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1、整式的乘除与因式分解知识要点及典型例题第1页，本讲稿共32页1、单项式除以单项式、单项式除以单项式 (三三)整式的除法整式的除法 1、同底数幂的乘法、同底数幂的乘法 2、幂的乘方、幂的乘方(二二)整式的乘法整式的乘法一、整式的概念一、整式的概念 1、代数式、代数式 2、单项式、单项式 3、单项式的系数及次数、单项式的系数及次数 知识结构：知识结构：二、整式的运算二、整式的运算(一一)整式的加减整式的加减 4、多项式、多项式 5、多项式的项、次数、多项式的项、次数 6、整式、整式 3、积的乘方、积的乘方 4、同底数的幂相除、同底数的幂相除5、单项式乘以单项式、单项式乘以单项式 6、单项式乘以多项
2、式、单项式乘以多项式7、多项式乘以多项式、多项式乘以多项式 8、平方差公式、平方差公式 9、完全平方公式、完全平方公式2、多项式除以单项式、多项式除以单项式基本步骤：去括号，合并同类项。基本步骤：去括号，合并同类项。第2页，本讲稿共32页分分解解因因式式定义定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，象这样的把一个多项式化成几个整式的积的形式，象这样的式子变形叫做把这个多项式式子变形叫做把这个多项式因式分解因式分解或或分解因式分解因式。与整式乘法的关系：与整式乘法的关系：互为逆过程，互逆关系互为逆过程，互逆关系方法方法提公因式法提公因式法公式法公式法步骤一提：一提：提公因式提公因式二用：二用：运用
3、公式运用公式三查：三查：检查因式分解的结果是否正确检查因式分解的结果是否正确 （彻（彻底性）底性）平方差公式平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b)完全平方公式完全平方公式a22ab+b2=(ab)2第3页，本讲稿共32页1、单项式：单项式：数与字母乘积，这样的代数式叫单项式。单独数与字母乘积，这样的代数式叫单项式。单独的一个数或字母也是单项式。的一个数或字母也是单项式。2、单项式的系数：单项式的系数：单项式中的数字因数。单项式中的数字因数。3、单项式的次数：单项式的次数：单项式中所有的字母的指数和。单项式中所有的字母的指数和。4、多项式：多项式：几个单项式的和叫多项式。几个单项式的和叫多
4、项式。5、多项式的项及次数：多项式的项及次数：组成多项式中的单项式叫多项式组成多项式中的单项式叫多项式的项，多项式中次数最高的项的次数叫做这个多项式的的项，多项式中次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。次数。特别注意，多项式的次数不是组成多项式的特别注意，多项式的次数不是组成多项式的所有字母指数和！所有字母指数和！一、整式的有关概念一、整式的有关概念第4页，本讲稿共32页6、整式：单项式与多项式统称整式。（分母含、整式：单项式与多项式统称整式。（分母含有字母的代数式不是整式）有字母的代数式不是整式）二、整式的运算二、整式的运算（一）整式的加减法（一）整式的加减法基本步骤：去括号，合并同类项。
5、基本步骤：去括号，合并同类项。第5页，本讲稿共32页1、同底数幂的乘法、同底数幂的乘法法则：法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。数学符号表示：数学符号表示：（其中（其中m、n为正整数）为正整数）（二）整式的乘法（二）整式的乘法练习：判断下列各式是否正确。练习：判断下列各式是否正确。第6页，本讲稿共32页2、幂的乘方、幂的乘方法则：法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。幂的乘方，底数不变，指数相乘。数学符号表示：数学符号表示：（其中（其中m、n为正整数）为正整数）练习：判断下列各式是否正确。练习：判断下列各式是否正确。（其中（其中m、n、P为正整数）为正整数）
6、第7页，本讲稿共32页3、积的乘方、积的乘方法则：法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。把所得的幂相乘。符号表示：符号表示：练习：计算下列各式。练习：计算下列各式。第8页，本讲稿共32页4.单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘，把它们单项式与单项式相乘，把它们的的系数、相同字母系数、相同字母分别相乘，对于分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。连同它的指数作为积的一个因式。第9页，本讲稿共32页法则：法则：多项式与多项式相乘,先用
7、一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn(a+b)(m+n)=a(m+n)+b(m+na(m+n)+b(m+na(m+n)+b(m+n)5.多项式与多项式相乘：多项式与多项式相乘：=am+an+bm+bn第10页，本讲稿共32页（1）、平方差公式）、平方差公式即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式叫（乘法的）平方差公式的平方差。这个公式叫（乘法的）平方差公式说明说明：平方差公式是根据多项式乘以多项平方差公式是根据多项式乘以多项式得到的，它是式得到的，它是两个数的和
8、两个数的和与与同样的两个同样的两个数数的差的差的积的形式。的积的形式。6.乘法公式：乘法公式：一般的，我们有：一般的，我们有：第11页，本讲稿共32页（2）、完全平方公式）、完全平方公式法则法则：两数和（或差）的平方，等于它们的平方：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的和，加上（或减去）它们的积的2倍倍。一般的，我们有：一般的，我们有：第12页，本讲稿共32页注意：注意：（1）(a-b)=-(b-a)(2)（a-b)2=(b-a)2 (3)(-a-b)2=(a+b)2 (4)(a-b)3=-(b-a)3第13页，本讲稿共32页7.添括号的法则：添括号的法则：添括号时
9、，如果括号前面是正号，括添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都号前面是负号，括到括号里的各项都要改变符号。要改变符号。第14页，本讲稿共32页（1）、同底数幂的除法）、同底数幂的除法即：同底数幂相除，底数不变，指数相减。即：同底数幂相除，底数不变，指数相减。一般地，我们有一般地，我们有（其中（其中a0，m、n为为正整数正整数,并且并且mn）8.整式的除法：整式的除法：即任何不等于即任何不等于0的数的的数的0次幂都等于次幂都等于1第15页，本讲稿共32页（2）、单项式除以单项式）、单项式除以单项式 法则：法
10、则：单项式除以单项式，把它们的系数、同底数幂单项式除以单项式，把它们的系数、同底数幂分别相除作为商的一个因式，对于只在被除式里含有的分别相除作为商的一个因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。字母，则连同它的指数作为商的一个因式。（3）、多项式除以单项式）、多项式除以单项式 法则：法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。一项除以这个单项式，再把所得的商相加。第16页，本讲稿共32页第17页，本讲稿共32页练习：计算下列各题。练习：计算下列各题。第18页，本讲稿共32页（1）.公因式：公因式：一
11、个多项式的各项都含有的一个多项式的各项都含有的公共的因式，公共的因式，叫做这个多项式各项的叫做这个多项式各项的公因式公因式（2）找公因式：找公因式：找各项找各项系数的最大公约系数的最大公约数数与各项都含有的字母的与各项都含有的字母的最低次幂的积最低次幂的积。（3）.提公因式法：提公因式法：一般地，如果多项式的各项一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，作为有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，作为多项式的一个因式，然后用原多项式的每一项除以多项式的一个因式，然后用原多项式的每一项除以这个公因式，所得的商作为另一个因式，将多项式这个公因式，所得的商作为另一个因式，将多项
12、式写成因式乘积的形式，这种因式分解写成因式乘积的形式，这种因式分解 的方法的方法提公因提公因式法。式法。第19页，本讲稿共32页1、利用因式分解计算：（1）（2）(1 )(1 )(1 )(1 )（3）20042-40082005+20052 （4）9.929.90.20.012、若若a、b、c为为ABC的三边，且满足的三边，且满足a2b2c2abacbc，试判断，试判断ABC的的形状。形状。第20页，本讲稿共32页（2）3.分解因式：分解因式：（1）.（3）第21页，本讲稿共32页1求证:(n2+3n+1)2-1是连续四个整数的积(其中n为整数)2.已知:a+b=1,求证:a3+b3+3ab=
13、1.3已知:a+b=-3,ab=-4,求多项式a2+a2b+ab2+b2的值.4已知:(a+b)(x+y)=2(ax+by),求证:a=b或x=y.第22页，本讲稿共32页典型例题：典型例题：第23页，本讲稿共32页典型例题：典型例题：第24页，本讲稿共32页典型例题：典型例题：第25页，本讲稿共32页典型例题：典型例题：第26页，本讲稿共32页典型例题：典型例题：第27页，本讲稿共32页典型例题：典型例题：第28页，本讲稿共32页例例11（1）例例11（2）典型例题：典型例题：第29页，本讲稿共32页典型例题：典型例题：第30页，本讲稿共32页典型例题：典型例题：第31页，本讲稿共32页典型例题：典型例题：第32页，本讲稿共32页