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1、专题二十一第三章复习与检测一知识结构图内容考点关注点圆锥曲线的方程椭圆的定义及方程椭圆方程椭圆的几何性质性质运用双曲线的定义及方程双曲线方程双曲线的几何性质性质运用抛物线的定义及方程抛物线方程抛物线的几何性质性质运用二.学法指导1 .“回归定义”解题的三点应用应用一：在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写 出所求的轨迹方程；应用二：涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的 知识来解决；应用三：在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结 合几何图形，利用几何意义去解决.2 .求圆锥曲线方程的一般
2、步骤一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤.(1)定形一一指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.(2)定式一一根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个 坐标轴上时，可设方程为mx2(根0, 0).(3)定量一一由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小.3 .求解离心率的三种方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式才一62=(才+9=冷以及=二 已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基 a本且常用的方法.(2)方程法：建立参数d与。
3、之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要 的思路及方法.(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观.4 .圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略证明代数式为定值.依题设条件得出与代数式参数有关的等式，代入所求代数式，化简得出 定值.(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的表达式，再利用题设条件化 简、变形.(3)求某线段长度为定值.利用两点间距离公式求得表达式，再根据条件对其进行化简、变形即 可.5.圆锥曲线中定点问题的两
4、种解法(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为然后利用条件建立从4等量关系进行消 元，借助于直线系的思想找出定点.(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.三.知识点贯通知识点1 圆锥曲线的定义及应用例题L双曲线16f9=144的左、右两焦点分别为点P在双曲线上，且|PQ|PF2l = 64, 则.【答案】60【解析】双曲线方程16a29y2=144,化简为卷一器=1,即/=9,从=16,所以廿=25,解得 q=3, c=5,所以丹(一5,0), F2(5,0).设尸碎=，|P正2| = ,由双曲线的定义知|加一川=2。=6,又已知m-n=64,在中，由余弦定理知I-112 +1-2
5、|尸1 22尸 根 2+ .2 Qc)2 (m )2 + 2m n - 4c2cos NF, PF1=2PFi-PF2= 赤 = 赤所以NQPF2=600.所以NQPF2=600.36+2X64-4X25 1=2X64=2-知识点二圆锥曲线的方程椭圆的方程.例题2：已知直线y=一：x + 2和椭圆1+方=l(4b0)交于A, B两点,且4=2/7.若|AB|二2小，求消去y并整理得%24%+8 2序=0.由4=164(8 2/)0,得h2设 A(xi, yi), 3(x2, J2),则由根与系数的关系得xi+X2=4, xX2=S2b2.V AB = 2市,1 +；(汨 +i2)24、 = 2
6、#,、巧即为164（8 2） = 2邓,解得 A?=4,故居=4b2 =16.72所求椭圆的方程为*+9= 1. 104知识点三圆锥曲线性质及应用例题3 .已知3是椭圆C，+/=1（。人0）的左、右焦点，A是。的左顶点，点P在过A且斜率为坐的直线上，PQB为等腰三角形，ZFiF2P=120,则C的离心率为（）2-3A2-3A1 - 3 *C1 _ 2 B.1-4D.【答案】DJ3【解析】由题意易知直线AP的方程为=手（犬+），直线。尸2的方程为、=小（工一。）.联立，得P点纵坐标=坐（+。，J3如图，过尸向x轴引垂线，垂足为H,则PH=2-（q+c）.因为 NPF24=60。，PF2=FiF2
7、=2c,尸=W（a+c）,PH 3（a+c）公所以sin 600=器=-5=半，PF? 2c 2即 a+c=5c,即 a=4c9所以=；.故选D.知识点四直线与圆锥曲线的位置关系例题4.设椭圆C：捻+%=1（4人0）,右顶点是A（2,0）,离心率为（1）求椭圆。的方程；（2）若直线/与椭圆交于两点M, N（M, N不同于点A）,若AMAN=0,求证：直线/过 定点, 并求出定点坐标.1p 1【解析】（1）右顶点是42,0）,离心率为5，所以=2, =2? * c= I,则72椭圆的标准方程为5+事=1 .(2)当直线MN斜率不存在时，设Imn： X=m,与椭圆方程示+?=1联立得：M=，3(l
8、竽)，=设直线MN与x轴交于点3, MB = AB,即#(1$ = 2_-.4l或2=2(舍)，直线加过定点停，0)；当直线MN斜率存在时，设直线MN斜率为k, M(xi,巾)，Ng, y2),则直线MN: y=kx+b(k#4), 与椭圆方程亍+=1联立，得(43+3濡+8 妨x+4 从一 12=0,X+X2 =X+X2 =8kb4乒+34/72 12 国”2= 4矛+3，yyi=(b：i + b)(kx2+b) = lxX2+kb(x +2)+序, A = (8to)2-4(4Z:2+3)(4Z72-12)0,R,AMAN=0,则(乃一2, |)(及一2, ”)=0,即汨及2(xi+x2)
9、+4+yiy2=。，7/?2+4+ 16Z:/?=0,:b=jk 或 b=-2k,直线/mn： y=直线/mn： y=直线过定点停,0)或(2,0)舍去;综上知直线过定点停,0).五易错点分析易错抛物线定义运用例题5.若4(3,2),产为抛物线V=2%的焦点，尸为抛物线上任意一点，贝!JlP/q + l网的最 小值为.7【答案W【解析】设点P在准线上的射影为。，则根据抛物线的定义可知|PF| = |PD|,，要求解| 十 |PF|取得最小值，即求解| + |PZ)|取得最小值，1 7当。,P, A三点共线时|%| + |PD|最小，为3+5=亍误区警示利用抛物线的定义，可将抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离互相转化。