数学极限运算.pptx

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1、主要内容 1.3.1 1.3.1 极限的四则运算极限的四则运算 1.3.2 1.3.2 两个重要极限两个重要极限1.3 1.3 1.3 1.3 极限的运算极限的运算主要内容第1页/共53页注意：法则法则 1 1、2 2 可推广至有限个函数的情形可推广至有限个函数的情形.设在某极限过程中,函数f(x)、g(x)的极限存在,且limf（x)=A、limg(x)=B,则1.3 1.3 极限的运算1.3.1 1.3.1 1.3.1 1.3.1 极限四则运算极限四则运算1.法则法则1.3 极限的运算高等数学高等数学高等数学高等数学 B0123 推论第2页/共53页主要方法1.3.1 1.3.1 1.3.

2、1 1.3.1 极限四则运算极限四则运算2.举例举例1.3 极限的运算u多项式与分式函数代入法求极限;u消去零因子法求极限;u无穷小因子分出法求极限;u利用无穷小运算性质求极限;u利用左右极限求分段函数极限.高等数学高等数学高等数学高等数学第3页/共53页一、多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限1.3.1 1.3.1 1.3.1 1.3.1 极限四则运算极限四则运算2.举例举例1.3 极限的运算高等数学高等数学高等数学高等数学第4页/共53页解解例11.3.1 1.3.1 1.3.1 1.3.1 极限四则运算极限四则运算2.举例举例1.3 极限的运算高等数学高等数学高等数学

3、高等数学第5页/共53页 求求有理分式函数求有理分式函数 x x0 的极限时的极限时,若分母不等于若分母不等于零零,则可直接代值计算则可直接代值计算.例2解1.3.1 1.3.1 1.3.1 1.3.1 极限四则运算极限四则运算2.举例举例1.3 极限的运算高等数学高等数学高等数学高等数学第6页/共53页 求例3解1.3.1 1.3.1 1.3.1 1.3.1 极限四则运算极限四则运算2.举例举例1.3 极限的运算高等数学高等数学高等数学高等数学第7页/共53页 解解先变形再求极限.例41.3.1 1.3.1 1.3.1 1.3.1 极限四则运算极限四则运算2.举例举例1.3 极限的运算高等数

4、学高等数学高等数学高等数学作业：教材P32 75-78试一试试一试:第8页/共53页（1）因式分解（2）有理化法 （3）变量替换法消去零因子法：1.3.1 1.3.1 1.3.1 1.3.1 极限四则运算极限四则运算2.举例举例1.3 极限的运算二、消去零因子法求极限消去零因子法求极限高等数学高等数学高等数学高等数学第9页/共53页 解解(消去零因子法)（1）因式分解例51.3.1 1.3.1 1.3.1 1.3.1 极限四则运算极限四则运算2.举例举例1.3 极限的运算高等数学高等数学高等数学高等数学第10页/共53页 解解例61.3.1 1.3.1 1.3.1 1.3.1 极限四则运算极限

5、四则运算2.举例举例1.3 极限的运算高等数学高等数学高等数学高等数学第11页/共53页 （2）有理化法解解例7将分子或分母有理化，约去极限为零的因式。1.3.1 1.3.1 1.3.1 1.3.1 极限四则运算极限四则运算2.举例举例1.3 极限的运算高等数学高等数学高等数学高等数学第12页/共53页 （3）变量替换法解：令原式=例81.3.1 1.3.1 1.3.1 1.3.1 极限四则运算极限四则运算2.举例举例1.3 极限的运算高等数学高等数学高等数学高等数学第13页/共53页无穷小分出法无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.1.3.1 1.3

6、.1 1.3.1 1.3.1 极限四则运算极限四则运算1.3 极限的运算三、无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限高等数学高等数学高等数学高等数学问题：求.第14页/共53页 解解(无穷小因子分出法)例91.3.1 1.3.1 1.3.1 1.3.1 极限四则运算极限四则运算2.举例举例1.3 极限的运算高等数学高等数学高等数学高等数学第15页/共53页课堂练习1.3.1 1.3.1 1.3.1 1.3.1 极限四则运算极限四则运算1.3 极限的运算高等数学高等数学高等数学高等数学作业：教材P33 81-84第16页/共53页 解解例101.3.1 1.3.1 1.3.1 1.3.1 极

7、限四则运算极限四则运算1.3 极限的运算四四、利用无穷小运算性质求极限、利用无穷小运算性质求极限高等数学高等数学高等数学高等数学第17页/共53页 解解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得例111.3.1 1.3.1 1.3.1 1.3.1 极限四则运算极限四则运算2.举例举例1.3 极限的运算高等数学高等数学高等数学高等数学第18页/共53页 这这是是两两个个无无穷穷大大量量相相减减的的问问题题.我我们们首首先先进进行行通通分分运运算算,设设法法去去掉掉不不定定因因素素,然然后后运运用用四四则则运算法则求其极限运算法则求其极限.解解例121.3.1 1.3.1 1.3.1 1.3.1 极

8、限四则运算极限四则运算1.3 极限的运算五、一般采用先通分法再求极限一般采用先通分法再求极限高等数学高等数学高等数学高等数学不定型的极限（如）第19页/共53页 或者用下面的方法解解例131.3.1 1.3.1 1.3.1 1.3.1 极限四则运算极限四则运算2.举例举例1.3 极限的运算高等数学高等数学高等数学高等数学第20页/共53页 有理化解解例141.3.1 1.3.1 1.3.1 1.3.1 极限四则运算极限四则运算2.举例（举例（00）1.3 极限的运算高等数学高等数学高等数学高等数学试一试：教材P33 79、80。作业：85、86第21页/共53页复习回顾几种求函数极限的方法1.

9、代入法2.不定型（1）分解消去零因子（2）有理化后消零因子（3）通分后消零因子（4）分子分母同除以最高次幂第22页/共53页 解解左右极限存在且相等,例151.3.1 1.3.1 1.3.1 1.3.1 极限四则运算极限四则运算1.3 极限的运算高等数学高等数学高等数学高等数学六六、利用左右极限求分段函数在分段点的极限、利用左右极限求分段函数在分段点的极限第23页/共53页 问 b 取何值时,存在,并求其值.若 由函数的极限与其左、右极限的关系,得 b=2,解解例161.3.1 1.3.1 1.3.1 1.3.1 极限四则运算极限四则运算1.3 极限的运算高等数学高等数学高等数学高等数学第24

10、页/共53页 所以,由复合函数求极限法则这类复合函数的极限通常可写成解解例171.3.1 1.3.1 1.3.1 1.3.1 极限四则运算极限四则运算1.3 极限的运算七七、复合函数求极限方法、复合函数求极限方法第25页/共53页 解解例181.3.1 1.3.1 1.3.1 1.3.1 极限四则运算极限四则运算2.举例举例1.3 极限的运算第26页/共53页课堂练习1.3.1 1.3.1 1.3.1 1.3.1 极限四则运算极限四则运算3.小结与练习1.3 极限的运算一、填空题:二、求下列各极限:-5320032 2x 第27页/共53页解：1.求极限：?思考：能否用约分的方法求极限？为什么

11、？1.3.2 1.3.2 1.3.2 1.3.2 两个重要极限两个重要极限复习引入复习引入1.重要极限重要极限:1.3 极限的运算高等数学高等数学高等数学高等数学第28页/共53页时设有函数，观察下表并推测的变化趋势：0.999990.999980.998330.841470.0010.010.111.3.2 1.3.2 1.3.2 1.3.2 两个重要极限两个重要极限1.重要极限重要极限:1.3 极限的运算高等数学高等数学高等数学高等数学第29页/共53页0.999990.99980.99830.8414-0.001-0.01-0.1-1因为是偶函数所以1.3.2 1.3.2 1.3.2 1

12、.3.2 两个重要极限两个重要极限1.重要极限重要极限:1.3 极限的运算高等数学高等数学高等数学高等数学第30页/共53页1.函数极限为 型且含有三角函数2.公式中出现的变量（可以是字母 或是其它的代数式）相同且该变量趋向于零.3.公式的等价形式为注意1.3.2 1.3.2 1.3.2 1.3.2 两个重要极限两个重要极限1.重要极限重要极限:1.3 极限的运算第31页/共53页 注：在运算熟练后可不必代换，直接计算：例11.3.2 1.3.2 1.3.2 1.3.2 两个重要极限两个重要极限1.重要极限重要极限:1.3 极限的运算第32页/共53页 求极限:例21.3.2 1.3.2 1.

13、3.2 1.3.2 两个重要极限两个重要极限1.重要极限重要极限:1.3 极限的运算第33页/共53页 求极限:例31.3.2 1.3.2 1.3.2 1.3.2 两个重要极限两个重要极限1.重要极限重要极限:1.3 极限的运算第34页/共53页课堂练习1.3.2 1.3.2 1.3.2 1.3.2 两个重要极限两个重要极限1.重要极限重要极限:1.3 极限的运算练习P33 89-92第35页/共53页设有函数，根据下表观察的变化趋势。2.718152.716922.704812.5937410000100010010.2.718282.7182710000001000001.3.2 1.3.

14、2 1.3.2 1.3.2 两个重要极限两个重要极限2.重要极限重要极限:引入引入1.3 极限的运算高等数学高等数学高等数学高等数学第36页/共53页2.718152.716922.704812.59374-10000-1000-100-10.2.718282.71827-1000000-100000时均趋于一个确定的数2.71828用e表示该数,e是无理数。e=2.718281828459045e=2.7182818284590451.3.2 1.3.2 1.3.2 1.3.2 两个重要极限两个重要极限2.重要极限重要极限:1.3 极限的运算高等数学高等数学高等数学高等数学第37页/共53页

15、注意：2.底数中的无穷小量（可以是字母 或是 代数式）和指数互为倒数。1.公式中底数的极限是1，指数的极限是无穷大,函数极限为 型1.3.2 1.3.2 1.3.2 1.3.2 两个重要极限两个重要极限2.重要极限重要极限:1.3 极限的运算高等数学高等数学高等数学高等数学第38页/共53页 解：例41.3.2 1.3.2 1.3.2 1.3.2 两个重要极限两个重要极限2.重要极限重要极限:1.3 极限的运算高等数学高等数学高等数学高等数学第39页/共53页复习回顾两个重要极限及其特征第40页/共53页 解：例51.3.2 1.3.2 1.3.2 1.3.2 两个重要极限两个重要极限2.重要

16、极限重要极限:1.3 极限的运算高等数学高等数学高等数学高等数学第41页/共53页 解：例61.3.2 1.3.2 1.3.2 1.3.2 两个重要极限两个重要极限2.重要极限重要极限:高等数学高等数学高等数学高等数学第42页/共53页 另解：例61.3.2 1.3.2 1.3.2 1.3.2 两个重要极限两个重要极限2.重要极限重要极限:第43页/共53页课堂练习1.3.2 1.3.2 1.3.2 1.3.2 两个重要极限两个重要极限2.重要极限重要极限:高等数学高等数学高等数学高等数学作业 P33 91、92、105、107第44页/共53页设 和 是同一变化过程中的两个无穷小，即lim

17、=0和lim=0()如果，那么称 是 的高阶无穷小()如果，那么称 是 的低阶无穷小()如果，那么称 是 的同阶无穷小特别是当c=1时，即当时，则称 与 是等价无穷小,记作：定义181.2.1.2.1.2.1.2.无穷小量和无穷大量无穷小量和无穷大量.无穷小量阶的比较第45页/共53页111111第46页/共53页常用等价无穷小常用等价无穷小:高等数学高等数学高等数学高等数学P35第47页/共53页等价无穷小替换计算极限高等数学高等数学高等数学高等数学 对于0/0型的极限问题，有时可以通过等价无穷小的替换，变得方便。第48页/共53页解：解：例例3 3利用等价无穷小计算下列极限:高等数学高等数学高等数学高等数学第49页/共53页例例4 4解解解解错错等价无穷小量只能在乘除中替换,在加减中不能替换高等数学高等数学高等数学高等数学第50页/共53页高等数学高等数学高等数学高等数学第51页/共53页小结1.无穷小的比较:反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较.2.等价无穷小的替换:求极限的又一种方法,注意适用条件.高(低)阶无穷小;等价无穷小.高等数学高等数学高等数学高等数学练习：P33 93-97；作业：P37 124、125、126、128、129P37 119-122第52页/共53页感谢您的观看。第53页/共53页