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1、数学物理方程 格林函数法第1页，本讲稿共50页 利用格林函数法求解一些平面或空间区域上位势利用格林函数法求解一些平面或空间区域上位势方程狄利克雷问题。方程狄利克雷问题。介绍利用格林函数法求解一维热传导方程和波动方介绍利用格林函数法求解一维热传导方程和波动方介绍利用格林函数法求解一维热传导方程和波动方介绍利用格林函数法求解一维热传导方程和波动方程半无界问题程半无界问题程半无界问题程半无界问题本章中心内容本章中心内容第2页，本讲稿共50页 格林（格林（格林（格林（GreenGreenGreenGreen）函数）函数）函数）函数，又称为点源影响函数，又称为点源影响函数，是是数学物理中的一个重要概念格
2、林函数代表一个点数学物理中的一个重要概念格林函数代表一个点源在一定的边界条件下和初始条件下所产生的场源在一定的边界条件下和初始条件下所产生的场知道了点源的场，就可以用叠加的方法计算出任意知道了点源的场，就可以用叠加的方法计算出任意源所产生的场源所产生的场 格林函数法是解数学物理方程的常用方法之格林函数法是解数学物理方程的常用方法之一一 第3页，本讲稿共50页5.1 Green5.1 Green5.1 Green5.1 Green公式公式公式公式 在研究在研究在研究在研究LaplaceLaplaceLaplaceLaplace方程和方程和方程和方程和PoissonPoissonPoissonPo
3、isson方程边界问题的时候，要经方程边界问题的时候，要经方程边界问题的时候，要经方程边界问题的时候，要经常利用格林公式，它是高等数学中常利用格林公式，它是高等数学中常利用格林公式，它是高等数学中常利用格林公式，它是高等数学中GaussGaussGaussGauss公式的直接推广。公式的直接推广。公式的直接推广。公式的直接推广。设设设设为为为为中的区域，中的区域，中的区域，中的区域，充分光滑。充分光滑。充分光滑。充分光滑。设设设设k k为非负整数，为非负整数，为非负整数，为非负整数，以下用以下用以下用以下用表示在表示在表示在表示在上具有上具有上具有上具有k k k k阶连续偏导的实函数全体，阶
4、连续偏导的实函数全体，阶连续偏导的实函数全体，阶连续偏导的实函数全体，表示在表示在表示在表示在上具有上具有上具有上具有k k k k阶连续偏导的实函数全体。如阶连续偏导的实函数全体。如阶连续偏导的实函数全体。如阶连续偏导的实函数全体。如表示表示表示表示在在在在具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数上连续。如将上连续。如将上连续。如将上连续。如将简记为简记为简记为简记为，简记为简记为简记为简记为或或或或，等等。，等等。，等等。，等等。设设设设和和和和，则如下的，则如下的，则如下的，则如下的高斯公式高斯公式高斯公式高斯公式第4页，本讲稿共50页或者或者或者或者如果
5、引入哈密尔顿（如果引入哈密尔顿（如果引入哈密尔顿（如果引入哈密尔顿（Hamilton)Hamilton)Hamilton)Hamilton)算子：算子：算子：算子：并记并记并记并记F=(P,Q,R),F=(P,Q,R),F=(P,Q,R),F=(P,Q,R),则则则则GaussGaussGaussGauss公式具有如下简洁性式公式具有如下简洁性式公式具有如下简洁性式公式具有如下简洁性式其中其中其中其中为为为为的单位外法向量。的单位外法向量。的单位外法向量。的单位外法向量。注注注注1 1 1 1哈密尔顿算子是一个向量性算子，它作用于向量函数哈密尔顿算子是一个向量性算子，它作用于向量函数F=(P,
6、Q,R)F=(P,Q,R)时，其运算定义为时，其运算定义为第5页，本讲稿共50页形式上相当于两个向量作点乘运算，此即向量形式上相当于两个向量作点乘运算，此即向量F F的散度的散度divFdivF。而作用于数量函数。而作用于数量函数f(x,y,z)f(x,y,z)时，其运算定义为时，其运算定义为形式上相当于向量的数乘运算，此即向量函数形式上相当于向量的数乘运算，此即向量函数的梯度的梯度gradgrad、设设设设在在在在(3)(3)(3)(3)式中取式中取式中取式中取得得得得直接计算可得直接计算可得直接计算可得直接计算可得将将将将(5)(5)(5)(5)式带入到式带入到式带入到式带入到(4)(4)
7、(4)(4)式中，并整理得式中，并整理得式中，并整理得式中，并整理得其中其中其中其中(6)(6)(6)(6)式称为式称为式称为式称为格林第一公式格林第一公式格林第一公式格林第一公式第6页，本讲稿共50页将（将（将（将（6 6 6 6）中函数）中函数）中函数）中函数u u u u、v v v v的位置互换，得的位置互换，得的位置互换，得的位置互换，得（6 6 6 6）-（7 7 7 7），得），得），得），得（8 8 8 8）称为）称为）称为）称为格林第二公式格林第二公式格林第二公式格林第二公式。设设设设，点，点，点，点，。引入函数。引入函数。引入函数。引入函数，注意，注意，注意，注意是关于六个
8、变元是关于六个变元是关于六个变元是关于六个变元和和和和的函数，且的函数，且的函数，且的函数，且第7页，本讲稿共50页又又又又两边对两边对两边对两边对x x x x求偏导，得求偏导，得求偏导，得求偏导，得即即即即所以所以所以所以对（对（对（对（*）再对）再对）再对）再对x x x x求偏导，得求偏导，得求偏导，得求偏导，得整理，得整理，得整理，得整理，得第8页，本讲稿共50页由对称性，得由对称性，得由对称性，得由对称性，得所以所以所以所以即即即即在在在在中除点中除点中除点中除点外处处满足拉普拉斯方程。外处处满足拉普拉斯方程。外处处满足拉普拉斯方程。外处处满足拉普拉斯方程。设设设设充分小使得充分小
9、使得充分小使得充分小使得记记记记，则，则，则，则，在格林第二公式，在格林第二公式，在格林第二公式，在格林第二公式中，令中，令中，令中，令，注意到，注意到，注意到，注意到，则有，则有，则有，则有第9页，本讲稿共50页或或或或在球面在球面在球面在球面上，有上，有上，有上，有或或或或因此因此因此因此第10页，本讲稿共50页其中其中其中其中-积分中值定理积分中值定理积分中值定理积分中值定理 同理可得同理可得同理可得同理可得其中其中其中其中-积分中值定理积分中值定理积分中值定理积分中值定理 将（将（将（将（10101010）和（）和（）和（）和（11111111）带入到（）带入到（）带入到（）带入到（9
10、 9 9 9），），），），得到得到得到得到令令令令此时有此时有此时有此时有第11页，本讲稿共50页并且区域并且区域并且区域并且区域G G G G趋向于区域趋向于区域趋向于区域趋向于区域，所以可得，所以可得，所以可得，所以可得即即即即（12121212）称为格林第三公式。）称为格林第三公式。）称为格林第三公式。）称为格林第三公式。注注注注2 2 2 2 在二维情况中，格林第一公式和格林第二公式也成立。在二维情况中，格林第一公式和格林第二公式也成立。而对于格林第三公式，需要取而对于格林第三公式，需要取格林第三公式，需要取格林第三公式，需要取此时，格林第三公式也成立。此时，格林第三公式也成立。第1
11、2页，本讲稿共50页5.2 Laplace 5.2 Laplace 5.2 Laplace 5.2 Laplace 方程基本解和方程基本解和方程基本解和方程基本解和GreenGreen函数函数函数函数 基本解做研究偏微分方程时起着重要的作用。这里首先介绍基本解做研究偏微分方程时起着重要的作用。这里首先介绍基本解做研究偏微分方程时起着重要的作用。这里首先介绍基本解做研究偏微分方程时起着重要的作用。这里首先介绍拉普拉斯方程的基本解，并做一些特殊区域上由基本解生产格林函拉普拉斯方程的基本解，并做一些特殊区域上由基本解生产格林函拉普拉斯方程的基本解，并做一些特殊区域上由基本解生产格林函拉普拉斯方程的基
12、本解，并做一些特殊区域上由基本解生产格林函数，由此给出相应区域上的拉普拉斯方程或泊松方程边值问题的解数，由此给出相应区域上的拉普拉斯方程或泊松方程边值问题的解数，由此给出相应区域上的拉普拉斯方程或泊松方程边值问题的解数，由此给出相应区域上的拉普拉斯方程或泊松方程边值问题的解的表达式。的表达式。的表达式。的表达式。5.2.1 5.2.1 5.2.1 5.2.1 基本解基本解 设设设设，若做点，若做点，若做点，若做点放置一单位正电荷，放置一单位正电荷，放置一单位正电荷，放置一单位正电荷，则该电荷在空间产生的点位分布为（舍去介电常数则该电荷在空间产生的点位分布为（舍去介电常数则该电荷在空间产生的点位
13、分布为（舍去介电常数则该电荷在空间产生的点位分布为（舍去介电常数 ）电场中某点的电位是指在电场中将单位正电荷从该点移至电电场中某点的电位是指在电场中将单位正电荷从该点移至电电场中某点的电位是指在电场中将单位正电荷从该点移至电电场中某点的电位是指在电场中将单位正电荷从该点移至电位参考点时电场力所做的功。位参考点时电场力所做的功。位参考点时电场力所做的功。位参考点时电场力所做的功。上节已证上节已证上节已证上节已证在广义函数意义下，在广义函数意义下，在广义函数意义下，在广义函数意义下，第13页，本讲稿共50页其中其中其中其中三维拉普拉斯方程三维拉普拉斯方程三维拉普拉斯方程三维拉普拉斯方程的通解为：的
14、通解为：的通解为：的通解为：如果取如果取如果取如果取就得到一个重要的特解就得到一个重要的特解就得到一个重要的特解就得到一个重要的特解，前面，前面，前面，前面记作记作记作记作，与，与，与，与点选择有关。点选择有关。点选择有关。点选择有关。称为三维拉普拉斯方程的基本解。称为三维拉普拉斯方程的基本解。称为三维拉普拉斯方程的基本解。称为三维拉普拉斯方程的基本解。当当当当n=2n=2n=2n=2时，二维拉普拉斯方程的基本解为时，二维拉普拉斯方程的基本解为时，二维拉普拉斯方程的基本解为时，二维拉普拉斯方程的基本解为其中其中其中其中。有。有。有。有在广义函数意义下，在广义函数意义下，在广义函数意义下，在广义
15、函数意义下，第14页，本讲稿共50页5.2.2 5.2.2 5.2.2 5.2.2 格林函数格林函数格林函数格林函数 考虑如下定解问题考虑如下定解问题考虑如下定解问题考虑如下定解问题设设设设为上述问题的解，则为上述问题的解，则为上述问题的解，则为上述问题的解，则由格林第三公式，得由格林第三公式，得由格林第三公式，得由格林第三公式，得由定解问题（由定解问题（由定解问题（由定解问题（5 5 5 5）（）（）（）（6 6 6 6）的自由项和边值条件，可得）的自由项和边值条件，可得）的自由项和边值条件，可得）的自由项和边值条件，可得和和和和而在而在而在而在中，中，中，中，在边界在边界在边界在边界上的值
16、未知，因此须进一步处理。上的值未知，因此须进一步处理。上的值未知，因此须进一步处理。上的值未知，因此须进一步处理。注注注注 如果边界条件改为诺依曼条件，即定解问题变为如果边界条件改为诺依曼条件，即定解问题变为第15页，本讲稿共50页由格林第三公式，得由格林第三公式，得须做进一步处理。须做进一步处理。如何由格林第三公式得到定解问题（如何由格林第三公式得到定解问题（如何由格林第三公式得到定解问题（如何由格林第三公式得到定解问题（5 5 5 5）（）（）（）（6 6 6 6）的解？主要是如）的解？主要是如）的解？主要是如）的解？主要是如何消去何消去何消去何消去。-构造格林函数。构造格林函数。构造格林
17、函数。构造格林函数。设设设设h h h h为如下定解问题的解为如下定解问题的解为如下定解问题的解为如下定解问题的解在格林第二公式在格林第二公式在格林第二公式在格林第二公式第16页，本讲稿共50页中，取中，取中，取中，取v=hv=h，得，得，得，得或或或或则（则（则（则（7 7 7 7）+（10101010）得）得）得）得其中其中其中其中由由由由第17页，本讲稿共50页及及及及可知，可知，可知，可知，是如下定解问题的解是如下定解问题的解是如下定解问题的解是如下定解问题的解称为拉普拉斯方程在区域称为拉普拉斯方程在区域称为拉普拉斯方程在区域称为拉普拉斯方程在区域上的格林函数。上的格林函数。上的格林函
18、数。上的格林函数。由于由于由于由于G G G G在在在在上恒为上恒为上恒为上恒为0 0 0 0，又，又，又，又可得可得可得可得第18页，本讲稿共50页因此，若求出了区域因此，若求出了区域因此，若求出了区域因此，若求出了区域上的格林函数上的格林函数上的格林函数上的格林函数，则，则，则，则便是定解问题便是定解问题便是定解问题便是定解问题的解。的解。的解。的解。第19页，本讲稿共50页5.3 5.3 5.3 5.3 半空间及圆域上的半空间及圆域上的半空间及圆域上的半空间及圆域上的DirichletDirichletDirichletDirichlet问题问题问题问题 由前面的分析，我们可以看出，只要
19、求出了给定区域由前面的分析，我们可以看出，只要求出了给定区域由前面的分析，我们可以看出，只要求出了给定区域由前面的分析，我们可以看出，只要求出了给定区域上的格林函数，就可以得到该区域泊松方程狄利克雷问题的解。对上的格林函数，就可以得到该区域泊松方程狄利克雷问题的解。对上的格林函数，就可以得到该区域泊松方程狄利克雷问题的解。对上的格林函数，就可以得到该区域泊松方程狄利克雷问题的解。对一般区域，求格林函数并非易事。但对于某些特殊区域，可有一些一般区域，求格林函数并非易事。但对于某些特殊区域，可有一些一般区域，求格林函数并非易事。但对于某些特殊区域，可有一些一般区域，求格林函数并非易事。但对于某些特
20、殊区域，可有一些方法。方法。方法。方法。5.3.1 5.3.1 5.3.1 5.3.1 半空间上的狄利克雷问题半空间上的狄利克雷问题半空间上的狄利克雷问题半空间上的狄利克雷问题 设设设设考虑定解问题考虑定解问题考虑定解问题考虑定解问题 设设设设，则，则，则，则为为为为关于关于关于关于的对称点。的对称点。的对称点。的对称点。若在若在若在若在两点各放置一个单位正电荷，则由三维拉普拉斯方程的两点各放置一个单位正电荷，则由三维拉普拉斯方程的两点各放置一个单位正电荷，则由三维拉普拉斯方程的两点各放置一个单位正电荷，则由三维拉普拉斯方程的基本解得知，它们做空间产生基本解得知，它们做空间产生基本解得知，它们
21、做空间产生基本解得知，它们做空间产生 点位分别为点位分别为点位分别为点位分别为第20页，本讲稿共50页其中其中其中其中。由于。由于。由于。由于关于关于关于关于对称，且对称，且对称，且对称，且，则有，则有，则有，则有即即即即为上半空间的格林函数，且有为上半空间的格林函数，且有为上半空间的格林函数，且有为上半空间的格林函数，且有直接计算可得直接计算可得直接计算可得直接计算可得第21页，本讲稿共50页又又又又第22页，本讲稿共50页例例1 1 求解下列定解问题求解下列定解问题解：解：第23页，本讲稿共50页第24页，本讲稿共50页例例2 2 求解下列定解问题求解下列定解问题解：解：第25页，本讲稿共
22、50页练练解解第26页，本讲稿共50页5.3.2 5.3.2 5.3.2 5.3.2 圆域上的狄利克雷问题圆域上的狄利克雷问题圆域上的狄利克雷问题圆域上的狄利克雷问题 设设设设 考虑圆域上的狄利克雷问题考虑圆域上的狄利克雷问题考虑圆域上的狄利克雷问题考虑圆域上的狄利克雷问题 设设设设为关于圆周为关于圆周为关于圆周为关于圆周的对称点，即的对称点，即的对称点，即的对称点，即因此，对任意因此，对任意因此，对任意因此，对任意有，有，有，有，即即即即所以所以所以所以第27页，本讲稿共50页这说明函数这说明函数这说明函数这说明函数在在在在上恒为零。有由于上恒为零。有由于上恒为零。有由于上恒为零。有由于，故
23、，故，故，故即即即即是圆域上的格林函数。是圆域上的格林函数。是圆域上的格林函数。是圆域上的格林函数。引入极坐标引入极坐标引入极坐标引入极坐标，设，设，设，设则则则则用用用用表示表示表示表示与与与与的夹角，则有的夹角，则有的夹角，则有的夹角，则有利用余弦定理，有利用余弦定理，有利用余弦定理，有利用余弦定理，有第28页，本讲稿共50页将上面两式带入到格林函数将上面两式带入到格林函数将上面两式带入到格林函数将上面两式带入到格林函数有有有有第29页，本讲稿共50页计算计算计算计算记记记记，则有，则有，则有，则有第30页，本讲稿共50页这既是定解问题这既是定解问题这既是定解问题这既是定解问题的解。的解。的解。的解。第31页，本讲稿共50页第32页，本讲稿共50页第33页，本讲稿共50页第34页，本讲稿共50页第35页，本讲稿共50页第36页，本讲稿共50页第37页，本讲稿共50页第38页，本讲稿共50页第39页，本讲稿共50页第40页，本讲稿共50页第41页，本讲稿共50页第42页，本讲稿共50页第43页，本讲稿共50页第44页，本讲稿共50页第45页，本讲稿共50页第46页，本讲稿共50页第47页，本讲稿共50页第48页，本讲稿共50页第49页，本讲稿共50页第50页，本讲稿共50页