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1、1目 录6-1 曲线6-2 曲面概述6-3 直纹面6-4 曲线面第1页/共51页26-1 6-1 曲线 一、曲线的形成和分类 曲线可以看作是由以下三种方式形成的：1.不断改变方向的点连续运动的轨迹。2.曲面立体表面的交线。3.直线族或曲线族的包络。点的运动轨迹曲表面的交线包络曲线第2页/共51页36-1 6-1 曲线 曲线的分类：可分为规则曲线与不规则曲线，例如圆是规则曲线，地面等高线是不规则曲线；又可分为平面曲线和空间曲线，曲线上所有的点都位于一个平面上，这样的曲线叫平面曲线；连续四个点不在同一平面上的曲线叫空间曲线。圆柱螺旋线就是空间曲线的例子。第3页/共51页46-1 6-1 曲线 二、
2、曲线的投影 画出曲线上一系列点的投影，可得到曲线的投影。为了准确地表示曲线，一般应画画出曲线上一系列点的投影，可得到曲线的投影。为了准确地表示曲线，一般应画出曲线上特殊点的投影，以便控制好曲线的形状。出曲线上特殊点的投影，以便控制好曲线的形状。曲线的投影性质：曲线的投影性质：1.1.1.1.曲线的投影一般仍为曲线，特殊情形下平面曲线的投影可能退化成直线；曲线的投影一般仍为曲线，特殊情形下平面曲线的投影可能退化成直线；第4页/共51页56-1 6-1 曲线 2.2.曲线的切线在某投影面上的投影仍与曲线在该投影面上的投影相切，而且切点的投曲线的切线在某投影面上的投影仍与曲线在该投影面上的投影相切，
3、而且切点的投影仍为切点；影仍为切点；3.3.3.3.二次曲线的投影一般仍为二次曲线，例如圆的投影一般为椭圆。二次曲线的投影一般仍为二次曲线，例如圆的投影一般为椭圆。第5页/共51页66-1 6-1 曲线 平面曲线的投影，其形状视平面与投平面曲线的投影，其形状视平面与投影面的倾斜状态而定，当平面平行于投影影面的倾斜状态而定，当平面平行于投影面时，曲线的投影反映曲线的实形；当平面时，曲线的投影反映曲线的实形；当平面垂直于投影面时，曲线的投影退化为直面垂直于投影面时，曲线的投影退化为直线；当平面倾斜于投影面时，曲线的投影线；当平面倾斜于投影面时，曲线的投影为变了形的曲线。为变了形的曲线。反映实形退化
4、成直线变了形的曲线第6页/共51页76-1 6-1 曲线 三、圆的投影 1.1.1.1.投影面垂直面上的圆投影面垂直面上的圆 圆在所垂直的那个投影面上圆在所垂直的那个投影面上的投影为直线段，线段的长度等的投影为直线段，线段的长度等于圆的直径，圆的另外两投影为于圆的直径，圆的另外两投影为椭圆，椭圆的长轴长度等于圆的椭圆，椭圆的长轴长度等于圆的直径。直径。第7页/共51页86-1 6-1 曲线 例6-1 已知直径为d 的圆位于铅垂面内，并知圆心O和PH的位置，试作出其投影。解：解：水平投影为线段，长度等水平投影为线段，长度等于于d d，重合在，重合在P PH H上；正面投影和上；正面投影和侧面投影
5、为椭圆，长轴竖直，长侧面投影为椭圆，长轴竖直，长度等于度等于d d，短轴水平，长度根据，短轴水平，长度根据水平投影作出。利用圆的辅助投水平投影作出。利用圆的辅助投影可作出椭圆上的一些中间点。影可作出椭圆上的一些中间点。第8页/共51页96-1 6-1 曲线 2.2.2.2.一般斜平面上的圆一般斜平面上的圆 圆所在的平面倾斜圆所在的平面倾斜于三个投影面时，圆的于三个投影面时，圆的任一投影都是椭圆，椭任一投影都是椭圆，椭圆长轴的长度总是等于圆长轴的长度总是等于圆的直径圆的直径d d。第9页/共51页106-1 6-1 曲线 例6-2 半径为r的圆位于一般倾斜平面ABCD上，并知圆心的位置，试作出其
6、投影。解：解：首先，在水平投影中首先，在水平投影中作椭圆的长短轴：长轴的方向作椭圆的长短轴：长轴的方向为面内水平线的水平投影的方为面内水平线的水平投影的方向，长度等于圆的直径向，长度等于圆的直径2r2r。短。短轴垂直于长轴，长度利用直角轴垂直于长轴，长度利用直角三角形法求出。三角形法求出。（点击鼠标看过程）第10页/共51页116-1 6-1 曲线 其次，求出水平投影中长短轴在正面投影中的投影，它们是一对共轭直径1 12 2、3 34 4。根据共轭直径可求出椭圆上的其余四个点5 5、6 6、7 7、8 8，用八点法画出正面投影椭圆。第11页/共51页126-1 6-1 曲线 最后，利用平面上定
7、点的方法求出水平投影中的5、6、7、8四点，从而画出水平投影椭圆。第12页/共51页136-1 6-1 曲线 四、螺旋线的投影 1.1.1.1.圆柱螺旋线的形成圆柱螺旋线的形成 点点P P P P沿圆柱面上的一条直母线作等速移动，该母线又绕柱轴作等速转动，点沿圆柱面上的一条直母线作等速移动，该母线又绕柱轴作等速转动，点P P P P的轨迹为的轨迹为圆柱螺旋线。圆柱螺旋线。动画第13页/共51页146-1 6-1 曲线 七、螺旋线的投影 螺旋线轴线为铅垂线时，螺旋线的水平投影为圆。把圆周等分（例如1212等分），分点按旋向依次编号为0 0、1 1、2 2；在正面投影中把导程也作相同的等分，过各分
8、点作水平线；由水平投影中的各分点作竖直线与正面投影上的对应水平线相交，得0 0、1 1、2 2,把这些点连成光滑曲线，即为螺旋线的正面投影。第14页/共51页156-2 6-2 曲面概述 一、曲面的形成和分类一、曲面的形成和分类一、曲面的形成和分类一、曲面的形成和分类 曲面分为规则曲面和不规则曲面。规则曲面可以看成是运动的线按照一定的规则或曲面分为规则曲面和不规则曲面。规则曲面可以看成是运动的线按照一定的规则或受某种控制运动的轨迹。运动的线称为受某种控制运动的轨迹。运动的线称为母线母线，曲面上任意位置的母线称为，曲面上任意位置的母线称为素线素线。控制母线。控制母线运动的线或面，称为运动的线或面
9、，称为导线导线或或导面导面。第15页/共51页166-2 6-2 曲面概述 由直母线运动生成的曲面称为直纹面，例如圆柱面、圆锥面；只能由曲母线运动生由直母线运动生成的曲面称为直纹面，例如圆柱面、圆锥面；只能由曲母线运动生成的曲面称为曲线面，例如球面。成的曲面称为曲线面，例如球面。第16页/共51页176-2 6-2 曲面概述 根据母线运动时有无旋转轴，曲面可以分为旋转面和非旋根据母线运动时有无旋转轴，曲面可以分为旋转面和非旋根据母线运动时有无旋转轴，曲面可以分为旋转面和非旋根据母线运动时有无旋转轴，曲面可以分为旋转面和非旋转面。在旋转面中，由直母线旋转生成的叫旋转直纹面，由曲转面。在旋转面中，
10、由直母线旋转生成的叫旋转直纹面，由曲转面。在旋转面中，由直母线旋转生成的叫旋转直纹面，由曲转面。在旋转面中，由直母线旋转生成的叫旋转直纹面，由曲母线旋转生成的叫旋转曲线面。母线旋转生成的叫旋转曲线面。母线旋转生成的叫旋转曲线面。母线旋转生成的叫旋转曲线面。动画动画第17页/共51页186-2 6-2 曲面概述 二、曲面的投影 平行于某个投射方向而且与曲面相切的投射线，形成投射平面或柱面，它们与曲面相平行于某个投射方向而且与曲面相切的投射线，形成投射平面或柱面，它们与曲面相切的切线称为该投射方向的曲面切的切线称为该投射方向的曲面外形轮廓线外形轮廓线，简称，简称外形线外形线。曲面在某个投影面上的投
11、影，。曲面在某个投影面上的投影，可以用该投射方向上外形线的投影来表示。此外，有时还需同时画出曲面上若干条素线。可以用该投射方向上外形线的投影来表示。此外，有时还需同时画出曲面上若干条素线。第18页/共51页196-2 6-2 曲面概述 外形线同时还是曲面在该投射方向下可见与不可见部分的分界线。外形线同时还是曲面在该投射方向下可见与不可见部分的分界线。第19页/共51页206-2 6-2 曲面概述 三、曲面上点的投影 曲面上点的投影在曲面的同面投影上。曲面上点的投影在曲面的同面投影上。这里讨论的问题是，已知曲面的投影，根据曲面上点的一个投这里讨论的问题是，已知曲面的投影，根据曲面上点的一个投影如
12、何求出它的其余投影。与平面上定点类似，这里也要借助于辅影如何求出它的其余投影。与平面上定点类似，这里也要借助于辅助线。曲面上选用的辅助线，其投影应为直线或圆。对于直纹面，助线。曲面上选用的辅助线，其投影应为直线或圆。对于直纹面，可选用其直的素线为辅助线，用这种方法求点的投影称为可选用其直的素线为辅助线，用这种方法求点的投影称为素线法素线法。对于旋转面可以选用纬圆作为辅助线，用这种方法求点的投影称为对于旋转面可以选用纬圆作为辅助线，用这种方法求点的投影称为纬圆法纬圆法。素线法动画纬圆法动画第20页/共51页216-2 6-2 曲面概述 在圆锥面上用素线法和纬圆法求点的投影的例子：在圆锥面上用素线
13、法和纬圆法求点的投影的例子：动画第21页/共51页22 直纹面分为直纹面分为旋转直纹面旋转直纹面和和非旋转直纹面非旋转直纹面。圆柱面、圆锥面、旋。圆柱面、圆锥面、旋转单叶双曲面等属于旋转直纹面，切线面、双曲抛物面、锥状面、转单叶双曲面等属于旋转直纹面，切线面、双曲抛物面、锥状面、柱状面等属于非旋转直纹面。柱状面等属于非旋转直纹面。6-3 6-3 直纹面 一、柱面 直母线直母线l l 沿着一条导曲线沿着一条导曲线运动，且始终平行于某一固定运动，且始终平行于某一固定方向方向T T，这样形成的曲面称为，这样形成的曲面称为柱面柱面。柱面的所有素线均互相。柱面的所有素线均互相平行，画柱面的投影时需画出平
14、行，画柱面的投影时需画出外形线的投影（轮廓素线）。外形线的投影（轮廓素线）。动画第22页/共51页236-3 6-3 直纹面在柱面上求点的投影，一般可用素线法。第23页/共51页246-3 6-3 直纹面 柱面的曲导线一般为平面曲线。柱面是按正截面的形状取名的，正截面是圆时，称为圆柱面；正截面是椭圆时，称为椭圆柱面，等等。如果柱面有两个以上的对称平面，则对称平面的交线称为柱面的轴。下面是几种有轴柱面的投影。第24页/共51页256-3 6-3 直纹面 二、锥面二、锥面 直母线沿着一条曲导线直母线沿着一条曲导线C C 运动，且始终通过定点运动，且始终通过定点S S，这样形成的曲面称为锥面。，这样
15、形成的曲面称为锥面。S S 称称为为锥顶锥顶，所有的素线都通过它。在投影图上，应画出锥顶、导曲线和锥面外形线的投影。，所有的素线都通过它。在投影图上，应画出锥顶、导曲线和锥面外形线的投影。动画第25页/共51页266-3 6-3 直纹面 在锥面上作点，一般利用素线法。当用投影面平行面能截出圆形交线时，也可以用纬圆法作点。下面是几种有轴的锥面。第26页/共51页276-3 6-3 直纹面 三、切线面 直母线直母线l l 沿着一条曲导线沿着一条曲导线C C 运动，且运动，且始终与始终与C C 相切，这样形成的曲面称为相切，这样形成的曲面称为切线切线面。面。曲导线曲导线C C 是空间曲线，称为切线面
16、的是空间曲线，称为切线面的脊线脊线。第27页/共51页286-3 6-3 直纹面 工程中弯曲坡道两侧的边坡往往设计成切线面，并且使切线面的所有切线与地面成同一角度，这样设计成的切线面称为同坡曲面。第28页/共51页29 直母线直母线l l 沿着两条交叉直导线沿着两条交叉直导线ABAB、CDCD运动，且始终平行于某运动，且始终平行于某一导平面一导平面QQ，这样形成的曲面称为，这样形成的曲面称为双曲抛物面双曲抛物面，工程上也称扭面。，工程上也称扭面。6-3 6-3 直纹面 四、双曲抛物面 双曲抛物面的投影图中，只需画出两条直导线和若干素线的投双曲抛物面的投影图中，只需画出两条直导线和若干素线的投影
17、，而不必画出导平面。影，而不必画出导平面。第29页/共51页306-3 6-3 直纹面双曲抛物面在工程上有广泛的用途。水渠边坡渐变段水渠边坡渐变段道路边坡过渡段道路边坡过渡段第30页/共51页316-3 6-3 直纹面 对于同一个双曲抛物面，也可以把它看作是以ADAD、BCBC为交叉直导线，以平行于端点连线ABAB、CD CD 的平面P P 为导平面所形成的。也就是说，双曲抛物面上有两族素线，其中每一条素线与同族的所有素线都不相交，而与另一族的所有素线都相交。第31页/共51页32 直母线直母线l l 沿着一条直导线沿着一条直导线EF EF 和一条曲导线和一条曲导线ABC ABC 运动，且始终
18、平行于导平面运动，且始终平行于导平面P P（P P 平行平行于两条导线端点的连线于两条导线端点的连线AE AE 和和CF CF），这样形成的曲面称为），这样形成的曲面称为锥状面锥状面。6-3 6-3 直纹面 五、锥状面 第32页/共51页336-3 6-3 直纹面 六、柱状面 直母线直母线l l 沿着两条曲导线运动，且始终平行于沿着两条曲导线运动，且始终平行于某一导平面，这样形成的曲面称为某一导平面，这样形成的曲面称为柱状面柱状面。柱状面桥墩柱状面桥墩柱状面管道柱状面管道第33页/共51页346-3 6-3 直纹面 柱状面的所有素线都平行于导平面，而彼此间则成交叉状态。投影图上只需表示柱状面的
19、所有素线都平行于导平面，而彼此间则成交叉状态。投影图上只需表示两条导线和若干条素线的投影，而不画出导平面。两条导线和若干条素线的投影，而不画出导平面。以正平面为导平面的柱状面管道以正平面为导平面的柱状面管道第34页/共51页356-3 6-3 直纹面 七、旋转单叶双曲面 直母线绕一条与它交叉的直线直母线绕一条与它交叉的直线OOOO旋转，这样形成的曲面称为旋转，这样形成的曲面称为旋转单叶双曲面旋转单叶双曲面，直线，直线OOOO称为称为旋转轴旋转轴。第35页/共51页366-3 6-3 直纹面 投影图上应画出旋转轴和若干条素线的投影、直母线两端点轨迹的投影，以及素线投影图上应画出旋转轴和若干条素线
20、的投影、直母线两端点轨迹的投影，以及素线的包络线。的包络线。第36页/共51页376-3 6-3 直纹面 旋转中母线上的每个点都在作圆周运动，其轨迹是纬圆。母线上距轴线最近的点，其轨迹是最小的纬圆，叫喉圆。过旋转单叶双曲面上的每个点，还可以画出另外一条素线，也就是说，同一个旋转单叶双曲面上存在着两族素线，同族的素线间均不相交，而每一条素线都与另一族的所有素线相交。第37页/共51页386-3 6-3 直纹面 工程用例：水塔支架工程用例：水塔支架 冷却塔冷却塔第38页/共51页396-3 6-3 直纹面 八、螺旋面 分别以圆柱螺旋线和其轴线为导线，直母线分别以圆柱螺旋线和其轴线为导线，直母线l
21、l 沿此两导线移动沿此两导线移动而又同时与轴线保持一定的角度，这样形成的曲面称为而又同时与轴线保持一定的角度，这样形成的曲面称为螺旋面螺旋面。若。若母线与轴正交，得到母线与轴正交，得到的叫的叫正螺旋面正螺旋面，否则，否则得到的叫得到的叫斜螺旋面斜螺旋面。第39页/共51页406-3 6-3 直纹面 1.正螺旋面投影图投影图直观图直观图第40页/共51页416-3 6-3 直纹面 应用实例：应用实例：螺旋螺旋楼梯的作图楼梯的作图第41页/共51页426-3 6-3 直纹面 塔柱上的塔柱上的塔柱上的塔柱上的螺旋楼梯螺旋楼梯 第42页/共51页436-3 6-3 直纹面 2.2.斜螺旋面斜螺旋面 在
22、作出螺旋线的正面投影的基础上，首先在作出螺旋线的正面投影的基础上，首先作一条平行于作一条平行于V V 面的素线，使其与轴的夹角等面的素线，使其与轴的夹角等于定角于定角，如图中的，如图中的0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1。自。自0 01 1 起向上量取导起向上量取导程并按水平投影的等分数将其等分，过各分点程并按水平投影的等分数将其等分，过各分点与螺旋线正面投影上相应点与螺旋线正面投影上相应点00、11、1212连连接，即得螺旋面的素线的正面投影，最后画出接，即得螺旋面的素线的正面投影，最后画出素线的包络线，完成螺旋面的正面投影。素线的包络线，完成螺旋面的正面投影。第43页/共51页4
23、46-4 6-4 曲线面 一、球面 圆绕其任一直径旋转生成球面。所以球面被任一平面截割，圆绕其任一直径旋转生成球面。所以球面被任一平面截割，其交线均为圆。球的任一正投影也总是圆。圆的直径等于球的直其交线均为圆。球的任一正投影也总是圆。圆的直径等于球的直径。径。第44页/共51页456-4 6-4 曲线面 在球面上作点，一般用纬圆法。例如已知球上点A的正面投影a,过a作水平纬圆的正面投影，得纬圆半径ra，在水平投影中以ra为半径画圆，得纬圆的水平投影，a在此圆上。动画动画演示了另外一个例子。动画演示了另外一个例子。第45页/共51页466-4 6-4 曲线面 例6-3 根据部分球面的正面投影和水
24、平投影，求作侧面投影，并根据球面上A点的正面投影a 和B点的水平投影b，作出其余的投影。解：本题表示的是1/4球面，其侧面投影为一扇形。用纬圆法可求出A和B的其余各投影。第46页/共51页476-4 6-4 曲线面 二、环面 圆绕与其共面但不通过圆心的轴线旋转，生成环面。外半圆周生成外环面，内半圆圆绕与其共面但不通过圆心的轴线旋转，生成环面。外半圆周生成外环面，内半圆周生成内环面。周生成内环面。第47页/共51页486-4 6-4 曲线面 图示环面的正面投影上，画出了轴线和外形线，包括母线上最图示环面的正面投影上，画出了轴线和外形线，包括母线上最高、最低点的轨迹及两个反映实形的母线圆的投影，其
25、中内半圆的高、最低点的轨迹及两个反映实形的母线圆的投影，其中内半圆的投影为不可见。水平投影上画出了母线圆的圆心轨迹及外形线，包投影为不可见。水平投影上画出了母线圆的圆心轨迹及外形线，包括母线圆上最外、最内点轨迹圆的投影。括母线圆上最外、最内点轨迹圆的投影。第48页/共51页496-4 6-4 曲线面 在环面上作点，一般用纬圆法。在环面上作点，一般用纬圆法。例例6-46-46-46-4 已知已知1/41/4环面上环面上A A、B B两点的正面投影，求其余投影。两点的正面投影，求其余投影。解解：先根据已知投影的可见性，：先根据已知投影的可见性，判断点在环面上的部位，作纬圆判断点在环面上的部位，作纬圆求出点的相应投影。求出点的相应投影。动画演示了另外一个例子。动画演示了另外一个例子。动画第49页/共51页50第50页/共51页51感谢您的观看！第51页/共51页