xB. y=jrC.D. y=j2x2737 .已知R是双曲线力一方=130,后0）的上、下两个焦点，过Fl的直线与双曲线的上下两支分别交于点B, 4,若AABB为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为（）A. y=2xB. y=xC. y=（）xD. y=r238 .已知a, B是双曲线一方=im00）的两个焦点，P是。上一点，若|PR| + |PB|=6e且APFF2最小内角的大小为30。，则双曲线C的渐近线方程是（）A. y（2xy=0 B. aa/2j=0 C. x2y=0 D. 2rty=0题型五双曲线中的最值与范围. P是双曲线C：弓一尸=1右支上一点，直线/是双曲线C的一条渐近线，。
18、在/上的射影为Q, R是 双曲线C的左焦点，则|PK| + |PQ|的最小值为（）A. 1B. 2+隼C. 4+隼D. 22+1JJ40 .双曲线。的渐近线方程为y=x,一个焦点为尸（0,一币），点、A（巾,0）,点P为双曲线上在第一象限内的点，则当点尸的位置变化时，见产周长的最小值为（）A. 8A. 8B. 10C. 4+3币D. 3+3y/V7.过双曲线a2 *=1的右支上一点P,分别向圆G：。+4户+）2=4和圆C：。-4）2+，2=1作切线， 切点分别为M, N,则仍陷21尸川2的最小值为（）A. 10B. 13C. 16D. 19.设P为双曲线/一代=1右支上一点，M, N分别是圆G
19、：（工+4）2+产=4和圆C2：。-4）2+产=1上 的点，设|PMIPM的最大值和最小值分别为?，则1一川=（）A. 4B. 5C. 6D. 7.若点。和点尸（一2, 0）分别为双曲线，一32= 1（。0）的中心和左焦点，点尸为双曲线右支上的任意一点，则办厢的取值范围为.41 .己知人,乃是双曲线今一方=1（0,/0）的左、右焦点，点，在双曲线的右支上，如果|PFi|=f|PP21a（1， 3）,则双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是.42 .已知双曲线C： 5后=1（。0, 0）的左、右焦点分别为0）, B（l，0）, P是双曲线上任一点,若双曲线的离心率的取值范围为2, 4,则PF-PB的最小值的取值范围是