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1、数学建模以解决某个现实问题为目的，从该问题中抽象、归结出来的数学问题就是数学建模。E.A.Bender（本德）：数学建模是关于部分现实世界为一定目的而作的抽象、简化的数学结构。简言之，数学建模就是用数学术语对部分现实世界的描述。第1页/共62页建模的一般步骤模型准备：了解问题的实际背景，明确建模目的；模型假设：对问题进行必要的简化，此步非常关键；模型建立：建立相应的数学结构；模型求解：根据采用的数学工具，对模型求解；模型分析：对上述的求解结果进行数学上的分析；模型检验：将分析的结果返回到实际对象中，用实际现象等来检验之。第2页/共62页数学建模的原则模型的可靠性：在允许的范围内，它能反映出该系
2、统的有关特性的内在联系。模型的适用性：它易于数学处理和计算。第3页/共62页一、简单的数学建模案例介一、简单的数学建模案例介绍绍1、航行问题：已知：沿长江在相距750KM的两个码头A与B之间，顺水航行的时间是30Hrs；逆水航行的时间是50Hrs，试分别求出船和水的平均速度。第4页/共62页2.椅子能在不平的地面上放稳吗？椅子能在不平的地面上放稳吗？把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。这个看来似乎与数学无关的现象能用数学语言给以表述，并用数学工具来证实吗？模型假设：模型假设：1、椅子的四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一个
3、点，四脚的连线呈正方形。2、地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面。第5页/共62页3、对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。模型构成模型构成 注意到椅脚连线呈正方形，以中心为对称点，正方形绕中心的旋转正好代表了椅子位置的改变，于是可以用旋转角度这一变量表示椅子的位置。在图1中椅脚连线为正方形ABCD，对角线AC与x轴重合，椅子绕中心点O旋转角度后，正方形ABCD转至A1B1C1D1的位置，所以对角线AC与x轴的夹角表示了椅子的位置。第6页/共62页xyD1A1B1C1DABCO第7
4、页/共62页 其次要把椅脚着地用数学符号表示出来。可用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离，当其为零时就是椅脚着地了。由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了。记A、C两脚与地面距离之和为f()，B、D与地面距离之和为g()（f()，g()非负）。由假设2，f 和g都是连续函数。由假设3，椅子在任何位置至少有三只脚着地，所以对于任意的，f()，g()中至少有一个为零。当=0，时不妨设g()=0，f()0，这样，改变椅子的位置使四只脚同时着地，就归结为证明下列的数学命题：第8页/共62页第9页/共62页3.3.人狗鸡米问题人狗鸡米问题人、狗、鸡、米均要过河，船需要人划，且除人外至多只能另载一
5、物，当人不在时，狗要吃鸡，鸡要吃米，问人、狗、鸡、米怎样过河？人鸡 人人狗 人鸡 人米 人 人鸡我们的目的是要用数学的方法解决，以期对这类问题寻求一个共同的思路第10页/共62页由于人、狗、鸡、米是人、狗、鸡、米是4 4种互不相同的事物，用四维向种互不相同的事物，用四维向量来描述。然后用向量的代数运算来进行分析研究。量来描述。然后用向量的代数运算来进行分析研究。为了描述它们所处的状态，给出状态向量，当一物在南岸时，相应的分量为1，否则为0，这时所给的向量就表示人、狗、鸡、米的状态，称为状态向量。对本系统，应用穷举法可以列出所有的10个可取状态向量。（1，1，1，1）（0，0，0，0）（1，1，
6、1，0）（0，0，0，1）（1，1，0，1）（0，0，1，0）（1，0，1，1）（0，1，0，0）（1，0，1，0）（0，1，0，1）其中左边5个恰为右边5个的相反状态。第11页/共62页再给出决策向量，将船的一次运载也表成向量，当一物在船上记相应的分量为1，否则为0，称为决策向量。本系统决策向量有4个：（1，0，1，0）（1，1，0，0）（1，0，0，1）（1，0，0，0）一次过河就是一状态向量和一决策向量的加法。加法运算采用二进制，即0+0=0，0+1=1+0=1，1+1=0显然，对本问题可取状态经决策运算必须仍是可取状态。这样的运算称为可取运算根据以上假设，人、狗、鸡、米过河问题转化为：
7、找出从状态（1，1，1，1）经过奇数次决策变为状态（0，0，0，0）的系统状态转移过程。第12页/共62页（1）状态的可取运算：第13页/共62页第14页/共62页（2）将可取状态的点与运算得到的可取状态的点连接。得到下面的图第15页/共62页（1，1，1，1）（1，1，1，0）（1，1，0，1）（1，0，1，1）（1，0，1，0）（0，0，0，0）（0，0，0，1）（0，0，1，0）（0，1，0，0）（0，1，0，1）第16页/共62页在上图中找出一条从点（1，1，1，1）到点（0，0，0，0）的路径，则每条路径就是一个解。由上图可知，有两个解，都是经7次运算，均为最优解。（1，1，1，1）
8、（0，1，0，1）（1，1，0，1）（0，0，0，1）（1，0，1，1）（0，0，1，0）（1，0，1，0）（0，0，0，0）（1，1，1，1）（0，1，0，1）（1，1，0，1）（0，1，0，0）（1，1，1，0）（0，0，1，0）（1，0，1，0）（0，0，0，0）本题也可用计算机求出所有的转移过程，并比较出最优者。不妨上机一试。第17页/共62页4.4.夫妻过河问题夫妻过河问题有三对夫妻要过河，船最多能载二人，由于封建思想，要求任一女子不能在丈夫不在场的情况下同另外的男子在一起，给出三队夫妻的过河方案。（这是一道阿拉伯早期的智力题）（商人们安全过河）三名商人各带一个随从乘船过河，一只小船
9、只能容纳二人，由他们自己划行，随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。但是如何乘船过河的大权掌握在商人们手中。商人们怎样才能安全过河呢？第18页/共62页这两个问题的解法差不多。可用状态转移法求解，也可用图解法。(1)用状态转移法求解：夫妻过河问题同样是带有约束条件的过河问题，同人狗鸡米问题一样，可视为一个多步决策过程，每一步，即船由南岸到北岸或由北岸到南岸，都要对船上人员（男子、女子各几人）作出决策，在允许的前提下，有限次内使三对夫妻全部过河。第19页/共62页 记第 k 次过河前南岸的男子数为 xk,女子数为 yk,k=1,2,xk,yk=0,1,2,3,则状态向量可
10、表为(xk,yk),其可取状态或允许状态有10个：(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(3,0)(3,1),(3,2),(3,3）,(1,1),(2,2)记第 k 次过河时船上有男子数为 u，女子数为 v，则决策向量表示为(-1)k u,(-1)k v),其中 u,v=0,1,2;u+v=1,2;k=1,2,k 为奇数时表示由南岸至北岸，k 为偶数时表示由北岸至南岸。第20页/共62页 这样，夫妻过河问题就归结成求由状态(3,3)经奇数次允许决策到达状态(0,0)的状态转移过程。第21页/共62页 第2次过河是将(3,2),(3,1),(2,2)分别与决策向量进行运算，只须 k=2
11、，如此下去，不难验证，经11次可取运算三对夫妻就可全部按规则过河。第22页/共62页 利用上面的模型编制程序，就易在计算机上实现求解。第23页/共62页2、图解法第24页/共62页xy0123 123 d1d3d2d4d5d6d9d7d8d10d11S1第25页/共62页 这里介绍的是一种规格化的方法。所建立的多步决策模型可以用计算机求解，从而具有推广的意义。适当地设置状态和决策，确定状态转移律，建立多步决策模型，是有效地解决很广泛的一类问题的方法。第26页/共62页二、微分方程模型第27页/共62页1、传染病模型本例建立了传染病传播的数学模型，讨论了各类人群的变化趋势，研究了影响传染病传播的
12、参数及对应的措施。所用的数学知识：常微分方程及定性理论。第28页/共62页（一）问题的提出 传染病是由病原微生物（如病毒、细菌等）感染人体后所产生的有传染性的疾病。在历史上，传染病曾给人类带来很大的灾难。长期以来世界各国都一直非常关注传染病的研究。老的传染病被消灭、基本消灭、控制或减少了，但还会有新的传染病的出现。如艾滋病、SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重呼吸道传染病）等。据WHO(World Health Organization，世界卫生组织)报道，从2002年11月至2003年6月，感染SARS的患者超过了8000人，其中800多人死亡，
13、给人类带来了极大的危害。因此，对防治传染病的研究仍要坚持和加强。第29页/共62页 传染病的研究涉及这些疾病的发病机理、临床表现、诊断和治疗方法，这是传染病学的研究重点。那么传染病的传播规律是什么呢？它是否会一直持续下去而无法彻底消灭呢？被传染的人数与哪些因素有关？如何预报传染病高潮的到来？为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变？对传染病传播进行研究，首先要了解不同的传染病传播过程的特点。这里只能在较一般的情形下，按照传染病一般的传播机理建立数学模型。第30页/共62页（二）最简单的模型记时刻t的感病者为I(t)，开始时有 I0个感病者。假设：（1）每个感病者在单位时间内传染
14、的人数为常数k0；（2）一人得病后，经久不愈，且人在传染期内不会死亡；第31页/共62页于是，得下列常微分方程数学模型：其解为：第32页/共62页这个结果表明，感病者将按指数规律无限增加，当 时，。显然与实际情况不符。事实上，一个地区的总人数可视为常数（不考虑传染病传播期间出生和迁移的人数）。在传染病传播期间，一个感病者单位时间能传染的人数k0是改变的。初期k0较大，随着病人感病者增多，易感者较少，传染机会也将减少，于是k0也会变小。所以应该对该模型的假设进行修改。第33页/共62页（三）SI模型假设在传染病流行范围内只有两类人，一类是易感者，记为S类；另一类是感病者，记为I类。假设易感者与感
15、病者在人群中混合均匀，易感者感病的机会与他接触感病者的机会成正比，并且传染率为常数。不考虑出生与死亡以及人群的迁出与迁入。S(t)时刻t 时易感者的人数；I(t)时刻t 时感病者的人数；第34页/共62页记人群总数为N，那么为方便起见，不妨将人群总数归一化，而将S(t)，I(t)分别表示易感者和感病者在人群中所占的比例，那么 。通常人群总数是非常大的，可以认为S(t)和I(t)关于时间t 是连续变化，且充分光滑。第35页/共62页易感者接触感病者的机会显然与易感者和感病者的人数成正比，记比例系数为k，称为传染系数，它表示单位时间内，一个感病者可以传染kS(t)个易感者，使之成为感病者。可得关于
16、疾病传染的SI模型：这儿的I0为初始时刻感病者在人群中所占的比例。第36页/共62页利用分离变量法，其解为：以及 第37页/共62页对I(t)关于t 求导，即可得到感病者增长的速度（即疾病传播的速度）为 第38页/共62页图1与图2分别是I(t)和 dI/dt 的变化曲线。图2称为传染病曲线。todI/dttm图2第39页/共62页xoyI01/21tm图 1第40页/共62页由于 当 I=1/2,即 时，从而 达最大值。第41页/共62页即，当 t=tm时，疫情最为猛烈，病人增加的速度最快，显然 t m 与 k 成反比，而 k 为疾病的传染率，它反映了当地的医疗卫生水平。k 越小，医疗卫生水
17、平越高。所以改善保健设施，提高医疗卫生水平，降低k 值就可以推迟传染高潮的到来。第42页/共62页但是 当 时，。即最终所有的人都将感染疾病，这显然也不符合实际情况。原因是因为模型中没有考虑到病人是可以痊愈的。第43页/共62页（四）SIS 模型假设感病者以固定的比率痊愈，而重新成为易感者，记这一比率为 h，称为痊愈率。而 1/h 表示疾病的平均传染期。这时感病者的人数变化由两部分组成：一部分是易感者被传染而成为新的感病者，另一部分是感病者痊愈后重新成为易感者。第44页/共62页相应的模型可以归结为：这个模型称为 SIS 模型。其解为：第45页/共62页其中 表示一个传染期内每个病人有效接触易
18、感者的平均人数，称为接触数。易得：第46页/共62页图3是 SIS 模型的 I(t)变化曲线，toI(t)图 3（a）1-1/I(t)tO图 3 (b)第47页/共62页由此可以看出，接触数=1是一个阈值。当 时，病人的比例 I(t)逐渐变小，最终趋于零。这对应于在传染期内经接触使易感者感病的人数不超过原来病人的人数，从而可以最终消除传染病的流行。当 1时，I(t)的增减性有 I0 的值确定，如果I0 1 -1,I(t)单调递减，在这两种情况下，I(t)都有一个非零的极限值1 -1，即无法完全消除疾病。第48页/共62页因此，为了消除传染病，关键是要调整，使得 ，而=k/h，可采取下列措施：（
19、1）减少 k，即降低传染系数，所以病人需要隔离；（2）增大 h，即缩短传染期，这需要改进医疗设施，发明新的药物，改良治疗方法等。第49页/共62页（五）SIR 模型 由于某些传染病治愈后有较强的免疫力，所以痊愈后的感病者不是易感者，又不是感病者，他们被移出了传染病系统。将其记为R类，称为移出者。本模型将考虑含有易感者、感病者、移出者这三种人的传染病模型。仍记痊愈率为 h，但与SIS 模型不同的是，痊愈者不再进入易感人群，而是移出易感人群。记 R(t)为移出者在人群中所占的比例，那么有 S(t)+I(t)+R(t)=1 第50页/共62页上段的模型被修改为第51页/共62页注意到：S(t)+I(
20、t)+R(t)=1，上述3个方程是相容的，可以简化为：且满足初始条件：S(0)=S0,I(0)=I0;R(0)=R0=0第52页/共62页上述方程是一阶非线性常微分方程组，无法求出解析解 S(t)和 I(t)。我们在相平面SI 上讨论解的性质。显然，相轨线的定义域为：由微分方程组可得相轨线的方程为：其解为：第53页/共62页下面讨论当 时，S(t),I(t),R(t)的变化趋势。命题1 对于任意的初始条件 S0,I0,成立 即感病者最终将被消除。该命题的直观解释：在传染病期间，未被感染者的比例S(t)当然会递减，直到某个平衡比例 因为具有免疫力，治愈者的比例R(t)会递增，直到某个平衡比例 于
21、是被感染者的比例I(t)也会趋于平衡，并最终绝迹。第54页/共62页命题2 是方程 在内的单根。在图4中，是相轨线与S轴在 内交点的横坐标。SO11I1/图4第55页/共62页命题3 假设。（1）若，则I(t)递减，这对应于传染病不扩散的情形；（2）若，则I(t)会先递增再递减，这对应于传染病扩散的情形。所以要防止传染病的蔓延，就要使。可以通过预防接种来降低未感染者的比例。同时提高当地的医疗卫生水平，降低接触数，就能缩减预防接种的规模。参数可由观测数据给出估计。而 第56页/共62页（六）定常出生的SIR模型本段增加一个出生因素。但仍不考虑死亡及迁入、迁出。假设易感者以定常的速度增长。第57页/共62页则有下列模型：它是非线性常微分方程组，无法求出解析解。主要考虑随着时间的推移，人数的不断增加，感病者的人数是否也会不断增加，以至趋于无穷。第58页/共62页将上述方程组简化得易知其唯一平衡点为：S*=h/k ,I*=/h于是可得微分方程组在平衡点(S*,I*)的一次近似系统为第59页/共62页为了得到各类人群的变化趋势，考察该方程组的特征方程：由劳斯-霍尔维茨判据，其两个根的实部均为负值，即 Re1,2 0;a 2 0第60页/共62页谢 谢！今天上午就讲到这里！下午2时开始由我介绍建模软件Matlab以及数值计算方法第61页/共62页感谢您的观看。第62页/共62页