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1、 知识清单【知知识结构构】一一.平平面及其表示方面及其表示方法法1.定定义 平面是指光滑并且可以无限延展的图形。可画出平面的一部分来表示平面2.表示方法表示方法3.直直点、点、线、面的表示方法、面的表示方法知识清单知识清单 通常画通常画平行四边形平行四边形来表示平面，并用小写来表示平面，并用小写希腊字母希腊字母 等等表示，也可以用平表示，也可以用平行四边形四个行四边形四个顶点顶点的字母或两个相对顶点的字母来表示。如平面的字母或两个相对顶点的字母来表示。如平面ABCD，或平面，或平面AC,平面平面BD.立立体体几几何何中中，通通常常用用大大写写字字母母A,B,CA,B,C,.,.表表示示点点，小
2、小写写字字母母l,m,nl,m,n.,.,表表示示直直线线。点点、线线、面面之之间间的的位位置置关关系系可可以以用用集集合合语语言来描言来描述。如：述。如：二二.几何几何图形的直形的直观图画法画法-斜二斜二测画画法法(1).几何图形的几何图形的直观直观图图:知识清单知识清单几何图形可以用具有立体感的平面图形来表示，这种平面图形通常叫做直观图。(2).画平面图形直观图的画平面图形直观图的步骤：步骤：(1)在平面图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x轴和y轴，两轴交于点O，且使xOy45。(2)原图形中平行于x轴的线段，直观图中画成平行于x轴的线段且长度不变(
3、3)原图形中平行于y轴的线段，直观图中画成平行于y轴的线段且长度为原来的一半(4)连接有关线段。【注意】：画两个平面相交的图形时，一定要画出交线，图形中被遮住的线段，要画成虚线或者不画。如下图:图2三三.两两平面的基本性平面的基本性质知识清单知识清单性质内容图形性质1如果直线l上的两个点都在平面a内，那么直线l上的点都在平面内性质2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点,并且所有公共点的集合是过这个点的一条直线性质3不在同一条直线上的三个点,可以确定一个平面三三.两两平面的基本性平面的基本性质知识清单知识清单推推论1直直线与与这条条直直线外外的的一一点点可可以以确确定定一一个个平平面
4、面推推论2两两条条相相交交直直线可可以以确确定一个平面定一个平面推推论3两两条条平平行行直直线可可以以确确定一个平面定一个平面1.空空间中两条直中两条直线的位置关系的位置关系：四四.空空间中的中的直直线线与平面与平面2.异面直线异面直线：知识清单知识清单相交直线：在一个平面内，有且只有一个公共点平行直线：在一个平面内，没有公共点异面直线：不在一个平面内，没有公共点平行线的性质平行线的性质：平行与：平行与同一直线的两条直线平行同一直线的两条直线平行如果直线如果直线 定义：不同在任何一个平面内的两条直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线判定：连接平面内一点与平面外一点的直线和平面内不经过该点的直
5、线是异面直线判定：连接平面内一点与平面外一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线异面直线的画法：异面直线的画法：Aabab异面直线所成的角异面直线所成的角：【注意注意】：知识清单知识清单四四.空空间中的中的直直线线与平与平面面空间中两条异面直线空间中两条异面直线a,b，经过空间中任意点，经过空间中任意点O做直线做直线 ，所所成的锐角成的锐角(或直角或直角)，叫作直线叫作直线a,b所成的角或夹角所成的角或夹角.A若若两条直线平行，则它们所成的角两条直线平行，则它们所成的角(或称或称“夹角夹角”)为为 若若两条异面直线所成的角是直角，则这两条直线互相垂直，记作两条异面直线所成的角是直角，则这两
6、条直线互相垂直，记作 异面直线所成角的范围异面直线所成角的范围:知识清单知识清单五五.直直线线与与平面平面的位置关系的位置关系1.直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系：(1)直线在平面内：有无数个公共点直线在平面内：有无数个公共点.(2)直线与平面相交：有且只有一个公共点直线与平面相交：有且只有一个公共点(3)直线与平面平行：没有公共点直线与平面平行：没有公共点.2.直线与平面垂直直线与平面垂直：(1)线面垂直线面垂直的定义的定义:一条直线和平面内任何一条直线都垂直。一条直线和平面内任何一条直线都垂直。这条直线叫这个平面的垂线这条直线叫这个平面的垂线这个平面叫这条直线这个平面叫这条直线的垂
7、面，交点叫作垂足的垂面，交点叫作垂足直线上任一点到垂足直线上任一点到垂足的线段叫作这点到这的线段叫作这点到这个平面的垂线段个平面的垂线段点到平面的距离为垂线段的长度。点到平面的距离为垂线段的长度。(2)线面垂直的线面垂直的判定定理判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。那么这条直线与这个平面垂直。(线线垂直线线垂直 线线面垂直面垂直)推推论：如果一组平行直线中，有一条直线垂直论：如果一组平行直线中，有一条直线垂直于平面，则另外的直线也都垂直于这个平面。于平面，则另外的直线也都垂直于这个平面。(线面垂直的传递性：线
8、面垂直的传递性：)(3)线面垂直的线面垂直的性质定理性质定理：垂直于同一个平面的两条直线垂直于同一个平面的两条直线互相平行互相平行nml知识清单知识清单五五.直直线与平面的位置关系与平面的位置关系3.斜线和射影斜线和射影 定定义：直线与平面相交但不垂直，则称直线为平面的斜线，斜线与平面的交点叫作义：直线与平面相交但不垂直，则称直线为平面的斜线，斜线与平面的交点叫作斜足斜足。斜线上一点与斜足之间的线段叫做斜线上一点与斜足之间的线段叫做斜线段斜线段。斜线在平面内的射影：斜线上斜足外的一点向平面作垂线，斜线在平面内的射影：斜线上斜足外的一点向平面作垂线，过垂足与斜足的直线叫作斜线在平面内的过垂足与斜
9、足的直线叫作斜线在平面内的射影射影。4.直线与平面所成的角直线与平面所成的角：定义：斜线和它在平面内的射影的夹角；定义：斜线和它在平面内的射影的夹角；范围：范围：5.三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理：平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。三垂线定理逆定理三垂线定理逆定理：平面内的一条直线如果和：平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。的射影垂直。知识清单知识清单6.直线与平面平行直线与平面平行 (
10、1)定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，那么就称这条直线与这个平面平行。记作：那么就称这条直线与这个平面平行。记作：(2)直线与平面平行的直线与平面平行的判定定理判定定理：平平面外一条直线与这个平面内一条直线平行，面外一条直线与这个平面内一条直线平行，则这条直线与这个平面平行。则这条直线与这个平面平行。(线线平行线线平行 线线面平行面平行)关键关键：平面外找一条直线与平面内已知直线平行。：平面外找一条直线与平面内已知直线平行。(3)直线与平面平行的直线与平面平行的性质定理性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的如果一条直线与一个平面平行，
11、经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线与交线平行平面与这个平面相交，那么这条直线与交线平行.(线面平行线面平行 线线线平行线平行)7.平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理 已知已知 ，且且 分别交分别交a,b,c为为 则则 五五.直直线线与与平面平面的位置关系的位置关系(1)平行：没有公共点。平行：没有公共点。(2)相交：有一条公共直线。相交：有一条公共直线。2.平面与平面平行平面与平面平行(1)两平面平行的两平面平行的判定定理判定定理：一个平面内两条相交直线平行于另一个平面，一个平面内两条相交直线平行于另一个平面，则则这两个平面平行。这两个平面平行。(线面平行线面平行 面面面
12、平行面平行)【关键关键】：找两条相交直线与已知平面平行。】：找两条相交直线与已知平面平行。(2)两平面平行的两平面平行的性质定理性质定理：如如果两个平行平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行。果两个平行平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行。(面面平行面面平行 线线线平行线平行)知识清单知识清单1.两个平面的位置关系两个平面的位置关系六六.空空间中平面与中平面与平面的位置关系平面的位置关系知识清单知识清单3.平面与平面垂直平面与平面垂直六六.空空间中平面与中平面与平面的位置关系平面的位置关系(1)二面角二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作从一条直线出发的两个半平面所组成的图
13、形叫作二面角二面角，这条直线叫作二面角的，这条直线叫作二面角的棱棱，这两个，这两个半平面叫作二面角的半平面叫作二面角的面面。以直线以直线l(或或CD)为棱，两个半平面分别为为棱，两个半平面分别为 的二面角，记作二面角的二面角，记作二面角 (2)二面角的二面角的平面角平面角过棱上一点过棱上一点O，分别在二面角的两个面内作与棱垂直的射线，分别在二面角的两个面内作与棱垂直的射线OM、ON，以这两条射线为边的最小正角以这两条射线为边的最小正角MON叫作二面角的平面角。叫作二面角的平面角。【注意】：注意】：二面角的平面角的范围二面角的平面角的范围 ;当二面角的平面角当二面角的平面角 时时,二面角二面角
14、叫作直二面角叫作直二面角;二面角的大小二面角的大小 二面角的平面角。二面角的平面角。知识清单知识清单六六.空空间中平面与中平面与平面的位置关系平面的位置关系(3)两个平面垂直：两个平面垂直：如果两个相交平面所成的二面角为直角，那么称这两个相交平面互相垂直。如果两个相交平面所成的二面角为直角，那么称这两个相交平面互相垂直。平面平面 和和平面平面 垂垂直直，记作，记作 .(4)两个平面垂直的两个平面垂直的判定定理判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直。如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直。(5)两个平面垂直的两个平面垂直的性质定理性质定理：两个平面互相垂
15、直，两个平面互相垂直，则则一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。知识清单知识清单七七.空空间几何体几何体1.1.空间几何体空间几何体的定义的定义如如果果只只考考虑虑物物体体的的形形状状和和大大小小，而而不不考考虑虑其其它它因因素素，那那么么这这些些由由物物体体抽抽象出来的空间图形叫作空间几何体。象出来的空间图形叫作空间几何体。2 2.空间几何体的空间几何体的分类分类：多面体和旋转体：多面体和旋转体3 3.多面体多面体的定义的定义在在空空间间图图形形中中，由由若若干干个个多多边边形形围围成成的的封封闭闭几几何何体体，叫叫作作多多面面体
16、体，每每个个多多边边形形都都叫叫作作多多面面体体的的面面，面面与与面面的的交交线线叫叫作作多多面面体体的的棱棱，棱棱与与棱棱的的交交点点叫叫作作多多面面体体的的顶顶点点。不不在在同同一一个个平平面面上上的的顶顶点点的的连连线线叫叫作作多多面面体体的的对对角线角线。4 4.旋旋转转体体：由由一一个个平平面面图图形形绕绕它它所所在在的的平平面面内内的的一一条条直直线线旋旋转转所所成成的的封封闭几何体叫作旋转体。闭几何体叫作旋转体。知识清单知识清单八八.柱体的定柱体的定义和性和性质1 1.柱体柱体的定义和性质的定义和性质(1)(1)定定义义：有有两两个个面面互互相相平平行行，其其余余每每相相邻邻两两
17、个个面面的的交交线线互互相相平平行行，这这样样的的多多面面体体叫叫作作棱棱柱柱。两两个个互互相相平平行行的的面面叫叫作作棱棱柱柱的的底底面面(底底)；其其余余各各面面叫叫作作棱棱柱柱的的侧侧面面；两侧面的公共边叫作棱柱的两侧面的公共边叫作棱柱的侧棱侧棱；两底面所在平面的公垂线段叫作棱柱的；两底面所在平面的公垂线段叫作棱柱的高高。(2)(2)分类：分类：斜棱柱斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；：侧棱不垂直于底面的棱柱；直棱柱直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；：侧棱垂直于底面的棱柱；正棱柱正棱柱：底面是：底面是正正多边形的多边形的直直棱柱。棱柱。(3)(3)棱柱的棱柱的性质性质：棱棱柱柱的的侧侧棱棱相相
18、等等，侧侧面面都都是是平平行行四四边边形形；直直棱棱柱柱侧侧面面都都是是矩矩形形；正正棱棱柱柱侧侧面面都都是全等的矩形。是全等的矩形。棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等的多边形。棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等的多边形。过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。2 2.圆柱的定义与性质圆柱的定义与性质(1)(1)定定义义：以以矩矩形形的的一一边边为为旋旋转转轴轴旋旋转转一一周周，其其余余各各边边旋旋转转形形成成的的曲曲面面所所围围成成的的几几何体叫作圆柱。何体叫作圆柱。(2)(2)性质：性质：平行于底面的截
19、面是圆平行于底面的截面是圆.过轴的截面是矩形。过轴的截面是矩形。知识清单知识清单九九.锥体的定体的定义和性和性质 1.棱锥的定义与性质棱锥的定义与性质 (1)定义:有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫作棱锥棱锥。按照底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥、.n棱锥.(2)正棱锥正棱锥的概念和性质：底面是正正多边形且由顶点向底面作垂线，垂足为底面正多边形的中心中心的棱锥 性质：各侧棱长都相等。各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等。等腰三角形底边上的高叫作正棱锥的斜高斜高。边顶点做底面的垂线，垂足正好是底面正多边形的中心 棱锥的高，斜高
20、和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也 组成一个直角三角形。2.圆锥的定义与性质圆锥的定义与性质 (1)以直角三角形的一直角边直角边为旋转轴旋转一周，其余各边旋转形成的曲面所围成的几何体叫作圆锥。(2)性质：平行于底面的截面是圆；过轴的截面是等腰三角形。知识清单知识清单十十.球体球体1.球球：半圆绕其直径旋转一周所得的曲面叫作球面。由球面所围成的几何体叫作球。半圆的圆心叫作球心球心，连接球心与球面上的点的线段叫作球半径球半径，连接球面上两点并且过球心的线段叫作球的直径直径。2.球的表面积公式表面积公式：；球的体积公式体积公式：.柱体锥体表面积、体积公式：柱体锥体表面积、体积公式：第九部分 立体几何单元检测试题