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1、稳定性模型稳定性模型 对象仍是动态过程，而建模目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势 平衡状态是否稳定。不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。第1页/共41页6.1 捕鱼业的持续收获捕鱼业的持续收获问问题题及及 分分析析 在捕捞量稳定的条件下，如何控制捕捞使产量最大或效益最佳。如果使捕捞量等于自然增长量，渔场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定。第2页/共41页产量模型产量模型假假设设 无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic规律 单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比建模建模 不需要求解x(t),只需知道x(t)稳定的条件r固有增长率,N最大鱼量h(x)=Ex,E捕捞强度x(t)渔
2、场鱼量第3页/共41页稳定性判断x0 稳定,可得到稳定产量x1 稳定,渔场干枯E捕捞强度r固有增长率第4页/共41页y=rxhPx0y0y=h(x)=ExxNy=f(x)f 与h交点Phmx0*=N/2P*y=E*x第5页/共41页效益模型效益模型假设 鱼销售价格p 单位捕捞强度费用c 单位时间利润在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使效益最大.稳定平衡点求E使R(E)最大渔场鱼量收入 T=ph(x)=pEx支出 S=cE第6页/共41页EsS(E)T(E)0rE捕捞捕捞过度过度 封闭式捕捞追求利润R(E)最大 开放式捕捞只求利润R(E)0R(E)=0时的捕捞强度(临界强度)Es=2ERERE*
3、第7页/共41页6.2 军备竞赛军备竞赛 描述双方(国家或国家集团)军备竞赛过程 解释(预测)双方军备竞赛的结局假假设设 1）一方军备越大，另一方军备增加越快；2）一方军备越大，对自己军备增长的制约 越大；3）每一方都存在增加军备的潜力。目的目的第8页/共41页建建模模x(t)甲方军备数量，y(t)乙方军备数量,本方经济实力的制约；k,l 对方军备数量的刺激；g,h 本方军备竞赛的潜力。第9页/共41页线性常系数微分方程组的平衡点及其稳定性平衡点P0(x0,y0)=(0,0)代数方程的根第10页/共41页平衡点稳定性判断系数矩阵平衡点(x0,y0)稳定的条件模型模型军备竞赛军备竞赛第11页/共
4、41页模型的定性解释模型的定性解释双方军备稳定(时间充分长后趋向有限值)的条件1)双方经济制约大于双方军备刺激时，军备竞赛双方经济制约大于双方军备刺激时，军备竞赛 才才会稳定，否则军备将无限扩张。会稳定，否则军备将无限扩张。2)若g=h=0,则 x0=y0=0,在 kl 下 x(t),y(t)0,即友好邻国通过裁军可达到永久和平。第12页/共41页3）若 g,h 不为零，即便双方一时和解，使某时x(t),y(t)很小，但因 ，也会重整军备。4）即使某时一方(由于战败或协议)军备大减,如 x(t)=0，也会因 使该方重整军备，即存在互不信任()或固有争端()的单方面裁军不会持久。第13页/共41
5、页6.3 种群的相互竞争种群的相互竞争自然环境中两个种群之间关系：相互竞争；相互依存；弱肉强食。当两个种群相互竞争时，常见的结局是，竞争力弱的灭绝，竞争力强的达到环境容许的最大容量。建立数学模型描述两个种群相互竞争的过程，分析产生这种结局的条件。第14页/共41页模模型型假假设设甲乙两种群独自生存时数量变化均服从Logistic规律;乙对甲增长的阻滞作用与乙的数量成正比;甲对乙有同样的作用。对甲增长的阻滞作用，乙大于甲乙的竞争力强模型模型第15页/共41页模型模型分析分析(平衡点及其稳定性)(二阶)非线性(自治)方程的平衡点及其稳定性平衡点P0(x10,x20)代数方程的根若从P0某邻域的任一
6、初值出发，都有称P0是微分方程的稳定平衡点第16页/共41页仅当 1,2 1时，P3才有意义第17页/共41页平衡点稳平衡点稳定性分析定性分析平衡点 Pi 稳定条件：p 0 且 q 0第18页/共41页种群竞争模型的平衡点及稳定性种群竞争模型的平衡点及稳定性不稳定平 衡点 21,11,P1,P2 是一个种群存活而另一灭绝的平衡点P3 是两种群共存的平衡点 11,21P1稳定的条件 11?11 21,11P1,P2都不(局部)稳定0(3)11,21,21,21加上与(4)相区别的 11 P2 稳定 P3 稳定P1全局稳定第21页/共41页结果解释结果解释对于消耗甲的资源而言，乙(相对于N2)是甲
7、(相对于N1)的 1 倍。对甲增长的阻滞作用，乙小于甲乙的竞争力弱 P1稳定的条件：11 21 甲的竞争力强甲达到最大容量，乙灭绝 P2稳定的条件：11,21 P3稳定的条件：11,21通常 1 1/2，P3稳定条件不满足第22页/共41页6.4 种群的相互依存种群的相互依存甲甲乙乙两两种种群群的的相相互互依依存存有有三三种种形形式式1)甲可以独自生存，乙不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。2)甲乙均可以独自生存；甲乙一起生存 时相互提供食物、促进增长。3)甲乙均不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。第23页/共41页模模型型假假设设 甲可以独自生存，数量变化服从
8、Logistic规律;乙为甲提供食物、促进增长。乙不能独自生存；甲为乙提供食物；乙受到本身的阻滞作用(服从Logistic规律)。模模型型第24页/共41页种群依存模型的平衡点及稳定性种群依存模型的平衡点及稳定性P2是甲乙相互依存而共生的平衡点稳定条件不稳定平衡点第25页/共41页0 11,1 21 P2稳定第26页/共41页 1 21 前提下P2存在的必要条件结结果果解解释释 21 甲必须为乙提供足够的食物甲为乙提供的食物是乙消耗的 2 倍 11,1 21条件下使 1 2 0P:临界状态 q 0P 不稳定 第30页/共41页tx(t)y(t)020.00004.00000.100021.24
9、063.96510.200022.56493.94050.300023.97633.92695.10009.616216.72355.2000 9.017316.20649.500018.47504.04479.600019.61363.99689.700020.83113.9587用数学软件MATLAB求微分方程数值解xy 平面上的相轨线第31页/共41页计算结果（数值，图形）x(t),y(t)是周期函数，相图(x,y)是封闭曲线x(t),y(t)的周期约为9.6xmax 65.5,xmin 6,ymax 20.5,ymin 3.9用数值积分可算出 x(t),y(t)一周期的平均值：x(t)
10、的平均值约为25,y(t)的平均值约为10。食饵食饵-捕食者模型捕食者模型(Volterra)第32页/共41页用相轨线分析用相轨线分析 点稳定性点稳定性第33页/共41页x0fmf(x)x0g(y)gmy0y0用相轨线分析用相轨线分析 点稳定性点稳定性相轨线时无相轨线以下设第34页/共41页y2y1xQ3Q4qy1y2x1x2pyy0 xx0P0 x1x2Q1Q2Q1(x1,y0),Q2(x2,y0)Q3(x,y1),Q4(x,y2)相轨线退化为P点 存在x1x0 x2,使f(x1)=f(x2)=p存在y1y0y2,使g(y1)=g(y2)=q相轨线是封闭曲线族相轨线是封闭曲线族xQ3Q4f
11、(x)xx0fm0g(y)gmy0y0相轨线相轨线P中心第35页/共41页相轨线相轨线是封闭曲线x(t),y(t)是周期函数(周期记 T)求x(t),y(t)在一周期的平均值轨线中心用相轨线分析用相轨线分析 点稳定性点稳定性第36页/共41页T2T3T4T1PT1 T2 T3 T4x(t)的“相位”领先 y(t)模型解释模型解释初值相轨线的方向第37页/共41页Pr/ad/b捕食者数量与r成正比,与a成反比食饵数量与d成正比,与b成反比第38页/共41页一次大战期间地中海渔业的捕捞量下降，但是其中鲨鱼的比例却在增加，为什么？rr-1,dd+1捕捞战时捕捞rr-2,dd+2,2 1xy食饵(鱼)减少，捕食者(鲨鱼)增加自然环境第39页/共41页两种群模型的几种形式两种群模型的几种形式 相互竞争相互竞争相互依存相互依存弱肉强食弱肉强食第40页/共41页感谢您的观看！第41页/共41页