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1、1.熟练掌握等差、等比数列的求和公式熟练掌握等差、等比数列的求和公式.2.掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.第1页/共51页第2页/共51页数列求和的常用方法数列求和的常用方法(1)公式法公式法直接用等差、等比数列的求和公式求和直接用等差、等比数列的求和公式求和.掌握一些常见的数列的前掌握一些常见的数列的前n项和项和.第3页/共51页(2)倒序相加法倒序相加法如果一个数列如果一个数列an，与首末两端等，与首末两端等“距离距离”的两项的和相的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用项和即可用倒序相加
2、法，如倒序相加法，如数列的前数列的前n项和即是用此法推导的项和即是用此法推导的.等差等差第4页/共51页(3)错位相减法错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即项和即可用此法来求，如可用此法来求，如数列的前数列的前n项和就是用此项和就是用此法法推导的推导的.(4)裂项相消法裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和可以相互抵消，从而求得其和.等比等比第5页/共51页
3、第6页/共51页思考探究思考探究用裂项相消法求数列前用裂项相消法求数列前n项和的前提是什么？项和的前提是什么？提示：提示：数列中的每一项均能分裂成一正一负两项，这是用数列中的每一项均能分裂成一正一负两项，这是用裂项相消法的前提裂项相消法的前提.一般地，形如一般地，形如(an是等差数是等差数列列)的数列可选用此法来求的数列可选用此法来求.第7页/共51页(5)分组转化法分组转化法把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成等差数列或等比数列，然后由等差、等比使其转化成等差数列或等比数列，然后由等差、等比数列求和公式求解数列求和公式求解.(
4、6)并项求和法并项求和法一个数列的前一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和并项求和.形如形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并类型，可采用两项合并求求解解.例如例如Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5050.第8页/共51页1.设设f(n)2242723n1(nN*)，则，则f(n)()A.(8n1)B.(8n11)C.(8n21)D.(8n31)解析：解析：f(n)(8n11).答案：答案：B第9页/共51页2.数列数列an的前的前n项和为项和为Sn，若，若an，则，则S5等于等于()A.1B.C.D
5、.第10页/共51页解析：解析：an，S5a1a2a3a4a5答案：答案：B第11页/共51页3.数列数列(1)nn的前的前2010项的和项的和S2010为为()A.2010B.1005C.2010D.1005解析：解析：S201012345200820092010(21)(43)(65)(20102009)1005.答案：答案：D第12页/共51页4.等比数列等比数列an中，已知中，已知a1a2a34，a2a3a42，则，则a3a4a5a6a7a8.解析：解析：由于由于q，所以所以a3a4a5(a2a3a4)()1，a6a7a8(a3a4a5)()3，于是于是a3a4a5a6a7a8.答案：
6、答案：第13页/共51页5.数列数列1,4，7，10，前前10项的和为项的和为.解析：解析：14 7 10 28(14728)()145 .答案：答案：145第14页/共51页第15页/共51页若数列若数列anbncn，且数列，且数列bn、cn为等差数列或为等差数列或等比数列，常采用分组转化法求数列等比数列，常采用分组转化法求数列an的前的前n项和，项和，即先利用等差或等比数列的前即先利用等差或等比数列的前n项和公式分别求项和公式分别求bn和和cn的前的前n项和，然后再求项和，然后再求an的前的前n项和项和.第16页/共51页求和：求和：思路点拨思路点拨第17页/共51页课堂笔记课堂笔记和式中
7、第和式中第n项为项为第18页/共51页如何求如何求的前的前n项和项和.解：解：ann，第19页/共51页1.一般情况下，若一般情况下，若an是等差数列，则是等差数列，则2.根式在分母上时可考虑利用分母有理化，因式相消根式在分母上时可考虑利用分母有理化，因式相消求和求和.第20页/共51页3.常见的裂项技巧有：常见的裂项技巧有：第21页/共51页特别警示特别警示利用裂项相消求和方法时，抵消后并不一利用裂项相消求和方法时，抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调面也剩两项，再就是将通
8、项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，才能使裂开的两项差与原通项公式相等整前面的系数，才能使裂开的两项差与原通项公式相等.第22页/共51页在等差数列在等差数列an中，中，a55，S36.(1)若若Tn为数列为数列的前的前n项和，求项和，求Tn；(2)若若an1Tn对任意的正整数对任意的正整数n都成立，求实数都成立，求实数的最大值的最大值.思路点拨思路点拨第23页/共51页课堂笔记课堂笔记(1)设等差数列设等差数列an的首项为的首项为a1，公差为，公差为d，则，则解得：解得：a11，d1，所以所以ann，所以所以，Tn.第24页/共51页(2)若若an1Tn，即，即n1 ，又又 n 24，当
9、且仅当，当且仅当n ，即，即n1时时取等号取等号.任意任意nN*，不等式成立，故，不等式成立，故4，的最大值为的最大值为4.第25页/共51页1.一般地，如果数列一般地，如果数列an是等差数列，是等差数列，bn是等比数列，是等比数列，求数列求数列anbn的前的前n项和时，可采用错位相减法项和时，可采用错位相减法.2.用乘公比错位相减法求和时，应注意用乘公比错位相减法求和时，应注意(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；情形；(2)在写出在写出“Sn”与与“qSn”的表达式时应特别注意将两式的表达式时应特别注意将两式“错错项项对齐对
10、齐”以便下一步准确写出以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式的表达式.第26页/共51页特别警示特别警示利用错位相减法求和时，转化为等比数列求利用错位相减法求和时，转化为等比数列求和和.若公比是个参数若公比是个参数(字母字母)，则应先对参数加以讨论，一般，则应先对参数加以讨论，一般分等于分等于1和不等于和不等于1两种情况分别求和两种情况分别求和.第27页/共51页(2009全国卷全国卷)在数列在数列an中，中，a11，an1(1)an.(1)设设bn，求数列，求数列bn的通项公式；的通项公式；(2)求数列求数列an的前的前n项和项和Sn.思路点拨思路点拨第28页/共51页课堂笔记课堂笔记(1
11、)由已知得由已知得b1a11，且，且，即即bn1bn，从而，从而b2b1，b3b2，bnbn1(n2)，于是于是bnb12(n2).又又b11，故所求的通项公式，故所求的通项公式bn2.第29页/共51页(2)由由(1)知，知，ann(2)2n.令令Tn，则，则2Tn.于是于是Tn2TnTn4.又又(2k)n(n1)，所以，所以Snn(n1)4.第30页/共51页以选择题或填空题的形式考查公式求和或以以选择题或填空题的形式考查公式求和或以解答题的形式考查公式求和、裂项求和以及错位相解答题的形式考查公式求和、裂项求和以及错位相减法求和是高考对本节内容的常规考法减法求和是高考对本节内容的常规考法.
12、09年广东年广东高考将裂项求和与函数、不等式等内容结合考查，高考将裂项求和与函数、不等式等内容结合考查，是高考命题的一个新方向是高考命题的一个新方向.第31页/共51页考题印证考题印证(2009广东高考广东高考)(12分分)已知点已知点(1，)是函数是函数f(x)ax(a0，且，且a1)的图象上一点的图象上一点.等比数列等比数列an的前的前n项和项和为为f(n)c.数列数列bn(bn0)的首项为的首项为c，且前，且前n项和项和Sn满足满足SnSn1(n2).(1)求数列求数列an和和bn的通项公式；的通项公式；(2)若数列若数列的前的前n项和为项和为Tn，问满足，问满足Tn的最小正整数的最小正
13、整数n是多少？是多少？第32页/共51页【解解】(1)点点(1，)是函数是函数f(x)ax(a0，且，且a1)的的图象上一点，图象上一点，f(1)a.已知等比数列已知等比数列an的前的前n项和为项和为f(n)c，则当则当n2时，时，anf(n)cf(n1)can(1a1).(2分分)an是等比数列，是等比数列，an的公比的公比q.a2a1q(f(1)c)，解得解得c1，a1.第33页/共51页故故an(n1).(4分分)由题设知由题设知bn(bn0)的首项的首项b1c1，其前其前n项和项和Sn满足满足SnSn1(n2)，由由SnSn11，且，且1.是首项为是首项为1，公差为，公差为1的等差数列
14、，的等差数列，即即nSnn2.bnSnSn12n1(n2)，又，又b11211，故数列故数列bn的通项公式为：的通项公式为：bn2n1(n1).(6分分)第34页/共51页(2)bn2n1(n1)，().(8分分)Tn.(10分分)要要Tnn111，故满足条件的最小正整数故满足条件的最小正整数n是是112.(12分分)第35页/共51页自主体验自主体验已知已知Sn为数列为数列an的前的前n项和，且项和，且Snn2n.(1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式；(2)若若bn(n2且且n N*)，记，记Tnb2b3bn，求证：求证：Tn.第36页/共51页解：解：(1)当当n1时，时，a1S1
15、0；当当n2时，时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n2.因为因为a10满足满足an2n2，所以，所以an2n2.第37页/共51页(2)证明：因为证明：因为bn(n2且且nN*)，所以所以bn.Tnb2b3bn()即即Tn.第38页/共51页第39页/共51页1.数列数列的前的前 n项和为项和为()A.B.C.D.第40页/共51页解析：解析：答案：答案：B第41页/共51页2.Sn1223242(1)n1n2等于等于()A.B.C.(1)n1D.(1)n第42页/共51页解析：解析：(1)n1当当n为偶数时，为偶数时，Sn(122)(3242)(n1)2n2(1234n1n)；当当
16、n为奇数时，为奇数时，Sn1(3222)(5242)n2(n1)212345n1n.Sn(1)n1.答案：答案：C第43页/共51页3.(2009广东高考广东高考)已知等比数列已知等比数列an满足满足an0，n1,2，且，且a5a2n522n(n3)，则当，则当n1时，时，log2a1log2a3 log2a2n1 ()A.n(2n1)B.(n1)2 C.n2 D.(n1)2解析：解析：由由a5a2n522n，an0，an2n，log2a1log2a3log2a2n1log2(a1a3a2n1)log2213(2n1)log2n2.答案：答案：C第44页/共51页4.数列数列1，的前的前n项和
17、项和Sn.解析：解析：由于由于an2()Sn22答案：答案：第45页/共51页5.若数列若数列an是正项数列，且是正项数列，且n23n(nN*)，则则.解析：解析：令令n1得得4，即，即a116，当当n2时，时，(n23n)(n1)23(n1)2n2，所以所以an4(n1)2，当当n1时，也适合，所以时，也适合，所以an4(n1)2(nN*).于是于是4(n1)，故，故2n26n.答案：答案：2n26n第46页/共51页6.(2010大庆模拟大庆模拟)已知函数已知函数yf(x)的图像经过坐标原点，的图像经过坐标原点，其导函数为其导函数为f(x)6x2.数列数列an的前的前n项和为项和为Sn，点
18、，点(n，Sn)(nN*)均在函数均在函数yf(x)的图像上的图像上.(1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式；(2)设设bn，Tn是数列是数列bn的前的前n项和，求使得项和，求使得Tn所所有有nN*都成立的最小正整数都成立的最小正整数m.第47页/共51页解：解：(1)依题意可设依题意可设f(x)ax2bx(a0)，则则f(x)2axb.由由f(x)6x2得得a3，b2，f(x)3x22x.又由点又由点(n，Sn)(nN*)均在函数均在函数yf(x)的图像上，的图像上，得得Sn3n22n.第48页/共51页当当n2时，时，anSnSn1(3n22n)3(n1)22(n1)6n5；当当n1时，时，a1S1312211615.所以所以an6n5(nN*).第49页/共51页(2)由由(1)得得bn，故故Tn.因此，使得因此，使得成立成立的的m必须且仅需满足必须且仅需满足，即，即m10，故满足要求，故满足要求的最小正整数的最小正整数m为为10.第50页/共51页感谢您的观看。第51页/共51页