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1、第6章空间向量与立体几何6. 3空间向量的应用6. 3. 4空间距离的计算基础过关练题组一点到平面的距离. （2020陕西西安高二期末）已知正方体ABCDABCa的棱长为1,少为防的中点, 则点C到平面的距离为（）V5一 2V3一 5 B.D. 店一 5V5-3 A.C. （2021江苏苏州常熟中学高二月考）空间四点4（2,3,1）次4,1,2）,6（6,3,7）43,1,0）,则 点到平面力回的距离是.1 .已知正四棱柱ABCD-A.BAIX中，力比2,6牛2加,点后为 防的中点，则直线 阳与平面瞬间的距离为.2 .（2021江苏扬州高三月考）正方体力aD48G的棱长为4小；尸分别为凡G，笈
2、G的中点厕平面4町与平面7沏间的距离为.3 . （2020江西景德镇高二期末）如图，在五面体力比恸中,四边形ABCD为矩形,EF/ 平面力比9二屐/氏履2）6=4,材为正的中点.求证:婷以平面BDE（2）若平面平面ABCD,求点、尸到平面皮厉的距离.题组二点到直线的距离.在棱长为1的正方体中/为的中点，则点G到直线成的距离 为（）A.叔仔 33C.氯4 334 .已知直线）的一个方向向量为尸（1,血1）,若点外71,-1）为直线/外一点04,1,-2）为直线/上一点，则点夕到直线/的距离为.5 . （2020山东济南第二中学高二上月考）如图，在正方体力比。4笈C中,N是棱AD 的中点,是棱CG
3、上的点，且8=3,求直线9与直线8A之间的距离.能力提升练解得二.金，所以上（-1，-苧，1）,又就二（-2夜,4,0）,所以 心普薪所以dsin 咚题组一点到平面的距离1.（2020安徽合肥高二月考*）如图所示，在多面体力比%中，底面/1/汨9是矩形,且 0,0,0),42,4,0),4(2,0,0),口0,4,0),风2,4,l),G(0,4,3).若四边形力尸为平行四边形，则点。到平面力回尸的距离为（）A.W1T33B. 4V33C.鬻D.等2.（2021湖北高三三模*）在棱长为1的正四面体力叫/中也为力上的一点，且A2为4C的中点，则点A到平面砌V的距离为（）,、由a、由1、vsA.
4、-B. C. -I）. - 5510103.（2021江西南昌二中高二月考,*）棱长为4的正方体力比4合6的顶点力在平面Q内，平面力腼与平面a所成的二面角为30 ,则顶点C到平面a的距离的 最大值是0A. 3+2V2B. 2V3+2V2C. 2V3+3V2D. 2+2V3（2020重庆西南大学附中高二期末,*）如图,四棱锥/S4四中，底面力四为矩形,侧面必为正三角形,/1庐2,力庐3,平面为平面ABCRE为棱 阳上一点（不与P、B 重合），平面交棱PC于点、/.（1）求证:力利若二面角比力白的余弦值为嚓，求点3到平面力比的距离.4V4. （2021江苏宿迁高三第二次调研,*）已知四棱锥月战的底
5、面力四是直角梯 形,ADBC,ABBC,AB-W,BgA22,E% 的中点，加_L熊 证明:平面 砌，平面ABCD、若P和PD,PC与平面力以所成的角为:，试问在侧面筋内是否存在一点A；使得 /WJ_平面心切若存在，求出点到平面/%的距离;若不存在,请说明理由. 题组二点到直线的距离5. (2021江苏南京航空航天大学附属中学高二月考” )已知正方体力比沙，则 空间中到三条棱力氏8,4所在直线的距离相等的点有()A. 0个B. 2个C. 3个D.无数个7.(2021江苏常州前黄高级中学、漂阳中学高三期末,*：)如图所示，在长方体力优。 4BC以中,AB=4,Beca=2四用是阅的中点,N是阳的
6、中点，若异面直线4V与CM所 成的角为/距离为d则 cfein。二.答案全解全析第6章空间向量与立体几何6. 3空间向量的应用6. 3. 4空间距离的计算基础过关练1 . A如图所示，以力为原点同福矶方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向，建立空间 直角坐标系，则 4(0,0,1),(0,1,1),4i,o,乡,6(1,1,0),因此还了(0,1,0),4声(i,o,- 力碇二(1,1,7).设平面的法向量为炉所几),则整二八令为，则 ，/(m AXE = x1-z1 = 0,为二2,此时尸(1,0,2),所以点。到平面4月的距离为列沪故选A. 方法总结求点A到平面筋的距离，方法如下:(1)等体积
7、法:先计算出四面体力箭的体积，然后计算出9的面积，利用锥体的体积公式可计算出点A到平面池的距离;(2) 空间向量法:先计算出平面成方的一个法向量的坐标,进而可得出点力到平面用力 的距离大为L.|n|.答案也解析由已知,得於二(2,-2,1),止(4,0,6),而二(1,-2,-1),设平面力8。的法向量是炉(x,乂z),n AF = 2x-2y + z = 0, n AC = 4x + 6z = 0,令 产3,则 万-2,片2,炉(3,212),点到平面/比的距离为匹土,3-4+2 唔 l?l1 匹不？ 173 .答案1解析如图，连接；交劭于点。连接龙，以为原点，建立空间直角坐标系，则 “0,
8、0,0),月(2,0,0),42,2,0),a0,2,企)，所以三二(2,2,0),反二(0,2,企)，位;(2,0,0), 易知/1G平面BED.设平面皮短的法向量是/F(x,y,z),则 pi 丽=2% + 2y = 0,In DE = 2y + y/2z - 0,令尸 1,贝lj =-l,Z=-V2,所以 n=(-l,l,-V2).又因为52=(2,0,0),所以点4到平面叫应的距离为n .丽二 2| 二lnl J(-l)2 + l2+(-V2)2故直线4G到平面比力的距离为1.4 .答案？解析以为坐标原点,4c所在直线分别为X轴/轴,Z轴建立空间直角坐标系 D-xyz,则力(4,0,0
9、),破2。4),女0,0,0),以4,4,0),4024)2,4,4)从424)就=(220),丽二(220),俞二(-2,0,4)，於二(-2,0,4), ：.EF=MNtBF=AM, ：. EF那即/ A眼又 EFC BgRMNCA行礼EF,BFu平面EFBD,MN,A收:平面4则，平面4楙平面EFBD.设平面却却的法向量是炉(x,y,z),milfn , MN = 2% + 2y = 0, nnfx = 2z, lnAM = -2x + 4z = 0, 6 = 2z-令 Z=1M 尸2,片-2,炉(2,-2,1).,同二(0,4,0),平面4%V与平面右吻9间的距离力弋”吟方法总结空间中
10、两条平行直线间的距离，一条直线到与它平行的平面的距离,两个平行平面 间的距离都可以转化为点到直线的距离进行求解.5 .解析证明:取的中点A；连接MN,EN.因为为?的中点，所以MNCD旦业号以因为平面ABCD、Ck平面ABCD,E吵AB=Ck4,所以 EF CDA E*CD,所以 MN EFA AMEF、所以四边形夕训V,为平行四边形，所以婷/ V；又城平面皮况化平面BDEy所以婷/平面BDE.以4的中点。为坐标原点,如,叫您所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直 角坐标系，则风0,0,旧)4-1,0,0),以1,4,(),/(),2,73), 所以病=(1,0,VI)网=(2,4,0),萨
11、(0,2,0).设平面/，的法向量为炉(*,乂力，则嘴；之即蟀常:尸e则TT，所以小4)，则点尸到平面位后的距离小亘生空.|nl 19. C建立空间直角坐标系，如图，则 6(1,1,0),6(1,1,1),0,小),所以正二(1,1,-1),=(0,0,1),所以点C到直线的距离大所以点C到直线的距离大故选c.6 .答案后解析p(T,T),A(4,l,-2),市=(5,(),T),又 /?f(1,V2,-1).*.COS=-.*.COS=-m - PA - 5+1 3ml TPA| 2x26 x26,/.sin=旧又 : | 港 | =V26,点夕到直线/的距离为PA sin=V26X 旧二g
12、.8.解析设正方体的棱长为1,如图，建立空间直角坐标系，贝以 1,1,0),5(1,1,八6,o,o),西=(0,0,1),由二9i,o,设直线与尻M的公垂线方向上的向量为n=(x,y,nFM = 0, f-x + |z = 0, 由n.蠲=0,得I 3I-x-y-z = 0,令尸2,则下6,片-7,力(2,-7,6).设直线BM与5A1之间的距离为d则 庐丽也嘉二. ! H! VO7 oV能力提升练1 .D由题知就=(0,4,1),同=(-2,0,2),设40,0,幻,则肝=(-2,0,力,四边形力比；尸为平行四边形,正前7,即(-2,0,力二(-2,0,2),京2,0,0,2),而(-2,
13、0,2).设为平面AEQF的一个法向量，显然不垂直于平面物;故可设内耳乂1),则|：:覆:即(X 1y1_1 ./尸(一力),又47二(0,0,3),点。到平面熊G尸的距离为西 n I二3二4图故选D|n| I 211卜+G) +产. C取以?的中点连接AE交 融于点0,连接Q四面体力成力为正四面体/%；分 别为月C回的中点,。为等边三角形力宏的中心，且0_L平面4先以N为坐标原点 建立如图所示的空间直角坐标系，其中Oz轴,正四面体力比力的棱长为1, ,写4巴 4吟明即病q而, |/V31 x/6丽二解,小丹设平面战V的法向量为n=(x,y,n/Ve=yX = 0,n NM =+ 日z = 0
14、,令斤3,则尸0,户佩.小(),幅3),又俞二(o, 1,o),点A到平面 翻V的距离卢屈叽扁二照 2)Ini V6+9 103.B以力为坐标原点,力用49,例所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则平面力比7?的一个法向量为犷(0,0,1),何二(4,4,4),设平面。的法向量为止(工,乂 1),因为平面相。与平面成3。角，所以IcosWR了七喙可得以广，设产qcos。，尸4sin。，贝lj C到平面a的距离 JJ上吃叫:鲁:!=2广川|二2|&sin(e + 9 +网W2(&+b),故顶点C到平面a的距离的最大值是2(遮+加).4.解析证明:底面/以刀为矩形，：.AD/BC._
15、 ./1为平面PBC,BCu平面PB&49平面PBC,又,：Ag 平面力加;平面 49G 平面 PBOEF. ：. AD/ EF.取4的中点Q连接做过点作011AB交比于点,侧面为为正三角形,0_L4Z;平面 为 1.平面力打刀且交线为AD,.R7_L平面ABCD. ,四边形/比Z?为矩形，：.ABVAD,：.OHA,AD.如图所示，以。为原点,阳以。所在直线分别为x轴,y轴,z轴，建立空间直角坐标 系，则 60,0,0),0,0,V3),J(l,0,0),l,3,0),6(-1,3,0),因此就二(-2,3,0),而二(1,3,-6).设 E(x,y,z),彘二才而(0 /BFB,Bg 平面
16、 PBD,/l_L平面PBD.VJc 平面 ABCD,平面侬_L平面ABCD.存在.在平面PBD内作P0IBD于0,连接0C. 平面阳_1_平面/直平面如G平面ABCIABI),：.POL 平面 ABCD. ：. POX. 0C, N/T。即为尸。与平面力时所成的角厕N/T3；.4: PIPD、P01BD、 。为劭的中点，弦易得0400限以。为原点,以,施；8所在直线分别为X轴,y轴,2轴，建立如图所示的空间直角坐标系，贝 ij 以 1,0,0),qo,百,女一。o,o),4o,o,百), .*.PC=(0,V3,-V3),PD=(-l,0-V3).假设在侧面小内存在点人使得“VJ_平面PCD
17、,设丽二 4厢+ JJPC( 4, P 20, 4 + W1),易得,A-九百,-百(4+ 前二(- /IT,6 ，-75(入+ A-1).贝，亚.9=0,丽丽=0,即n解得胃满足题意，点川到平面48的距离为-(4 + 1 + 3(4+ T) = 0,=4V 5，V3(+T用.6 . D以为原点,方,元,西方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的 空间直角坐标系， 设该正方体的棱长为1,连接50,并在上任取一点2易得西=(1,1,1),所以设 不衣司，其中0WW1.作物L平面4,垂足为上作用J_4,垂足为巧则同|是点 月到直线4的距离，易知 平,0,1),所以和(0,-&1-旬,所以I两二再二又同理，点 P到直线AB,CG的距离也是Ja2+p)2,所以笈上任一点到正方体ABQAABCD的 三条棱CCM 所在直线的距离都相等，所以空间中到正方体力比D45G 的三 条棱AB,CC,A1以所在直线的距离相等的点有无数个.故选D.7 .答案？解析建立空间直角坐标系。町?如图所示，则力(2企,0,0),0,4,0),坏4,0，八俘,4,争，于是而二(一苧,4,苧)，前二(遮,0,a),所以病说千挈4,号)(a,0,夜)=0,即4v1俐所以6带.设与丽丽都垂直的一个向量为止“,乂1),则卜竺=，即-、+ 4丫 +工=0,ECM = 0, (V2x + V2 = 0,