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1、数学建模稳定性模型第1页，本讲稿共32页稳定性模型稳定性模型 对象仍是动态过程，而建模目的是研究时间对象仍是动态过程，而建模目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势充分长以后过程的变化趋势 平衡状态是平衡状态是否稳定。否稳定。不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。论研究平衡状态的稳定性。第2页，本讲稿共32页6.1 捕鱼业的持续收获捕鱼业的持续收获 再生资源（渔业、林业等）与再生资源（渔业、林业等）与非再生资源（矿业等）非再生资源（矿业等）再生资源应适度开发再生资源应适度开发在持续稳产前提在持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益。下实现
2、最大产量或最佳效益。问题及问题及 分析分析 在在捕捞量稳定捕捞量稳定的条件下，如何控制的条件下，如何控制捕捞使产量最大或效益最佳。捕捞使产量最大或效益最佳。如果使捕捞量等于自然增长量，如果使捕捞量等于自然增长量，渔场渔场鱼量将保持不变鱼量将保持不变，则捕捞量稳定。，则捕捞量稳定。背景背景第3页，本讲稿共32页产量模型产量模型假设假设 无捕捞时鱼的自然增长服从无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic规律规律 单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比建模建模 捕捞情况下渔捕捞情况下渔场鱼量满足场鱼量满足 不需要求解不需要求解x(t),只需知道只需知道x(t)稳定的条件稳定的条
3、件r固有增长率固有增长率,N最大鱼量最大鱼量h(x)=Ex,E捕捞强度捕捞强度x(t)渔场鱼量渔场鱼量第4页，本讲稿共32页一阶微分方程的平衡点及其稳定性一阶微分方程的平衡点及其稳定性一阶非线性（自治）方程一阶非线性（自治）方程F(x)=0的根的根x0 微分方程的微分方程的平衡点平衡点设设x(t)是方程的解，若从是方程的解，若从x0 某邻域的任一初值出发，某邻域的任一初值出发，都有都有称称x0是方程是方程(1)的的稳定平衡点稳定平衡点不求不求x(t),判断判断x0稳定性的方法稳定性的方法直接法直接法(1)的近似线性方程的近似线性方程第5页，本讲稿共32页产量模型产量模型平衡点平衡点稳定性判断稳
4、定性判断x0 稳定稳定,可得到稳定产量可得到稳定产量x1 稳定稳定,渔场干枯渔场干枯E捕捞强度捕捞强度r固有增长率固有增长率第6页，本讲稿共32页平衡点及其稳定性平衡点及其稳定性6.2 微分方程组的稳定性理论微分方程组的稳定性理论1.线性常系数线性常系数微分方程组微分方程组平衡点平衡点P0(x0,y0)=(0,0)代数方代数方程程的根的根若从若从P0某邻域的任一初值出发，都有某邻域的任一初值出发，都有称称P0是微分方程的是微分方程的稳定平衡点稳定平衡点第7页，本讲稿共32页记系数矩阵记系数矩阵特征方程特征方程特征根特征根微分方程一般解形式微分方程一般解形式平衡点平衡点 P0(0,0)稳稳定定平
5、衡点平衡点 P0(0,0)不稳不稳定定 1,2为负数或有负实部为负数或有负实部p 0 且且 q 0p 0 或或 q 0 且且 q 0平衡点平衡点 P0不稳定不稳定(对对2,1)p 0 或或 q 1,11,P1,P2 是一个种群存活而另一灭绝的平衡点是一个种群存活而另一灭绝的平衡点P3 是两种群共存的平衡点是两种群共存的平衡点 11,21P1稳定的条件稳定的条件 11?11 21,11P1,P2都不都不(只是局部只是局部)稳定稳定0(3)11,21,21,21加上与加上与(4)相区别的相区别的 11 P2 稳定稳定 P3 稳定稳定P1全局稳定全局稳定第16页，本讲稿共32页结果解释结果解释对于消
6、耗甲的资源而言，对于消耗甲的资源而言，乙乙(相对于相对于N2)是甲是甲(相对相对于于N1)的的 1 倍。倍。对甲增长的阻滞对甲增长的阻滞作用，乙小于甲作用，乙小于甲乙的竞争力弱乙的竞争力弱 P1稳定的条件：稳定的条件：11 21 甲的竞争力强甲的竞争力强甲达到最大容量，乙灭绝甲达到最大容量，乙灭绝 P2稳定的条件：稳定的条件：11,21 P3稳定的条件：稳定的条件：11,21通常通常 1 1/2，P3稳定条件不满足稳定条件不满足第17页，本讲稿共32页6.4 种群的相互依存种群的相互依存甲乙两甲乙两种群的相互依存有三种形式种群的相互依存有三种形式1)甲可以独自生存，乙不能独自生存；甲乙一甲可以
7、独自生存，乙不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。起生存时相互提供食物、促进增长。2)甲乙均可以独自生存；甲乙一起生存甲乙均可以独自生存；甲乙一起生存 时相时相互提供食物、促进增长。互提供食物、促进增长。3)甲乙均不能独自生存；甲乙一起生存时甲乙均不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。相互提供食物、促进增长。第18页，本讲稿共32页模型模型假设假设 甲可以独自生存，数量变化服从甲可以独自生存，数量变化服从Logistic规律规律;甲甲乙一起生存时乙为甲提供食物、促进增长。乙一起生存时乙为甲提供食物、促进增长。乙不能独自生存；甲乙一起生存时甲为乙提供食物、乙不能独自生
8、存；甲乙一起生存时甲为乙提供食物、促进增长；乙的增长又受到本身的阻滞作用促进增长；乙的增长又受到本身的阻滞作用(服从服从Logistic规律规律)。模型模型乙为甲提供食物乙为甲提供食物是甲消耗的是甲消耗的 1 倍倍甲为乙提供食物甲为乙提供食物是乙消耗的是乙消耗的 2 倍倍第19页，本讲稿共32页种群依存模型的平衡点及稳定性种群依存模型的平衡点及稳定性P2是甲乙相互依存而共生的平衡点是甲乙相互依存而共生的平衡点稳定条件稳定条件不稳定不稳定平衡点平衡点第20页，本讲稿共32页平衡点平衡点P2稳定稳定性的相轨线性的相轨线0 11,1 21 P2稳定稳定第21页，本讲稿共32页 1 21 前提下前提下
9、P2存在的必要条件存在的必要条件结果结果解释解释 21 甲必须为乙提供足够的食物甲必须为乙提供足够的食物甲甲为乙提供的食物是乙消耗的为乙提供的食物是乙消耗的 2 倍倍 11,1 21条件下使条件下使 1 21 成立成立 P2稳定条件：稳定条件：11,1 2 0P:中心中心 不稳定不稳定 q 0P 不稳定不稳定 第27页，本讲稿共32页T2T3T4T1P初值初值1.相轨线的方向相轨线的方向用相轨线分析用相轨线分析 点稳定性点稳定性第28页，本讲稿共32页T2T3T4T1PT1 T2 T3 T4x(t)的的“相位相位”领先领先 y(t)相轨线相轨线是封闭曲线是封闭曲线x(t),y(t)是周期函数是
10、周期函数(周期记周期记 T)第29页，本讲稿共32页求求x(t),y(t)在一周期的平均值在一周期的平均值轨线轨线中心中心第30页，本讲稿共32页模型解释模型解释r 食饵增长率食饵增长率d 捕食者死亡率捕食者死亡率b 食饵供养捕食者能力食饵供养捕食者能力捕食者捕食者 数量数量食饵食饵数量数量Pr/ad/ba 捕食者掠取食饵能力捕食者掠取食饵能力捕食者数量与捕食者数量与r成正比成正比,与与a成反比成反比食饵食饵数量与数量与d成正比成正比,与与b成反比成反比第31页，本讲稿共32页模型模型解释解释一次大战期间地中海渔业的捕捞量下降，但是其一次大战期间地中海渔业的捕捞量下降，但是其中中鲨鱼的比例却在增加，为什么？鲨鱼的比例却在增加，为什么？rr-1,dd+1加入人工捕捞加入人工捕捞战时战时捕捞捕捞rr-2,dd+2,2 1xy食饵食饵(鱼鱼)减少，减少，捕食者捕食者(鲨鱼鲨鱼)增加增加自然环境自然环境 还表明：对还表明：对害虫害虫(食饵食饵)益虫益虫(捕食者捕食者)系统，系统，使用灭两种使用灭两种虫的虫的杀虫剂杀虫剂,会使害虫增加，益虫减少。会使害虫增加，益虫减少。第32页，本讲稿共32页