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1、柱体体积=底面积 高特点特点：平顶.柱体体积=？特点特点：曲顶.曲顶柱体的体积一、问题的提出第1页/共199页播放播放 求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示第2页/共199页步骤如下：用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，曲顶柱体的体积第3页/共199页求平面薄片的质量将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似看作均匀薄片，所有小块质量之和近似等于薄片总质量第4页/共199页二、二重积分的概念第5页/共199页积积分分区区域域积积分分和和被被积积函函数数积积分分变变量量被被积积表表达达式式面面积积元元素素第6页/共199
2、页对二重积分定义的说明：对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值第7页/共199页 在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，故二重积分可写为D D则面积元素为第8页/共199页性质性质当当 为常数时为常数时，性质性质（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质第9页/共199页性质性质对区域具有可加性对区域具有可加性性质性质 若若 为为D的面积，的面积，性质性质 若在若在D上上特殊地特殊地则有则有第10页/共199页性质性质性质性质（二重积分中值定理）（二重积分中值定理）（二
3、重积分估值不等式）（二重积分估值不等式）第11页/共199页解解第12页/共199页解解第13页/共199页解解第14页/共199页解解第15页/共199页二重积分的定义二重积分的定义二重积分的性质二重积分的性质二重积分的几何意义二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（和式的极限）四、小结第16页/共199页思考题思考题 将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处.第17页/共199页 定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面
4、区域上的二元函数思考题解答思考题解答第18页/共199页练练 习习 题题第19页/共199页第20页/共199页第21页/共199页练习题答案练习题答案第22页/共199页第二节 二重积分的计算法（1）一、利用直角坐标系计算二重积分二、小结 思考题第29页/共199页如果积分区域为：其中函数 、在区间 上连续.一、利用直角坐标系计算二重积分X型第30页/共199页应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得第31页/共199页如果积分区域为：Y型第32页/共199页 X型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y型区域的特点型区域的特点：穿过区域
5、且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，在分割后的三个区域上分别使用积分公式则必须分割.第33页/共199页解解积分区域如图第34页/共199页解解积分区域如图第35页/共199页解解原式第36页/共199页解解第37页/共199页解解第38页/共199页解解第39页/共199页解解 曲面围成的立体如图.第40页/共199页第41页/共199页二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序积分次序）二、小结Y型X型第42页/共199页思考题思考题第43页/共199页思考题解答思考题解答第44页/共199页第45页/共199页练练 习习 题题第46页/共199页第
6、47页/共199页第48页/共199页第49页/共199页练习题答案练习题答案第50页/共199页第51页/共199页第三节 二重积分的计算法（2）一、利用极坐标系计算二重积分二、小结 思考题第52页/共199页一、利用极坐标系计算二重积分第53页/共199页二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图第54页/共199页区域特征如图第55页/共199页二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图第56页/共199页极坐标系下区域的面积二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图第57页/共199页解解第58页
7、/共199页解解第59页/共199页解解第60页/共199页第61页/共199页第62页/共199页解解第63页/共199页解解第64页/共199页解解第65页/共199页第66页/共199页二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用对称性）二、小结第67页/共199页思考题思考题第68页/共199页思考题解答思考题解答第69页/共199页练练 习习 题题第70页/共199页第71页/共199页第72页/共199页练习题答案练习题答案第73页/共199页第74页/共199页第四节 二重积分的计算法（3）一、二重积分的换元法二、小结 思考题第75页/共199页 一、二重积分的换元法第76页/
8、共199页第77页/共199页例例1 1解解第78页/共199页第79页/共199页例例2 2解解第80页/共199页第81页/共199页 二、小结基本要求基本要求:变换后定限简便，求积容易第82页/共199页思考题思考题第83页/共199页思考题解答思考题解答第84页/共199页第85页/共199页练练 习习 题题第86页/共199页练习题答案练习题答案第87页/共199页第五节 二重积分的应用一、问题的提出二、曲面的面积三、平面薄片的重心四、平面薄片的转动惯量五、平面薄片对质点的引力六、小结 思考题第88页/共199页一、问题的提出把定积分的元素法推广到二重积分的应用中把定积分的元素法推广
9、到二重积分的应用中.若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性(即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应地分成许多部分量，且U等于部分量之和)，并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域 时，相应地部分量可近似地表示为 的形式，其中 在 内这个 称为所求量U的元素元素，记为 ，所求量的积分表达式为第89页/共199页二、曲面的面积卫星第90页/共199页设曲面的方程为：如图，第91页/共199页曲面S的面积元素曲面面积公式为：第92页/共199页设曲面的方程为：曲面面积公式为：设曲面的方程为：曲面面积公式为：同理可得第93页/共199页解解第94页/共199页第95页/共199页解解解方程组得
10、两曲面的交线为圆周在 平面上的投影域为第96页/共199页第97页/共199页三、平面薄片的重心第98页/共199页当薄片是均匀的，重心称为形心形心.由元素法第99页/共199页解解第100页/共199页第101页/共199页四、平面薄片的转动惯量第102页/共199页薄片对于 轴的转动惯量薄片对于 轴的转动惯量第103页/共199页解解第104页/共199页第105页/共199页解解第106页/共199页第107页/共199页薄片对 轴上单位质点的引力为引力常数五、平面薄片对质点的引力第108页/共199页解解由积分区域的对称性知第109页/共199页所求引力为第110页/共199页几何应用
11、：曲面的面积物理应用：重心、转动惯量、对质点的引力（注意审题，熟悉相关物理知识）六、小结第111页/共199页思考题思考题第112页/共199页薄片关于 轴对称思考题解答思考题解答第113页/共199页练练 习习 题题第114页/共199页第115页/共199页练习题答案练习题答案第116页/共199页第六节 三重积分一、三重积分的定义二、三重积分的计算三、小结 思考题第117页/共199页第118页/共199页直角坐标系中将三重积分化为三次积分二、三重积分的计算如图，第119页/共199页得第120页/共199页注意注意第121页/共199页解解第122页/共199页第123页/共199页解
12、解如图，第124页/共199页解解第125页/共199页第126页/共199页第127页/共199页第128页/共199页第129页/共199页解解第130页/共199页原式第131页/共199页解解如图,第132页/共199页第133页/共199页三重积分的定义和计算在直角坐标系下的体积元素（计算时将三重积分化为三次积分）三、小结第134页/共199页思考题思考题选择题:第135页/共199页第136页/共199页练练 习习 题题第137页/共199页第138页/共199页第139页/共199页练习题答案练习题答案第140页/共199页第141页/共199页第七节 三重积分的计算一、利用柱面
13、坐标计算三重积分二、利用球面坐标计算三重积分三、小结 思考题第142页/共199页一、利用柱面坐标计算三重积分规定：第143页/共199页 柱面坐标与直角坐标的关系为如图，三坐标面分别为圆柱面；半平面；平 面第144页/共199页如图，柱面坐标系中的体积元素为第145页/共199页解解知交线为第146页/共199页第147页/共199页解解所围成的立体如图，第148页/共199页所围成立体的投影区域如图，第149页/共199页第150页/共199页二、利用球面坐标计算三重积分第151页/共199页规定：如图，三坐标面分别为圆锥面；球 面；半平面第152页/共199页球面坐标与直角坐标的关系为如
14、图，第153页/共199页球面坐标系中的体积元素为如图，第154页/共199页第155页/共199页第156页/共199页第157页/共199页解解第158页/共199页第159页/共199页补充：利用对称性化简三重积分计算补充：利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：、积分区域关于坐标面的对称性；、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性第160页/共199页解解积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是 的奇函数,第161页/共199页解解第162页/共199页第163页/共199页第164页/共199页（1）柱面坐标的体积元素（2）球面坐标的体积元素（3）对称性简化运算三重积分换元
15、法柱面坐标柱面坐标球面坐标球面坐标三、小结第165页/共199页思考题思考题第166页/共199页练练 习习 题题第167页/共199页第168页/共199页第169页/共199页第170页/共199页练习题答案练习题答案第171页/共199页第172页/共199页第173页/共199页第八节 含参变量的积分一、含参变量积分的连续性二、含参变量的函数的微分三、莱布尼茨公式四、小结 思考题第174页/共199页一、含参变量积分的连续性是变量 在 上的一个一元连续函数,设函数 是在矩形 上的连续函数.在 上任意确定 的一个值,于是从而积分存在,这个积分的值依赖于取定的 值.当 的值改变时,一般来说
16、这个积分的值也跟着改变.这个积分确定一个定义在上的 的函数,我们把它记作即第175页/共199页定理定理1 1 如果函数如果函数 在矩形在矩形 上连续，那么由积分上连续，那么由积分确定的函数确定的函数 在在 上也连续上也连续.证证设 和 是 上的两点，则这里变量 在积分过程中是一个常量，通常称它为参变量参变量.第176页/共199页由于 在闭区域 上连续，从而一致连续.因此对于任意取定的 ,存在 ,使得对于 内的任意两点 及 ,只要它们之间的距离小于 ,即就有因为点 与 的距离等于 ,所以当 时,就有于是由（1）式有第177页/共199页所以 在 上连续.定理得证注注 既然函数 在 上连续,那
17、么它在 上的积分存在,这个积分可以写为右端积分式函数 先对 后对 的二次积分.第178页/共199页定理定理2 2 如果函数如果函数 在矩形在矩形上连续上连续,则则公式（2）也可写成第179页/共199页 我们在实际中还会遇到对于参变量 的不同的值，积分限也不同的情形，这时积分限也是参变量 的函数.这样,积分也是参变量 的函数.下面我们考虑这种更为广泛地依赖于参变量的积分的某些性质.第180页/共199页定理定理3 3 如果函数如果函数 在矩形在矩形上连续，又函数上连续，又函数 与与 在区间在区间 上连续，上连续，并且并且则由积分（则由积分（3 3）确定的函数）确定的函数 在在 上也连续上也连
18、续.证证设 和 是 上的两点，则第181页/共199页当 时，上式右端最后一个积分的积分限不变，第182页/共199页根据证明定理1时同样的理由，这个积分趋于零.又其中 是 在矩形 上的最大值.根据 与 在 上连续的假定，由以上两式可见，当 时，（4）式右端的前两个积分都趋于零.于是，当 时，所以函数 在 上连续.定理得证第183页/共199页下面考虑由积分(*)确定的函数 的微分问题.定理定理4 4 如果函数如果函数 及其偏导数及其偏导数 都在都在矩形矩形 上连续上连续,那么由积分那么由积分(1)(1)确定的函数确定的函数 在在 上可微分上可微分,并且并且二、含参变量的函数的微分第184页/
19、共199页证证因为为了求 ，先利用公式(1)作出增量之比由拉格朗日中值定理，以及 的一致连续性，我们有第185页/共199页其中 ，可小于任意给定的正数 ，只要 小于某个正数 .因此这就是说综上所述有令 取上式的极限，即得公式（5）.第186页/共199页定理定理5 5 如果函数如果函数 及其偏导数及其偏导数 都在都在则由积分则由积分(3)(3)确定的函数确定的函数 在在 上可微，并且上可微，并且矩形上矩形上 连续，又函数连续，又函数 与与 在区间在区间 上可微，并且上可微，并且三、莱布尼茨公式第187页/共199页证证由(4)式有 当 时，上式右端的第一个积分的积分限不变，则第188页/共1
20、99页对于(8)右端的第二项，应用积分中值定理得其中 在 与 之间.当 时,第189页/共199页类似地可证,当 时,因此，令 ，取(8)式的极限便得公式(7).公式(7)称为莱布尼茨公式莱布尼茨公式.于是第190页/共199页应用莱布尼茨公式，得例例1 1设求解解第191页/共199页例例2 2 求解解 这里函数 在矩形上连续，根据定理2，可交换积分次序，由此有第192页/共199页例例3 3 计算定积分 考虑含参变量 的积分所确定的函数显然，根据公式(5)得解解第193页/共199页把被积函数分解为部分分式,得到于是第194页/共199页上式在 上对 积分,得到即从而第195页/共199页1、含参变量的积分所确定的函数的定义；四、小结2、含参变量的积分所确定的函数的连续性；3、含参变量的积分所确定的函数的微分；4、莱布尼茨公式及其应用.第196页/共199页练习题练习题第197页/共199页练习题答案练习题答案第198页/共199页感谢您的观看。第199页/共199页