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1、高斯教育学科教师辅导讲义学员姓名：年 级：辅导科目：学科教师：五块石1上课时间授课主题第05讲 二次函数与三角形综合（一）知识图谱错题回顾顾题回顾二次函数与三角形综合（一）知识精讲一、二次函数与等腰三角形二次函数与等腰三角形问题主要考查数形结合思想和综合分析问题的能力，这类问题主要是以一点（或以一条线段）为依托，动点和函数思想相结合的几何图形为背景，动点为元素，构造动态型几何问题本类题型考察的方向有两个；考查“分类讨论”的基本思想；考查“函数与方程的思想”分类讨论主要讨论谁为腰谁为底，然后利用两腰相等通过勾股定理建立方程解决此类问题的本质思路：两圆一线二、二次函数与直角三角形解决二次函数中直角
2、三角形存在性问题的方法：1找点：在已知两定点，确定第三点构成直角三角形时，要么以两定点为直角顶点，要么以动点为直角顶点；以定点为直角顶点时，构造两条直线与已知直线垂直；以动点为直角顶点时，以已知线段为直径构造圆找点2求解方法：以两定点为直角顶点时，两直线互相垂直，则 或者构造相似求解；以已知线段为斜边时，利用K型图，构造双垂直模型，最后利用相似求解，或者三边分别表示之后，利用勾股定理求解本类题型考察的方向有两个；考查“分类讨论”的基本思想；考查“勾股定理”解决此类问题的本质：两线一圆三点剖析一考点：二次函数与等腰三角形，二次函数与直角三角形二重难点：二次函数与等腰三角形，二次函数与直角三角形三
3、易错点：1分类讨论不全面导致漏解；2用点的坐标表示线段长度时未注意线段长度的非负性；3求出动点坐标之后一定要注意验证是否符合题目要求，合理取舍一考点：二次函数与等腰三角形，二次函数与直角三角形二重难点：二次函数与等腰三角形，二次函数与直角三角形三易错点：1分类讨论不全面导致漏解；2用点的坐标表示线段长度时未注意线段长度的非负性；3求出动点坐标之后一定要注意验证是否符合题目要求，合理取舍题模精讲题模一：二次函数与等腰三角形综合例1.1.1如图，抛物线y=ax2+bx5与x轴相交于A（1，0），B（5，0），与y轴相交于点C，对称轴与x轴相交于点MP是抛物线上一个动点（点P、M、C不在同一条直线上
4、），分别过点A、B作ADCP，BECP，垂足分别为点D、E，连接MD、ME（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在第一象限内，使SPAB=SPAC，求点P的坐标；（3）点P在运动过程中，MDE能否为等腰直角三角形？若能，求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由【答案】（1）y=x2+6x5（2）（4，3）（3）MDE能成为等腰直角三角形，（，）【解析】（1）将点A、B的坐标代入得：，解得：a=1，b=6，抛物线的解析式为y=x2+6x5（2）如图1所示：记PC与x轴的交点为F令x=0，得y=5，C（0，5）设直线PC的解析式为y=kx5，点P的坐标为（a，a2+6a5）将点P的坐标代入PC的解析式
5、得：ka=a2+6a5解得：a=0（舍去），k=6a直线PC的解析式为y=（6a）x5令y=0得：（6a）x5=0解得：x=点F的坐标（，0）SPAB=SPAC，（1）（a2+6a5+5）=（a2+6a5）解得：整理得：a25a+4=0解得：a=1（舍去），a=4当a=4时，a2+6a5=16+245=3点P的坐标为（4，3）（3）抛物线解析式为y=x2+6x5，对称轴是直线x=3M（3，0）当MED=90时，点E，B，M在一条直线上，此种情况不成立；同理：当MDE=90时，不成立；当DME=90时，如图2所示：设直线PC与对称轴交于点N，EMDM，MNAM，EMN=DMAMDE=45，EDA
6、=90，MDA=135MED=45，NEM=135ADM=NEM=135在ADM与NEM中， ，ADMNEM（ASA）MN=MAMN=MA=2，N（3，2）设直线PC解析式为y=kx+b，将点N（3，2），C（0，5）代入直线的解析式得；，解得： 直线PC的解析式为y=x5将y=x5代入抛物线解析式得：x5=x2+6x5，解得：x=0或x=，当x=0时，交点为点C；当x=时，y=x5=P（，）综上所述，MDE能成为等腰直角三角形，此时点P坐标为（，）例1.1.2在平面直角坐标系中，抛物线y=x22x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D（1）请直接写出点A，C，D的
7、坐标；（2）如图（1），在x轴上找一点E，使得CDE的周长最小，求点E的坐标；（3）如图（2），F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得AFP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由【答案】（1）顶点D（1，4）（2）当CDE的周长最小，点E的坐标为（，0）（3）在抛物线上存在点P，使得AFP为等腰直角三角形，点P的坐标为（2，5）或（1，0）【解析】（1）令抛物线解析式中y=0，解关于x的一元二次方程即可得出点A、B的坐标，再令抛物线解析式中x=0求出y值即可得出点C坐标，利用配方法将抛物线解析式配方即可找出顶点D的坐标；（2）作点C关于x轴对称的点C，连接C
8、D交x轴于点E，此时CDE的周长最小，由点C的坐标可找出点C的坐标，根据点C、D的坐标利用待定系数法即可求出直线CD的解析式，令其y=0求出x值，即可得出点E的坐标；（3）根据点A、C的坐标利用待定系数法求出直线AC的解析式，假设存在，设点F（m，m+3），分PAF=90、AFP=90和APF=90三种情况考虑根据等腰直角三角形的性质结合点A、F点的坐标找出点P的坐标，将其代入抛物线解析式中即可得出关于m的一元二次方程，解方程求出m值，再代入点P坐标中即可得出结论解：（1）当y=x22x+3中y=0时，有x22x+3=0，解得：x1=3，x2=1，A在B的左侧，A（3，0），B（1，0）当y=
9、x22x+3中x=0时，则y=3，C（0，3）y=x22x+3=（x+1）2+4，顶点D（1，4）（2）作点C关于x轴对称的点C，连接CD交x轴于点E，此时CDE的周长最小，如图1所示C（0，3），C（0，3）设直线CD的解析式为y=kx+b，则有，解得：，直线CD的解析式为y=7x3，当y=7x3中y=0时，x=，当CDE的周长最小，点E的坐标为（，0）（3）设直线AC的解析式为y=ax+c，则有，解得：，直线AC的解析式为y=x+3假设存在，设点F（m，m+3），AFP为等腰直角三角形分三种情况（如图2所示）：当PAF=90时，P（m，m3），点P在抛物线y=x22x+3上，m3=m22m
10、+3，解得：m1=3（舍去），m2=2，此时点P的坐标为（2，5）；当AFP=90时，P（2m+3，0）点P在抛物线y=x22x+3上，0=（2m+3）22（2m+3）+3，解得：m3=3（舍去），m4=1，此时点P的坐标为（1，0）；当APF=90时，P（m，0），点P在抛物线y=x22x+3上，0=m22m+3，解得：m5=3（舍去），m6=1，此时点P的坐标为（1，0）综上可知：在抛物线上存在点P，使得AFP为等腰直角三角形，点P的坐标为（2，5）或（1，0）例1.1.3已知抛物线经过A（2，0），B（0，2），C（，0）三点，一动点P从原点出发以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，连接
11、BP，过点A作直线BP的垂线交y轴于点Q设点P的运动时间为t秒（1）求抛物线的解析式；（2）当BQ=AP时，求t的值；（3）随着点P的运动，抛物线上是否存在一点M，使MPQ为等边三角形？若存在，请直接写t的值及相应点M的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）y=x2x+2（2）t=或6（3）1+或3+3 【解析】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，抛物线经过A（2，0），B（0，2），C（，0）三点，解得 ，y=x2x+2（2）AQPB，BOAP，AOQ=BOP=90，PAQ=PBO，AO=BO=2，AOQBOP，OQ=OP=t如图1，当t2时，点Q在点B下方，此时BQ=2t，
12、AP=2+tBQ=AP，2t=（2+t），t=如图2，当t2时，点Q在点B上方，此时BQ=t2，AP=2+tBQ=AP，t2=（2+t），t=6综上所述，t=或6时，BQ=AP（3）当t=1时，抛物线上存在点M（1，1）；当t=3+3时，抛物线上存在点M（3，3）分析如下：AQBP，QAO+BPO=90，QAO+AQO=90，AQO=BPO在AOQ和BOP中，AOQBOP，OP=OQ，OPQ为等腰直角三角形，MPQ为等边三角形，则M点必在PQ的垂直平分线上，直线y=x垂直平分PQ，M在y=x上，设M（x，y），解得 或 ，M点可能为（1，1）或（3，3）如图3，当M的坐标为（1，1）时，作MD
13、x轴于D，则有PD=|1t|，MP2=1+|1t|2=t22t+2，PQ2=2t2，MPQ为等边三角形，MP=PQ，t2+2t2=0，t=1+，t=1（负值舍去）如图4，当M的坐标为（3，3）时，作MEx轴于E，则有PE=3+t，ME=3，MP2=32+（3+t）2=t2+6t+18，PQ2=2t2，MPQ为等边三角形，MP=PQ，t26t18=0，t=3+3，t=33（负值舍去）综上所述，当t=1+时，抛物线上存在点M（1，1），或当t=3+3时，抛物线上存在点M（3，3），使得MPQ为等边三角形题模二：二次函数与直角三角形综合例1.2.1抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）、B
14、两点，与y轴交于点C（0，3），顶点为D，点M是抛物线上任意一点（1）求抛物线解析式；（2）在抛物线对称轴右侧的图象上有一点M，且满足AMC=MCD，求出点M的坐标；（3）抛物线对称轴上是否存在一点N，使以B、N、C为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）抛物线解析式为：y=x22x3（2）点M的坐标为（2，3）（3）当N（1， ）或N（1， ）或N（1，2）或N（1，4）时，以B、N、C为顶点的三角形为直角三角形【解析】（1）抛物线y=x2+bx+c过点A（1，0）、C（0，3），解得： ，抛物线解析式为：y=x22x3；（2）如图1，当AMCD
15、时，AMC=MCDy=x22x3=（x1）24，D（1，4）设直线CD的解析式为y=kx3，D（1，4），k3=4，k=1，直线CD的解析式为lCD：y=x3设直线AM为：y=x+m，A（1，0），1+m=0，m=1，直线AM的解析式为lAM：y=x1当y=x22x3=x1时，AMCD，解得x1=1（舍去），x2=2，y=21=3，点M的坐标为（2，3）；（3）设N（1，n），B（3，0），C（0，3），BN=，NC=，BC=3当以B、N、C为顶点的三角形为直角三角形时，可分三种情况进行讨论：如图2，若BNC=90，则BC2=BN2+NC2，即18=4+n2+1+n2+6n+9，整理，得n2+
16、3n2=0，解得：n=，所以N（1， ）或N（1， ）；若NBC=90，则NC2=BN2+BC2，即1+n2+6n+9=4+n2+18，整理，得6n=12，解得n=2，所以N（1，2）；若NCB=90，则BN2=NC2+BC2，即4+n2=1+n2+6n+9+18，整理，得6n=24，解得n=4，所以N（1，4），综上，当N（1， ）或N（1， ）或N（1，2）或N（1，4）时，以B、N、C为顶点的三角形为直角三角形例1.2.2如图1，二次函数y=x22x+1的图象与一次函数y=kx+b（k0）的图象交于A，B两点，点A的坐标为（0，1），点B在第一象限内，点C是二次函数图象的顶点，点M是一次
17、函数y=kx+b（k0）的图象与x轴的交点，过点B作轴的垂线，垂足为N，且SAMO：S四边形AONB=1：48（1）求直线AB和直线BC的解析式；（2）点P是线段AB上一点，点D是线段BC上一点，PDx轴，射线PD与抛物线交于点G，过点P作PEx轴于点E，PFBC于点F当PF与PE的乘积最大时，在线段AB上找一点H（不与点A，点B重合），使GH+BH的值最小，求点H的坐标和GH+BH的最小值；（3）如图2，直线AB上有一点K（3，4），将二次函数y=x22x+1沿直线BC平移，平移的距离是t（t0），平移后抛物线上点A，点C的对应点分别为点A，点C；当ACK是直角三角形时，求t的值【答案】（1
18、）y=2x5；（2）H（5，6），最小值为7=；（3）当AKC=90时，AK2+KC2=AC2，解得m=，此时t=m=2；当KCA=90时，KC2+AC2=AK2，解得m=4，此时t=m=4；当KAC=90时，AC2+AK2=KC2，解得m=0，此时t=0【解析】（1）点C是二次函数y=x22x+1图象的顶点，C（2，1），PEx轴，BNx轴，MAOMBN，SAMO：S四边形AONB=1：48，SAMO：SBMN=1：49，OA：BN=1：7，OA=1BN=7，把y=7代入二次函数解析式y=x22x+1中，可得7=x22x+1，x1=2（舍），x2=6B（6，7），A的坐标为（0，1），直线A
19、B解析式为y=x+1，C（2，1），B（6，7），直线BC解析式为y=2x5（2）如图1，设点P（x0，x0+1），D（，x0+1），PE=x0+1，PD=3x0，DPF固定不变，PF：PD的值固定，PEPF最大时，PEPD也最大，PEPD=（x0+1）（3x0）=x02+x0+3，当x0=时，PEPD最大，即：PEPF最大此时G（5，）MNB是等腰直角三角形，过B作x轴的平行线，BH=B1H，GH+BH的最小值转化为求GH+HB1的最小值，当GH和HB1在一条直线上时，GH+HB1的值最小，此时H（5，6），最小值为7=（3）令直线BC与x轴交于点I，I（，0）IN=，IN：BN=1：2，沿
20、直线BC平移时，横坐标平移m时，纵坐标则平移2m，平移后A（m，1+2m），C（2+m，1+2m），AC2=8，AK2=5m218m+18，CK2=5m222m+26，当AKC=90时，AK2+KC2=AC2，解得m=，此时t=m=2；当KCA=90时，KC2+AC2=AK2，解得m=4，此时t=m=4；当KAC=90时，AC2+AK2=KC2，解得m=0，此时t=0例1.2.3如图，顶点为A（4，4）的二次函数图象经过原点（0，0），点P在该图象上，OP交其对称轴l于点M，点M、N关于点A对称，连接PN，ON（1）求该二次函数的表达式；（2）若点P的坐标是（6，3），求OPN的面积；（3）当
21、点P在对称轴l左侧的二次函数图象上运动时，请解答下面问题：求证：PNM=ONM；若OPN为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标【答案】（1）；（2）12；（3）见解析；（）【解析】（1）设二次函数的表达式为y=a（x+4）2+4，把点（0，0）代入表达式，解得二次函数的表达式为，即；（2）设直线OP为y=kx（k0），将P（6，3）代入y=kx，解得，当x=4时，y=2M（4，2）点M、N关于点A对称，N（4，6）MN=4SPON=SOMN+SPMN=12；（3）证明：设点P的坐标为，其中t4，设直线OP为y=kx（k0），将P代入y=kx，解得当x=4时，y=t+8M（4，t+8）
22、AN=AM=4（t+8）=t4设对称轴l交x轴于点B，作PCl于点C，则B（4，0），COB=4，NB=4+（t4）=t，PC=4t，NC=则，又NCP=NBO=90，NCPNBOPNM=ONMOPN能为直角三角形，理由如下：解：分三种情况考虑：（i）若ONP为直角，由得：PNM=ONM=45，PCN为等腰直角三角形，CP=NC，即m4=m2m，整理得：m28m+16=0，即（m4）2=0，解得：m=4，此时点A与点P重合，故不存在P点使OPN为直角三角形；（ii）若PON为直角，根据勾股定理得：OP2+ON2=PN2，OP2=m2+（m22m）2，ON2=42+m2，AN2=（m4）2+（m
23、22m+m）2，m2+（m22m）2+42+m2=（m4）2+（m22m+m）2，整理得：m（m28m16）=0，解得：m=0或m=44或4+4（舍去），当m=0时，P点与原点重合，故PON不能为直角，当m=44，即P（44，4）时，N为第四象限点，成立，故PON能为直角；（iii）若NPO为直角，可得NPM=OBM=90，且PMN=BMO，PMNBMO，又MPN=OBN=90，且PNM=OND，PMNBON，PMNBMOBON，即，整理得：（m4）2=0，解得：m=4，此时A与P重合，故NPO不能为直角，综上，点P在对称轴l左侧的二次函数图象上运动时，OPN能为直角三角形，当m=4+4，即P
24、（）时，N为第四象限的点成立随堂练习随练1.1如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+6经过点A（3，0）和点B（2，0）直线y=h（h为常数，且0h6）与BC交于点D，与y轴交于点E，与AC交于点F，与抛物线在第二象限交于点G（1）求抛物线的解析式；（2）连接BE，求h为何值时，BDE的面积最大；（3）已知一定点M（2，0）问：是否存在这样的直线y=h，使OMF是等腰三角形？若存在，请求出h的值和点G的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）y=x2x+6（2）3 （3）存在；4，（2，4）或2，（，2）【解析】解：（1）抛物线y=ax2+bx+6经过点A（3，0）和点B（2，0）
25、，解得：抛物线的解析式为y=x2x+6（2）把x=0代入y=x2x+6，得y=6点C的坐标为（0，6）设经过点B和点C的直线的解析式为y=mx+n，则，解得经过点B和点C的直线的解析式为：y=3x+6点E在直线y=h上，点E的坐标为（0，h）OE=h点D在直线y=h上，点D的纵坐标为h把y=h代入y=3x+6，得h=3x+6解得x=点D的坐标为（，h）DE=SBDE=OEDE=h=（h3）2+0且0h6，当h=3时，BDE的面积最大，最大面积是（3）存在符合题意的直线y=h设经过点A和点C的直线的解析式为y=kx+p，则，解得故经过点A和点C的直线的解析式为y=2x+6把y=h代入y=2x+6
26、，得h=2x+6解得x=点F的坐标为（，h）在OFM中，OM=2，OF=，MF=若OF=OM，则=2，整理，得5h212h+20=0=（12）24520=2560，此方程无解OF=OM不成立若OF=MF，则=，解得h=4把y=h=4代入y=x2x+6，得x2x+6=4，解得x1=2，x2=1点G在第二象限，点G的坐标为（2，4）若MF=OM，则=2，解得h1=2，h2=（不合题意，舍去）把y=h1=2代入y=x2x+6，得x2x+6=2解得x1=，x2=点G在第二象限，点G的坐标为（，2）综上所述，存在这样的直线y=2或y=4，使OMF是等腰三角形，当h=4时，点G的坐标为（2，4）；当h=2
27、时，点G的坐标为（，2）随练1.2如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（1，0）和点B（1，0），直线y=2x1与y轴交于点C，与抛物线交于点C、D（1）求抛物线的解析式；（2）求点A到直线CD的距离；（3）在平面直角坐标系中，是否存在点P使P、C、D为顶点、CD为底边的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出所有符合条件的P点的坐标【答案】（1）抛物线的解析式为y=x21；（2）A到直线CD的距离的（3）存在；P1P2垂直平分CD，CD=2当PCD是等腰直角三角形时，FD=FC=FP=，PC=PD=P1（3，0），P2（1，2）【解析】（1）先求得C的坐标，然后证得C为抛物线的顶点，即
28、可设抛物线的解析式为y=ax21，把A（1，0）代入即可求得；（2）根据抛物线与直线方程求得点D、E的坐标，然后利用面积法来求点A到直线CD的距离；（3）运用三角形相似得到以CD为底边的等腰直角三角形的腰长，然后求出P点的坐标解：（1）直线y=2x1与y轴交于点C，C的坐标（0，1），抛物线与x轴交于点A（1，0）和点B（1，0），对称轴为y轴，C点就是抛物线的顶点，设把A（1，0）代入得，a1=0，a=1，抛物线的解析式为y=x21；（2）由得到：，即C（0，1），D（2，3）则CD=2设直线CD与x轴交于点E，点A到直线CD的距离为h易求E（，0），所以AE=所以（1+3）=2h，解得h=
29、，即点点A到直线CD的距离的（3）存在；如图，P1P2垂直平分CD，CD=2当PCD是等腰直角三角形时，FD=FC=FP=，PC=PD=P1（3，0），P2（1，2）随练1.3在平面直角坐标系xOy中，一块含60角的三角板作如图1摆放，斜边AB在x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（1，0），抛物线y=x2+bx+c经过点A、B、C（1）请直接写出点B、C的坐标：B（_，_）、C（_，_）；（2）求经过A、B、C三点的抛物线的函数表达式；（3）如图2现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中EDF=90，DEF=60），把顶点E放在线段AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED
30、所在直线经过点C 此时，EF所在直线与（1）中的抛物线交于第一象限的点M设AE=x，当x为何值时，OCEOBC；在的条件下：抛物线的对称轴上是否存在点P使PEM是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）3，0；0， （2）解析式为y=x2+x+（3）x=2时，OCEOBC抛物线对称轴上存在点P（1，2）或（1，2）或（1， ）或（1，2），使PEM是等腰三角形【解析】（1）点A（1，0），OA=1，由图可知，BAC是三角板的60角，ABC是30角，所以，OC=OAtan60=1=，OB=OCcot30=3，所以，点B（3，0），C（0， ）（2）把B（3，0），
31、C（0， ）代入y=x2+bx+c，得：，解得，所以，抛物线的解析式为y=x2+x+；（3）OCEOBC，=，即=，解得OE=1，所以，AE=OA+OE=1+1=2，即x=2时，OCEOBC；存在理由如下：抛物线的对称轴为x=1，所以，点E为抛物线的对称轴与x轴的交点，OA=OE，OCx轴，BAC=60，ACE是等边三角形，AEC=60，又DEF=60，FEB=60，BAC=FEB，EFAC，由A（1，0），C（0， ）可得直线AC的解析式为y=x+，点E（1，0），直线EF的解析式为y=x，联立 ，解得 ， ，点M的坐标为（2， ，或（3，4）（舍去），EM=2，分三种情况讨论PEM是等腰三
32、角形，当PE=EM时，PE=2，所以，点P的坐标为（1，2）或（1，2），当PE=PM时，FEB=60，PEF=9060=30，PE=EMcos30=2=，所以，点P的坐标为（1， ），当PM=EM时，PE=2EMcos30=22=2，所以，点P的坐标为（1，2），综上所述，抛物线对称轴上存在点P（1，2）或（1，2）或（1， ）或（1，2），使PEM是等腰三角形随练1.4如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）的对称轴为直线x=1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x=1上找
33、一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=1上的一个动点，求使BPC为直角三角形的点P的坐标【答案】（1）y=x+3；(2)（1，2）；（3）P的坐标为（1，2）或（1，4）或（1，）或（1，）【解析】（1）依题意得：，解之得：，抛物线解析式为y=x22x+3对称轴为x=1，且抛物线经过A（1，0），把B（3，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n，得，解之得：，直线y=mx+n的解析式为y=x+3；（2）设直线BC与对称轴x=1的交点为M，则此时MA+MC的值最小把x=1代入直线y=x+3得，y=2，M（1，2），即当点M到点A的距
34、离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（1，2）；（3）设P（1，t），又B（3，0），C（0，3），BC2=18，PB2=（1+3）2+t2=4+t2，PC2=（1）2+（t3）2=t26t+10，若点B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2即：18+4+t2=t26t+10解之得：t=2；若点C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2即：18+t26t+10=4+t2解之得：t=4，若点P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2即：4+t2+t26t+10=18解之得：t1=，t2=；综上所述P的坐标为（1，2）或（1，4）或（1，）或（1，）随练1.5如图，抛物线y=ax2+bx4（a0）与x轴交于
35、A（4，0）、B（1，0）两点，过点A的直线y=x+4交抛物线于点C（1）求此抛物线的解析式；（2）在直线AC上有一动点E，当点E在某个位置时，使BDE的周长最小，求此时E点坐标；（3）当动点E在直线AC与抛物线围成的封闭线ACBDA上运动时，是否存在使BDE为直角三角形的情况，若存在，请直接写出符合要求的E点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）抛物线解析式为y=x23x4（2）交点E的坐标（，）（3）满足条件的点E的坐标为E（3，1）或（， ）【解析】（1）抛物线y=ax2+bx4（a0）与x轴交于A（4，0）、B（1，0）两点， ， ，抛物线解析式为y=x23x4，（2）如图1，作点
36、B关于直线AC的对称点F，连接DF交AC于点E，由（1）得，抛物线解析式为y=x23x4，D（0，4），点C是直线y=x+4与抛物线的交点，联立解得， （舍）或 ，C（2，6），A（4，0），直线AC解析式为y=x+4，直线BFAC，且B（1，0），直线BF解析式为y=x+1，设点F（m，m+1），G（ ， ），点G在直线AC上， ，m=4，F（4，5），D（0，4），直线DF解析式为y=x4，直线AC解析式为y=x+4，直线DF和直线AC的交点E（ ，），（3）BD= ，由（2）有，点B到线段AC的距离为BG=BF=5=BD，BED不可能是直角，B（1，0），D（0，4），直线BD解析式为y
37、=4x+4，BDE为直角三角形，BDE=90，BEBD交AC于B，直线BE解析式为y=x+ ，点E在直线AC：y=x+4的图象上，E（3，1），BDE=90，BEBD交AC于D，直线BE的解析式为y= x4，点E在抛物线y=x23x4上，直线BE与抛物线的交点为（0，4）和（ ，），E（，），即：满足条件的点E的坐标为E（3，1）或（ ，）随练1.6如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A（1，0）和B（4，0）（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的对称轴交x轴于点E，点F是位于x轴上方对称轴上一点，FCx轴，与对称轴右侧的抛物线交于点C，且四边形OECF是平行四边形，求点C的坐标；（
38、3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使OCP是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）y=x2x+2；（2）（5，2）；（3）存在点P（，）或（，）或（，）或（，）【解析】方法一：（1）把点A（1，0）和B（4，0）代入y=ax2+bx+2得，解得，所以，抛物线的解析式为y=x2x+2；（2）抛物线的对称轴为直线x=，四边形OECF是平行四边形，点C的横坐标是2=5，点C在抛物线上，y=525+2=2，点C的坐标为（5，2）；（3）设OC与EF的交点为D，点C的坐标为（5，2），点D的坐标为（，1），点O是直角顶点时，易得OEDPEO，即=，解得P
39、E=，所以，点P的坐标为（，）；点C是直角顶点时，同理求出PF=，所以，PE=+2=，所以，点P的坐标为（，）；点P是直角顶点时，由勾股定理得，OC=，PD是OC边上的中线，PD=OC=，若点P在OC上方，则PE=PD+DE=+1，此时，点P的坐标为（，），若点P在OC的下方，则PE=PDDE=1，此时，点P的坐标为（，），综上所述，抛物线的对称轴上存在点P（，）或（，）或（，）或（，），使OCP是直角三角形方法二：（1）略（2）FCx轴，当FC=OE时，四边形OECF是平行四边形设C（t，），F（，+2），t=，t=5，C（5，2）（3）点P在抛物线的对称轴上，设P（，t），O（0，0），C
40、（5，2），OCP是直角三角形，OCOP，OCPC，OPPC，OCOP，KOCKOP=1，t=，P（，），OCPC，KOCKPC=1，=1，t=，P（，），OPPC，KOPKPC=1，4t28t25=0，t=或，点P的坐标为（，）或（，），综上所述，抛物线的对称轴上存在点P（，）或（，）或（，）或（，），使OCP是直角三角形自我总结 课后作业作业1已知：如图，抛物线y=ax22ax+c（a0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）（1）求该抛物线的解析式；（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QEAC，交BC于点E，连接CQ当CQE的面积最大时，求点Q的坐标；（3）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）问：是否存在这样的直线l，使得ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）y=x2+x+4（2）当m=1时，SCQE有最大值3，此时Q（1，0）（3）存在；P的坐标为：P（1+，2）或P（1，2）或P（1+，3）或P（1，3）【解析】（1）由题意，得解得（2分）所求抛物线的解析式为：y=x2+x+4（2）设点Q的坐标为（m，0），过点E作EG