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变换群和置换群 及Cayley定理变换群和置换群的概念n 变换群n置换群：是一类特殊的变换群n置换的表示 =(1234)(56)=(132)(1432)=(1423)同构的概念n有些群虽然来源不一样，但从群的代数结构与性质上看，它们是完全相同的，这就引入了同构的概念。同构映射使两个群的所有代数性质都一一对应n将G中的单位元映射为G中的单位元；n将G中任一元素a的逆元素a-1映射为G中对应元素f(a)的逆元素(f(a)-1；n将G中的子群映射为G中的子群；n保持元素的阶不变：ord(f(a)=ord(a)；n保持元素的可交换性：若ab=ba，则 f(a)f(b)=f(b)f(a)。n总之，两个同构的群，如果不考虑它们的实际背景，而只考虑它们的代数性质，就可以将它们等同起来看作一个群。例子n正实数关于乘法形成一个群，(R+，x)n实数关于加法形成一个群，(R,+)这两个群同构，对数映射是一个同构映射。Cayley定理n定理：任何一个群同构于一个变换群；任何一个有限群同构于一个置换群。nCayley定理告诉我们，通过研究变换群和置换群的代数性质，就可以知道其它各种群的代数性质。