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1、工程制图与工程制图与AutoCADAutoCAD2023/2/142单元单元2点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影2023/2/14页面 3知知识要点要点 投影基本理投影基本理论；点、直点、直线、平面投影的投影、平面投影的投影规律。律。2023/2/14页面 4 投影的基本知识投影的基本知识l学习目标l 掌握投影的基本概念；掌握投影法的分类（中心投影法、平行投影法）；掌握正投影的基本特征（显实性、积聚性、类似性）；掌握三面投影图的产生及投影规律 2023/2/14页面 5投影的基本概念投影的基本概念l2.1.1.1 投影的基本概念l 在日常生活中，人们对“形影不离”的现象已习以为常，知道其
2、形成要有光线、物体及投影面。经阳光或灯光照射的物体，会在地面或墙面上产生影子，这就是投影现象。如图2-1所示为经阳光照射的物体，在地面上产生影子的图片。2023/2/14页面 8 投影的分类投影的分类投影方法投影方法中心投影法中心投影法平行投影法平行投影法直角投影法（正投影法）直角投影法（正投影法）斜角投影法斜角投影法画透视图画透视图画斜轴测图画斜轴测图画工程图样画工程图样及正轴测图及正轴测图2023/2/14页面 9 投影法的分类投影法的分类中心投影法中心投影法投影特性投影特性投射线投射线投射中心投射中心物体物体投影面投影面投影投影物体位置改变，物体位置改变，投影大小也改变投影大小也改变 投
3、射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。有影响。度量性较差度量性较差2023/2/14页面 10投影法的分类投影法的分类平行投影法平行投影法斜角投影法斜角投影法投投 影影 特特 性性投影大小与物体和投影面之间的距离无关。投影大小与物体和投影面之间的距离无关。度量性较好度量性较好工程图样多数采用正投影法绘制。工程图样多数采用正投影法绘制。投投射射线线互互相相平平行行且且垂垂直直于于投投影影面面投投射射线线互互相相平平行行且且倾倾斜斜于于投投影影面面直角（正）投影法直角（正）投影法 轴测投影图轴测投影图 透视投影图透视投影图 工
4、程中常见的图形 工程中常见的图形 正正投影图投影图 标高投影图标高投影图(a)地形图的形成地形图的形成(b)地形图地形图投影法的分类投影法的分类2023/2/14页面 14平行投影的基本特征平行投影的基本特征1、显实性：若线段和平面图形平行于投影面,其投影反映实长或实形。正投影的基本特征正投影的基本特征2、积聚性：若线段和平面图形垂直于投影面，其投影积聚为一点或一直线段。正投影的基本特征正投影的基本特征3、类似性：若线段和平面图形倾斜于投影面，其投影短于实长或小于实形，但与空间图形类似。三面投影三面投影u 问题的提出(b)水平投影图CBAa,b,cH形体的一面投影不能唯一确定其空间形状2023
5、/2/14页面 18三面投影三面投影 Pb AP采用多面投影采用多面投影。过空间点过空间点A的投射线的投射线与投影面与投影面P的交点即为点的交点即为点A在在P面上的投影。面上的投影。B1B2B3 点在一个投影面上点在一个投影面上的投影不能确定点的空的投影不能确定点的空间位置。间位置。a 解决办法？解决办法？空间点空间点A在在两两个投影面上的投影个投影面上的投影 两投影面体系两投影面体系 点的两面投影点的两面投影 由点的两面投影由点的两面投影能确定其位置能确定其位置2023/2/14页面 20 三面投影体系的建立三面投影体系的建立HWV投影面投影面正面投影面（简称正正面投影面（简称正 面或面或V
6、面）面）水平投影面（简称水水平投影面（简称水 平面或平面或H面）面）侧面投影面（简称侧侧面投影面（简称侧 面或面或W面）面）投影轴投影轴oXZOX轴轴 V面与面与H面的交线面的交线OZ轴轴 V面与面与W面的交线面的交线OY轴轴 H面与面与W面的交线面的交线Y三个投影面三个投影面互相垂直互相垂直2023/2/14页面 21三面投影体系的建立三面投影体系的建立 WHVoX空间点空间点A在三个投影面上的投影在三个投影面上的投影a 点点A的正面投影的正面投影a点点A的水平投影的水平投影a 点点A的侧面投影的侧面投影空间点用大写字母表空间点用大写字母表示，点的投影用小写示，点的投影用小写字母表示。字母表
7、示。a aa AZY三面投影的投影规律三面投影的投影规律WVHXYZOVHWAaa a xaazay向右翻向右翻向下翻向下翻不动不动投影面展开投影面展开aaZaa yayaXYYO azx三面投影的投影规律三面投影的投影规律 将形体放置在三投影面体系中，按正投影法向各投影面投影，则形成了形体的三面投影图。正面图与平面图正面图与平面图长对正长对正；正面图与侧面图正面图与侧面图高平齐高平齐；平面图与侧面图平面图与侧面图宽相等宽相等。2023/2/14页面 24 三面投影的投影规律三面投影的投影规律度量对应关系度量对应关系 主视图主视图(正面投影）正面投影）长和高长和高 俯视图俯视图(水平投影）水平
8、投影）长和宽长和宽 侧视图侧视图(侧面投影）侧面投影）宽和高宽和高 主视图、俯视图主视图、俯视图长长 俯视图、左视图俯视图、左视图宽宽 主视图、左视图主视图、左视图高高 长对正长对正 宽相等宽相等 高平齐高平齐 长长宽宽高高三面投影的投影规律三面投影的投影规律 正面图反映形体的正面图反映形体的上、下上、下和和左、右左、右，不反映，不反映前前、后后；平面图反映形体的平面图反映形体的前、后前、后和和左、右左、右，不反映，不反映上上、下下；侧面图反映形体的侧面图反映形体的上、下上、下和和前、后前、后，不反映，不反映左左、右右。2023/2/14页面 26点的投影知识点的投影知识l学习目标l掌握点的三
9、面投影及投影规律；掌握点的投影与直角坐标；掌握两点的相对位置及重影点。XYZOVHWAaa a 点的投影规律点的投影规律:a a OX轴轴 aax=a az=y=A到到V面的距离面的距离a ax=a ay=z=A到到H面的距离面的距离aay=a az=x=A到到W面的距离面的距离xaazayYZaza XYayOaaxaya a a OZ轴轴点的三面投影及其投影规律点的三面投影及其投影规律例题已知点例题已知点A(14，10，11)，作出该点的三面投影。，作出该点的三面投影。14111045例题例题2.2已知点已知点A与投影面与投影面W、V、H的距离分别为的距离分别为14mm、10mm、11mm
10、，作出该点的，作出该点的三面投影。三面投影。xA=WA=14yA=VA=10zA=HA=11即点的坐标为：即点的坐标为：A(14，10，11)点的三面投影及其投影规律点的三面投影及其投影规律2023/2/14页面 29a aax例：已知点的两个投影，求第三投影。例：已知点的两个投影，求第三投影。a a aaxazaz解法一解法一:通过作通过作45线线使使a az=aax解法二解法二:用圆规直接量用圆规直接量取取a az=aaxa 点的三面投影及其投影规律点的三面投影及其投影规律2023/2/14页面 30两点的相对位置及重影点两点的相对位置及重影点三、两点的相对位置三、两点的相对位置 两点的相
11、对位置指两两点的相对位置指两点在空间的点在空间的上下、前后、上下、前后、左右左右位置关系。位置关系。判断方法：判断方法：x 坐标大的在左坐标大的在左 y 坐标大的在前坐标大的在前 z 坐标大的在上坐标大的在上b aa a b bB点在点在A点之点之前、之右、之前、之右、之下。下。XYHYWZ两点的相对位置两点的相对位置四、重影点：四、重影点：空间两点在某空间两点在某一投影面上的一投影面上的投影投影重合为一点重合为一点时，则时，则称此两点为称此两点为该投影该投影面面的重影点。的重影点。cd(c)dCDa(b)abAB2023/2/14页面 32两点的相对位置两点的相对位置A、C为为H面的重影点面
12、的重影点a a c c 被挡住的投被挡住的投影加影加()()A、C为哪个投为哪个投影面的重影点影面的重影点呢？呢？a cWVHXYZOVHWAaa a xaazay向右翻向右翻向下翻向下翻不动不动投影面展开投影面展开aaZaa yayaXYYO azx回顾回顾例题已知点例题已知点A(14，10，11)，作出该点的三面投影。，作出该点的三面投影。141110452023/2/14页面 35两点的相对位置两点的相对位置 两点的相对位置指两两点的相对位置指两点在空间的点在空间的上下、前后、上下、前后、左右左右位置关系。位置关系。判断方法：判断方法：x 坐标大的在左坐标大的在左 y 坐标大的在前坐标大
13、的在前 z 坐标大的在上坐标大的在上b aa a b bB点在点在A点之点之前、之右、之前、之右、之下。下。XYHYWZ例例1 1如图，已知点如图，已知点A A的三投影，另一点的三投影，另一点B B在点在点A A上方上方8mm8mm，左，左方方12mm12mm，前方，前方10mm10mm处，求点处，求点B B的三个投影。的三个投影。2023/2/14页面 37直线的投影知识直线的投影知识l学习目标l 掌握各种位置直线的投影（一般位置直线、投影面平行线、投影面垂直线、）；掌握求一般位置直线段的真长及对投影面的倾角；掌握求直线上点的方法。l相关知识链接l 2.1.2 正投影的基本特征；2.1.3
14、三面投影；2.2.1 点的三面投影及投影规律。2.2各种位置直线的投影 2023/2/14页面 38直线的投影直线的投影aa a b b b 两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。直线对一个投影面的投影特性直线对一个投影面的投影特性一、直线的投影特性一、直线的投影特性ABab直线垂直于投影面直线垂直于投影面投影重合为一点投影重合为一点 积聚性积聚性直线平行于投影面直线平行于投影面投影反映线段实长投影反映线段实长 ab=AB直线倾斜于投影面直线倾斜于投影面投影比空间线段短投影比空间线段短 ab=ABcosABabAMBabm2023/2/14页面 39 直线在三个投
15、影面中的投影特性直线在三个投影面中的投影特性投影面平行线投影面平行线平行于某一投影面而平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜与其余两投影面倾斜投影面垂直线投影面垂直线正平线（平行于面）正平线（平行于面）侧平线（平行于面）侧平线（平行于面）水平线（平行于面）水平线（平行于面）正垂线（垂直于面）正垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）一般位置直线一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面垂直于某一投影面2023/2/14页面 40一般位置直线一般位置直线（a）直观图 （b）投影图图2-
16、16 一般位置直线的投影 一般位置直线一般位置直线投影特性：投影特性：三个投影都缩短。三个投影都缩短。即即:都不反映空间线都不反映空间线段的实长及与三个投影段的实长及与三个投影面夹角的实大，且与三面夹角的实大，且与三根投影轴都倾斜。根投影轴都倾斜。abb a b a 投影面平行线投影面平行线 水平线的投影特性：水平线的投影特性：水平线的投影特性：水平线的投影特性：1.1.1.1.水平线的水平线的水平线的水平线的H H H H投影反映真长，真长投影与投影反映真长，真长投影与投影反映真长，真长投影与投影反映真长，真长投影与OXOXOXOX夹角为夹角为夹角为夹角为；与；与；与；与OYOYOYOY轴的
17、夹角为轴的夹角为轴的夹角为轴的夹角为；=0=0=0=0。2.2.2.2.水平线的水平线的水平线的水平线的V V V V投影投影投影投影 abOX abOX abOX abOX；W W W W投影投影投影投影 abOY abOY abOY abOY；abbaba 反映真长TLYHYWXZaaabBbAbZXY水平线水平线 正平线的投影特性：正平线的投影特性：正平线的投影特性：正平线的投影特性：1 1 1 1、正平线的、正平线的、正平线的、正平线的V V V V投影反映真长，真长投影与投影反映真长，真长投影与投影反映真长，真长投影与投影反映真长，真长投影与OXOXOXOX夹角为夹角为夹角为夹角为；
18、与与与与OZOZOZOZ轴的夹角为轴的夹角为轴的夹角为轴的夹角为;=0;=0;=0;=0。2 2 2 2、正平线的、正平线的、正平线的、正平线的H H H H投影投影投影投影 a bOX a bOX a bOX a bOX；W W W W投影投影投影投影 abOZ abOZ abOZ abOZ；abbaba反映真长TLYHYWXZabAabBabZXY正平线正平线abbaba反映真长TLYHYWXZabAabBabZXY 侧平线的投影特性：侧平线的投影特性：侧平线的投影特性：侧平线的投影特性：1.1.1.1.侧平线的侧平线的侧平线的侧平线的W W W W投影反映真长，真长投影与投影反映真长，真
19、长投影与投影反映真长，真长投影与投影反映真长，真长投影与OYOYOYOY夹角为夹角为夹角为夹角为；与；与；与；与OZOZOZOZ轴的夹角为轴的夹角为轴的夹角为轴的夹角为 ；=0=0=0=0。2.2.2.2.侧平线的侧平线的侧平线的侧平线的V V V V投影投影投影投影 abOZ abOZ abOZ abOZ；H H H H投影投影投影投影 a bOY a bOY a bOY a bOY；侧平线侧平线投影面垂直线投影面垂直线铅垂线铅垂线正垂线正垂线侧垂线侧垂线c(d)cdd c a b a(b)a b e f efe(f)2023/2/14页面 47 abbab(a)YHYWXZabA(a)bB
20、abZXY 铅垂线投影特性：铅垂线投影特性：铅垂线投影特性：铅垂线投影特性：1 1 1 1、铅垂线的、铅垂线的、铅垂线的、铅垂线的H H H H投影积聚为一点；投影积聚为一点；投影积聚为一点；投影积聚为一点；2 2 2 2、铅垂线的、铅垂线的、铅垂线的、铅垂线的V V V V、W W W W投影反映直线的真长，且平行于投影反映直线的真长，且平行于投影反映直线的真长，且平行于投影反映直线的真长，且平行于OZOZOZOZ轴。轴。轴。轴。铅垂线铅垂线2023/2/14页面 48 baa(b)baYHYWXZa(b)BbAabaZXY 正垂线投影特性：正垂线投影特性：正垂线投影特性：正垂线投影特性：1
21、 1 1 1、正垂线的、正垂线的、正垂线的、正垂线的V V V V投影积聚为一点；投影积聚为一点；投影积聚为一点；投影积聚为一点；2 2 2 2、正垂线的、正垂线的、正垂线的、正垂线的H H H H、W W W W投影反映直线的真长，且平行于投影反映直线的真长，且平行于投影反映直线的真长，且平行于投影反映直线的真长，且平行于OYOYOYOY轴。轴。轴。轴。正垂线正垂线2023/2/14页面 49 ab（b）abaYHYWXZabAabBa(b)ZXY 侧垂线投影特性：侧垂线投影特性：侧垂线投影特性：侧垂线投影特性：1 1 1 1、侧垂线的、侧垂线的、侧垂线的、侧垂线的W W W W投影积聚为一
22、点；投影积聚为一点；投影积聚为一点；投影积聚为一点；2 2 2 2、侧垂线的、侧垂线的、侧垂线的、侧垂线的V V V V、H H H H投影反映直线的真长，且平行于投影反映直线的真长，且平行于投影反映直线的真长，且平行于投影反映直线的真长，且平行于OXOXOXOX轴。轴。轴。轴。侧垂线侧垂线2023/2/14页面 50直线上的点直线上的点定比定理定比定理ABCa(b)EFDedf 直线上点的投影特性直线上点的投影特性直线上点的投影特性直线上点的投影特性:1 1 1 1、直线上点的投影必定位于直线的同面投影上。、直线上点的投影必定位于直线的同面投影上。、直线上点的投影必定位于直线的同面投影上。、
23、直线上点的投影必定位于直线的同面投影上。2 2 2 2、直线上的点分割直线为两段，则线段的空间之比等于、直线上的点分割直线为两段，则线段的空间之比等于、直线上的点分割直线为两段，则线段的空间之比等于、直线上的点分割直线为两段，则线段的空间之比等于它们的投影之比，即：它们的投影之比，即：它们的投影之比，即：它们的投影之比，即：ED:DF=e d:d f=ed:df=ed:dfED:DF=e d:d f=ed:df=ed:dfED:DF=e d:d f=ed:df=ed:dfED:DF=e d:d f=ed:df=ed:df(c)应用定比定理应用定比定理b另一判断法另一判断法?ababkkkabX
24、ZYHYWOK K 点点在在直直线线 AB AB 上上【例题】判定下题中，点【例题】判定下题中，点【例题】判定下题中，点【例题】判定下题中，点K K K K是否在直线是否在直线是否在直线是否在直线ABABABAB上？上？上？上？XYHYWZababkkabkK K点点不不在在直直线线ABAB上上O【例题】判断点【例题】判断点【例题】判断点【例题】判断点K K是否在直线是否在直线是否在直线是否在直线ABAB上。上。上。上。2023/2/14页面 53ababC c cXO【例题】试在直线【例题】试在直线【例题】试在直线【例题】试在直线ABAB上确定一点上确定一点上确定一点上确定一点C C，使使使
25、使AC:CB=2:3AC:CB=2:3，求，求，求，求C C点的两面投影。点的两面投影。点的两面投影。点的两面投影。2023/2/14页面 54例题例题 检验点检验点C和和D是否在直线是否在直线AB上上(d)检验方法二检验方法二(c)检验方法一检验方法一(a)(a)已知条件已知条件2023/2/14页面 55 求一般位置直线段的真长及对投影面的倾角求一般位置直线段的真长及对投影面的倾角l用直角三角形法求出一般位置直线段的真长及其对投影面的倾角。2023/2/14页面 56直角三角形法一般线的实长与倾角一般线的实长与倾角ABABABAB真长真长真长真长ABABABAB真长真长真长真长ababAB
26、abbabZXYaZZZZABABABAB量取量取量取量取Z Z Z ZABABABABYYYYABABABAB量取量取量取量取YYYYABABABAB 在直角三角形中，一条直角边为直线的投影长，另在直角三角形中，一条直角边为直线的投影长，另在直角三角形中，一条直角边为直线的投影长，另在直角三角形中，一条直角边为直线的投影长，另一条直角边为直线的坐标差，则斜边即为该直线的真长；一条直角边为直线的坐标差，则斜边即为该直线的真长；一条直角边为直线的坐标差，则斜边即为该直线的真长；一条直角边为直线的坐标差，则斜边即为该直线的真长；真长与投影长之间的夹角为直线与该投影面的倾角。真长与投影长之间的夹角为
27、直线与该投影面的倾角。真长与投影长之间的夹角为直线与该投影面的倾角。真长与投影长之间的夹角为直线与该投影面的倾角。真长（真长（真长（真长（TL)TL)TL)TL)坐标差Z、Y、XH、V、W投影长、直角三角形法直角三角形法ababXOZAB=ZABC C在AB上量取AC=25mmccBA【例题】试在直线【例题】试在直线【例题】试在直线【例题】试在直线ABAB上其一点上其一点上其一点上其一点 C C，使使使使AC=25 mmAC=25 mm，求点求点求点求点C C的投影。的投影。的投影。的投影。ababYAB量取YAB【例题】已知直线【例题】已知直线【例题】已知直线【例题】已知直线ABAB的的的的
28、V V投影，投影，投影，投影，且且且且=30=30，求，求，求，求ABAB的的的的H H投影。投影。投影。投影。2023/2/14页面 60两直线的相对位置两直线的相对位置两直线的两直线的两直线的两直线的相对位置相对位置相对位置相对位置两直线交叉两直线交叉两直线交叉两直线交叉两直线相交两直线相交两直线相交两直线相交两直线平行两直线平行两直线平行两直线平行2023/2/14页面 61 两直线平行的投影特性：两直线平行的投影特性：两直线平行的投影特性：两直线平行的投影特性：两直线平行，则两直线的同面投影相互平行。即两直线平行，则两直线的同面投影相互平行。即两直线平行，则两直线的同面投影相互平行。即
29、两直线平行，则两直线的同面投影相互平行。即ABCDABCDABCDABCD，则：则：则：则：abcd abcd abcd abcd；abcdabcdabcdabcd；abcd abcd abcd abcd。xobaadbbccxobaabdcdcABCD两直线平行两直线平行obxaabkcddckxoBDACKbbaaccddkk两直线相交的投影特性两直线相交的投影特性两直线相交的投影特性两直线相交的投影特性：两直线相交，则两直线的同面投影必定相交，且投影两直线相交，则两直线的同面投影必定相交，且投影两直线相交，则两直线的同面投影必定相交，且投影两直线相交，则两直线的同面投影必定相交，且投影的
30、交点符合点的投影规律。的交点符合点的投影规律。的交点符合点的投影规律。的交点符合点的投影规律。两直线相交两直线相交ObXaabcddc11(2)2XOBDACbbaaccdd211(2)21 两直线交叉的投影特性两直线交叉的投影特性两直线交叉的投影特性两直线交叉的投影特性：既不满足两直线平行的投影特性既不满足两直线平行的投影特性既不满足两直线平行的投影特性既不满足两直线平行的投影特性,也不满足两直线相也不满足两直线相也不满足两直线相也不满足两直线相交的投影特性，均属于两直线交叉交的投影特性，均属于两直线交叉交的投影特性，均属于两直线交叉交的投影特性，均属于两直线交叉.两直线交叉两直线交叉202
31、3/2/14页面 64 交叉两直线的投影交叉两直线的投影(a)(a)同面投影相交同面投影相交 (b)(b)同面投影平行同面投影平行交叉两直交叉两直线的同面线的同面投影的交投影的交点点(是各条是各条直线上的直线上的一个点构一个点构成的成的)称为称为重影点重影点。2023/2/14页面 65abcdc a b d 例例1：判断图中两条直线是否平行。：判断图中两条直线是否平行。对于一般位置对于一般位置直线，只要有两个同直线，只要有两个同名投影互相平行，空名投影互相平行，空间两直线就平行。间两直线就平行。AB/CDb d c a cbadd b a c 对于特殊位置直线，对于特殊位置直线，只有两个同名
32、投影互相只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行，空间直线不一定平行。平行。求出侧面投影后可知：求出侧面投影后可知：AB与与CD不平行。不平行。例例2：判断图中两条直线是否平行。：判断图中两条直线是否平行。求出侧面投影求出侧面投影如何判断？如何判断？cabb a c d k kd例：过例：过C点点作水平线作水平线CD与与AB相交。相交。先作正面投影先作正面投影2023/2/14页面 68d e f fecaabcd(b)(k)l lk作kle f 作klef【例题】作直线【例题】作直线【例题】作直线【例题】作直线KLKL与与与与ABAB、CDCD相相相相交，且平行于交，且平行于交，且平行于
33、交，且平行于EFEF直线。直线。直线。直线。2023/2/14页面 69两直线垂直相交（或垂直交叉）两直线垂直相交（或垂直交叉）直角的投影特性：直角的投影特性：若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面上的投影仍为直角。上的投影仍为直角。设设 直角边直角边BC/H面面因因 BC AB,同时同时BC Bb所以所以 BC ABba平面平面直线在直线在H面上的投影互面上的投影互相垂直相垂直即即 abc为直角为直角因此因此 bc ab故故 bc ABba平面平面又因又因 BC bcABCabcHa c b abc.证明：证明：2023/2/14页面 70OXbab
34、amnnmBHACcbaMNnm两直线交叉垂直两直线交叉垂直d abca b c d例：过例：过C点作直线与点作直线与AB垂直相交。垂直相交。AB为正平线为正平线,正面投影反映直正面投影反映直角。角。.2023/2/14页面 72kkababll垂线KL的实长ZKL【例题】求点【例题】求点【例题】求点【例题】求点K K到直线到直线到直线到直线ABAB的距离的距离的距离的距离 。ZKL三、判定两直线的相对位置（平行、相交、交叉）。（本大题共4小题，每小题1分，共4分）11._ 12._ 13._ 14._15._ 16._ 17._ 18._2023/2/14页面 76平面的投影知识平面的投影知
35、识 l学习目标l 掌握平面的表示方法；掌握各种位置平面的投影（一般位置平面、投影面平行面、投影面垂直面）；掌握平面上的直线和点（平面上的直线、平面上的点）的求法。l 相关知识链接l 2.1.2 正投影的基本特征；2.1.3 三面投影；2.2.1 点的三面投影及投影规律；2.3.1 各种位置直线的投影 2023/2/14页面 77平面的表示方法平面的表示方法一、一、平面的表示法平面的表示法abca b c 不在同一不在同一直线上的直线上的三个点三个点abca b c 直线及直线及线外一线外一点点abca b c dd 两平行直两平行直线线abca b c 两相交两相交直线直线abca b c 平
36、面平面图形图形二、平面的投影特性二、平面的投影特性平行平行垂直垂直倾斜倾斜投投 影影 特特 性性 平面平行投影面平面平行投影面-投影就把实形现投影就把实形现 平面垂直投影面平面垂直投影面-投影积聚成直投影积聚成直线线 平面倾斜投影面平面倾斜投影面-投影类似原平面投影类似原平面实形性实形性类似性类似性积聚性积聚性 平面对一个投影面的投影特性平面对一个投影面的投影特性平面平面平面平面一般位一般位一般位一般位置平面置平面置平面置平面 投影面投影面投影面投影面垂直面垂直面垂直面垂直面投影面投影面投影面投影面平行面平行面平行面平行面铅垂面铅垂面铅垂面铅垂面正垂面正垂面正垂面正垂面侧垂面侧垂面侧垂面侧垂面
37、水平面水平面水平面水平面正平面正平面正平面正平面侧平面侧平面侧平面侧平面对对H H、V V、W W面均倾斜面均倾斜二、平面对投影面的各种相对位置二、平面对投影面的各种相对位置HH面，对面，对V V、W W面均倾斜面均倾斜VV面，对面，对H H、W W面均倾斜面均倾斜WW面，对面，对H H、V V面均倾斜面均倾斜HH面，面，VV面，面，WW面面VV面，面，HH面，面，WW面面WW面，面，HH面，面，VV面面2023/2/14页面 80XZY 一般位置平面的投影特性一般位置平面的投影特性:1 1、abc abc、a ab bc c和和 a ab bc c均为均为 ABCABC的类似形。的类似形。2
38、 2、不反映、不反映 、的真实角度的真实角度 。a cbaca b b CABYWZXa b b oYHa c c bac一般位置平面一般位置平面2023/2/14页面 81xzYVWHO 水平面的投影特性：水平面的投影特性：1 1、a ab bc c、a ab bc c积聚为一条线，具有积聚性。积聚为一条线，具有积聚性。2 2、水平投影、水平投影 abc abc 反映反映 ABC ABC实形。实形。CABcaabbacbc投影面平行面投影面平行面水平水平面面zcYWXa b b baoYHa c c 正平面的投影特性：正平面的投影特性：正平面的投影特性：正平面的投影特性：1 1、abc ab
39、c、a ab bc c积聚为一条线，具有积聚性。积聚为一条线，具有积聚性。2 2、正平面投影、正平面投影 a ab bc c反映反映 ABC ABC实形实形 。XzYVWHO投影面平行面投影面平行面正平面正平面bacabcbcaCBAc YWabb oYHa c bcaXZXzYVWHOc侧平面的投影特性：侧平面的投影特性：1 1、abc abc、a ab bc c积聚为一条线，具有积聚性；积聚为一条线，具有积聚性；2 2、侧平面投影、侧平面投影 a ab bc c反映反映 ABC ABC实形实形 。投影面平行面投影面平行面侧平面侧平面bbcacabaCBA YWabbboYHacccaXZ铅
40、垂面的投影特性：铅垂面的投影特性：1 1、平面的水平投影、平面的水平投影abcabc积聚为一条线，积聚线与积聚为一条线，积聚线与OXOX、OYOY夹角夹角反映反映了平面与了平面与V V、W W面的面的、角，其角，其=90=90；2 2、a ab bc c和和 a ab bc c为为 ABCABC的类似形的类似形;a b a b baozYHYWcc c XxYVWHozPPHABCacb投影面垂直面投影面垂直面铅垂铅垂面面正垂面的投影特性：正垂面的投影特性：正垂面的投影特性：正垂面的投影特性：1 1、平面的正面投影、平面的正面投影a ab bc c积聚为一条线积聚为一条线 ；积聚线与；积聚线与
41、OXOX、OZOZ夹角夹角反映了平面反映了平面与与H H、W W的的、角，其角，其=90=90 。2 2、abcabc、a ab bc c 为为 ABCABC的类似形的类似形;zxa b a b baoYHYWc c cXzYVWHoQVAc Ca b B投影面垂直面投影面垂直面正垂正垂面面 侧垂面的投影特性：侧垂面的投影特性：侧垂面的投影特性：侧垂面的投影特性：1、平面的侧面投影a ab bc c积聚为一条线；积聚线与OY、OZ的夹角反映平面的、角，其=90；2、abcabc、a ab bc c为 ABC的类似形；XzYVWHOSHSBCa b Ac 投影面垂直面投影面垂直面侧垂侧垂面面YW
42、Xab b baoYHa cc c Z一框两线平行面，直线竖或横。一框两线平行面，直线竖或横。三框无线一般面，位置最分明。三框无线一般面，位置最分明。特点记忆两框一线垂直面，斜线积聚成。两框一线垂直面，斜线积聚成。例：判断立体图中各平面的空间位置。例：判断立体图中各平面的空间位置。A为 面B为 面C为 面D为 面E为 面侧垂一般位置平 正垂水平侧平a c b c a abcb 例例：正垂面：正垂面ABCABC与与H H面的夹角为面的夹角为4545，已知其水平投影，已知其水平投影 及顶点及顶点B B的正面投影，求的正面投影，求ABCABC的正面投影及侧面的正面投影及侧面 投影。投影。45edce
43、aba b cd【例题】已知平面四边形【例题】已知平面四边形【例题】已知平面四边形【例题】已知平面四边形ABCDABCDABCDABCD，其中，其中，其中，其中DCDCDCDC为正平线，试完成为正平线，试完成为正平线，试完成为正平线，试完成平面四边形的水平投影投影。平面四边形的水平投影投影。平面四边形的水平投影投影。平面四边形的水平投影投影。2023/2/14页面 91平面上的直线和点平面上的直线和点判断直线在平面判断直线在平面内的方法内的方法 定定 理理 一一若一直线过平面若一直线过平面上的两点，则此上的两点，则此直线必在该平面直线必在该平面内。内。定定 理理 二二若一直线过平面上的若一直线
44、过平面上的一点，且平行于该平一点，且平行于该平面上的另一直线，则面上的另一直线，则此直线在该平面内。此直线在该平面内。平面上取任意直线平面上取任意直线abcb c a abcb c a d mnn m d例例1：已知平面由直线：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任所确定，试在平面内任作一条直线。作一条直线。解法一解法一解法二解法二根据定理二根据定理二根据定理一根据定理一有多少解？有多少解？有无数解。有无数解。aa bb cc dd efe f kl不不 在在l k【例题】判定点【例题】判定点【例题】判定点【例题】判定点EFEFEFEF是否在平面是否在平面是否在平面是否在平面ABCDAB
45、CDABCDABCD上？上？上？上？例例2：在平面：在平面ABC内作一条水平线，使其到内作一条水平线，使其到 H面的距面的距 离为离为10mm。n m nm10c a b cab 唯一解！唯一解！有多少解？有多少解？先找出过此点而又在平面内的一条直线作先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。例例1：已知：已知K点在平面点在平面ABC上，求上，求K点的水平投影。点的水平投影。bacc a k b k 面上取点的方法：面上取点的方法：首先面上取线首先面上取线abca b k c d kd利用平面的积聚性求解利用平面的积聚性
46、求解通过在面内作辅助线求解通过在面内作辅助线求解 平面上的点平面上的点abcabckkeeK K点不在点不在ABCABC上上【例题【例题【例题【例题1 1 1 1】判定点】判定点】判定点】判定点K K K K是否在平面是否在平面是否在平面是否在平面ABCABCABCABC上？上？上？上？2023/2/14页面 97例题：点例题：点K 在平面在平面ABC 上并且已知上并且已知K的正面投影的正面投影k，试作出试作出K 点的水平投影点的水平投影k。abcb c a 2525kk 1 2 12【例题】试在平面【例题】试在平面【例题】试在平面【例题】试在平面ABCABCABCABC上确定一点上确定一点上
47、确定一点上确定一点K K K K，使点，使点，使点，使点K K K K到到到到V V V V、H H H H投影投影投影投影 面的距离均为面的距离均为面的距离均为面的距离均为25mm25mm25mm25mm。bckada d b c ada d b c k bc例：已知例：已知AC为正平线，补全平行四边形为正平线，补全平行四边形 ABCD的水平投影。的水平投影。解法一解法一解法二解法二2023/2/14页面 100例题：在平面例题：在平面ABC 上作出属于平面内的一条水平线和上作出属于平面内的一条水平线和一条正平线一条正平线。n a c b m abcmn例：过例：过M点作直线点作直线MN平行
48、于平面平行于平面ABC。有无数解有无数解有多少解？有多少解？正平线正平线例例2：过：过M点作直线点作直线MN平行于平行于V面和平面面和平面 ABC。c b a m abcmn唯一解唯一解n HA AB BK klLP1abAB P KL PAB/H KL AB 平面内垂直于该平面的投影面平行线的直线，称为平面的最大斜度线KL为平面内对H面的最大斜度线平面的最大斜度线（最大坡度线）kl ab(直角投影定理）KL与H面的倾角即为平面P与H面的倾角 KL 是平面内对H面倾角最大的直线HA AB BK klLP1ab投影特性例1：求平面ABC对H面和V面的倾角,。mmcabcabH面最大斜度线ZADadddV面最大斜度线eeYAEae