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1、 一、随机变量的定义 二、离散型随机变量及其分布 三、几种常见的分布 四、随机变量函数的分布随机变（向）量及其分布随机变（向）量及其分布第1页/共57页 设随机试验的样本空间 一.随机变量及其分布上的实值单值函数，是定义在样本空间我们不仅关心 取什么值，更关心它取值的概率大小。例如希望知道集的概率，其中X 是任一实数。因为我们只在事件上定义了概率，讨论 概率，当然要求是事件，即第2页/共57页定义1是定义在是定义在 上的单值实函数，如果对任一实数上的单值实函数，如果对任一实数 x，设设为一个概率空间，为一个概率空间，则称则称 为随机变量。为随机变量。1.随机变量第3页/共57页随机变量通常用大
2、写字母X,Y,Z或希腊字母,等表示 而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母 等.第4页/共57页2 2、分布函数的概念、分布函数的概念定义1设设 是一个随机变量，是一个随机变量，是任意实数是任意实数,称函数称函数为为 的的分布函数分布函数。上的概率上的概率.分布函数分布函数的值就表示的值就表示 落在区间落在区间第5页/共57页分布函数的另一种定义是：称分布函数的另一种定义是：称为随机变量的分布函数。两种定义对于离散型随机变为随机变量的分布函数。两种定义对于离散型随机变量有影响，此种定义给出的分布函数是量有影响，此种定义给出的分布函数是左连续左连续的，前的，前一种是右连续的。对于连续行随机变
3、量的分布没有任一种是右连续的。对于连续行随机变量的分布没有任何影响。何影响。第6页/共57页3 3 性质性质1 1）非降函数，非降函数，即即 若若 ，则则2 2）3 3）右（左）连续右（左）连续第7页/共57页4.4.几个常用的概率公式几个常用的概率公式1.1.2.2.3.3.4.4.（2 2）分布函数是一个普通实值函数）分布函数是一个普通实值函数（1 1）分布函数完整描述了随机变量的统计规律性）分布函数完整描述了随机变量的统计规律性第8页/共57页5.5.随机变量的分类随机变量的分类 例如：“抽验一批产品中次品的个数”，“电话交换台在一定时间内收到的呼叫次数”等1）离散型随机变量2）连续型随
4、机变量所有取值可以逐个一一列举例如：“电视机的寿命”，实际中常遇到的“测量误差”等.全部可能取值有无穷多，充满一个或几个区间第9页/共57页定义定义 若随机变量X 的全部可能取值是有限个有限个或无限可列多个无限可列多个,则称此随机变量是离散型随机变量离散型随机变量。例例 扔一均匀硬币三次，出现正面的次数扔一均匀硬币三次，出现正面的次数 离散型随机变量 二、离散型随机变量的定义、离散型随机变量的定义第10页/共57页分布律分布律也可用如下也可用如下表格表格的形式表示的形式表示定义定义 设随机变量设随机变量X的所有可能取值为的所有可能取值为满足kp则称pk为离散型随机变量X的概率分布或分布律。第1
5、1页/共57页 常用的离散型随机变量1.1.(01)(01)分布分布定义定义 若随机变量若随机变量X 的分布律为的分布律为（0101）分布的分布律也可写成）分布的分布律也可写成第12页/共57页（2）二项分布第13页/共57页3 3）泊松分布泊松分布称称服从参数为服从参数为的的泊松分布泊松分布,记为记为其中其中 是常数是常数,若随机变量若随机变量 的分布律的分布律第14页/共57页泊泊松松分分布布在在管管理理科科学学、运运筹筹学学以以及及自自然然科科学学的的某某些些问题中都占有重要的地位。问题中都占有重要的地位。泊松分布的应用泊松分布的应用 排队问题排队问题：在一段时间内窗口等待服务的：在一段
6、时间内窗口等待服务的顾客人数顾客人数 生物存活的个数生物存活的个数 放射的粒子数放射的粒子数第15页/共57页解例例1 1 求分布函数求分布函数当当 时时,当当 时时,当当 时时,已知随机变量已知随机变量 的分布律的分布律第16页/共57页合并可得合并可得第17页/共57页图形特点：图形特点：阶梯状阶梯状、右连续右连续非降函数、非降函数、不难看出，不难看出，F(x)的图形是阶梯状的图形，在的图形是阶梯状的图形，在 x=0，1，2 处有跳跃，其跃度分别等于处有跳跃，其跃度分别等于 PX=0,PX=1,PX=2第18页/共57页一、定义一、定义其中被积函数其中被积函数 ,称称 为为概率密度函数概率
7、密度函数 或或 概率密度概率密度。如果随机变量如果随机变量 的分布函数为的分布函数为则称则称 为为连续型连续型随机变量随机变量 连续型随机变量第19页/共57页对于对于连续型随机变量，连续型随机变量，改变改变 在个别点上的函数值不会改变在个别点上的函数值不会改变 的取值的取值第20页/共57页 概率密度的性质概率密度的性质1.1.2.2.面积为1o o3.3.4.4.在 的连续点 处，则 第21页/共57页对连续型 r.v X,有第22页/共57页例例2.2.试求试求:2)2)解解 1)1)连续型随机变量连续型随机变量 的分布函数的分布函数3)43)4次独立观察次独立观察 ,求求3 3次落入次
8、落入(0.25,0.75)1)1)概率密度概率密度中的概率.第23页/共57页2)或或设设 表示表示 落入落入 内的次数内的次数3)3)则则第24页/共57页几种常见的分布几种常见的分布一、均匀分布分布函数分布函数为为:1.1.若若X的概率密度为的概率密度为 则称则称 服从服从(a,b)上的上的均匀分布均匀分布，记作，记作第25页/共57页例例3解解第26页/共57页二、指数分布二、指数分布若若 随机变量随机变量 具有概率密度具有概率密度则称则称 服从参数为服从参数为 的指数分布的指数分布.记为 的分布函数的分布函数第27页/共57页(2)(2)已知该电子元件已使用了已知该电子元件已使用了1.
9、51.5年，求它还能使用两年，求它还能使用两解 电子元件的寿命电子元件的寿命X(年）年）服从参数为服从参数为3 3的指数分布的指数分布例例4(1)(1)求该电子元件寿命超过求该电子元件寿命超过2 2年的概率。年的概率。年的概率为多少？年的概率为多少？第28页/共57页令：B=等待时间为10-20分钟 第29页/共57页三、正态分布的正态分布,或高斯分布.所确定的曲线称为正态曲线若X具有概率密度 则称 服从参数为记为第30页/共57页条关于 对称的钟形曲线.特点是:正态分布的密度曲线是一正态分布的图形特点决定了图形决定了图形中峰的陡峭程度的中心位置“两头小,中间大,左右对称”第31页/共57页正
10、态分布的分布函数 标准正态分布的正态分布称为标准正态分布.其密度函数和分布函数常用 和 表示 的分布函数是第32页/共57页若 ,第33页/共57页则 N(0,1)设 ,定理定理 若第34页/共57页车门高度应如何确定?例例6 6 公共汽车车门的高度是按男子与车门碰头机会公共汽车车门的高度是按男子与车门碰头机会在在0.010.01以下来设计的以下来设计的,由由设男子身高设男子身高 问问 解:设车门高度为 厘米,第35页/共57页例例7 7.解解:落在 以外的概率可以忽略不计.第36页/共57页 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布随机变量的函数(分布律或分布密度）。分布律或分布密度）。第3
11、7页/共57页一、离散型随机变量一、离散型随机变量函数的分布函数的分布当当X为离散型随机变量时，为离散型随机变量时，也是离散型也是离散型随机变量。随机变量。求求Y的的分布律是容易的。分布律是容易的。并且在并且在 X 的分布律已知的情况下，的分布律已知的情况下，第38页/共57页注：注：1 1、设、设、设、设互不相等时，则事件互不相等时，则事件由由2、当、当 则把那些相等的值合并起来则把那些相等的值合并起来并根据概率的可加性把对应的概率相加得到并根据概率的可加性把对应的概率相加得到Y的分布律。的分布律。第39页/共57页例1 设随机变量设随机变量 的分布律为的分布律为的分布律的分布律解第40页/
12、共57页解解 的分布律。的分布律。所以所以第41页/共57页二二.连续型随机变量函数的分布连续型随机变量函数的分布解解 题题 思思 路路随机变量。随机变量。第42页/共57页例例2 设设 X 的概率密度为的概率密度为求求 Y=2 X+8 的概率密度的概率密度 解解 设设Y 的分布函数为的分布函数为第43页/共57页例例3 3 设设 X 的概率密度的概率密度解解 由题意可知由题意可知的取值范围为的取值范围为第44页/共57页设设 X 具有概率密度具有概率密度 ,求求 的概率密度的概率密度求导可得求导可得例例4 4 解解 第45页/共57页其概率密度为：其概率密度为：则则 Y=X 2 的概率密度为
13、：的概率密度为：例如例如,设设设设第46页/共57页设 是定义在概率空间 第47页/共57页如果用平面上的点如果用平面上的点(x,y)表示二维表示二维r.v.(X,Y)的一组可能的取值，则的一组可能的取值，则 F(x,y)表示表示(X,Y)的取值落入图所示角形区域的概率的取值落入图所示角形区域的概率.(x,y)xy第48页/共57页 的二维正态分布，记为 定义定义 若二维随机变量若二维随机变量的概率密度为的概率密度为其中其中都是常数都是常数,且且，则称，则称服从参数为服从参数为第49页/共57页第50页/共57页定义定义2 2:设设是二维随机变量是二维随机变量,对于任意实数对于任意实数 ,称称
14、为为 的的分布函数或联合分布函数分布函数或联合分布函数。边际分布边际分布 同理可得同理可得几何几何表示表示:第51页/共57页边缘分布律（离散型）设设的联合分布律的联合分布律记做记做 且有且有:则则 关于关于 的边缘分布律为的边缘分布律为记做记做 同理同理第52页/共57页边缘概率密度（连续型）若若是二维连续型随机变量，是二维连续型随机变量，其概率密度为其概率密度为则则:同理同理第53页/共57页的边缘概率密度则则例如例如.设二维随机变量设二维随机变量试求试求的边缘概率密度的边缘概率密度.解解令令，则有，则有第54页/共57页即即的边缘概率密度即为同理同理则则第55页/共57页Thank you第56页/共57页感谢您的观看。第57页/共57页