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1、会计学1误差知识与算法知识误差知识与算法知识1.2误差知识与算法知识一、误差的来源与分类 模型误差 观测误差 截断误差 (描述误差)(测量误差)(方法误差)(计算误差)舍入误差舍入误差建模过程中建模过程中产生的误差产生的误差研究数值方法研究数值方法的过程中产生的过程中产生的误差的误差舍入误差：由于计算机字长的有限性，对相关数据进行存储表示时而产生的舍入误差；截断误差：把无限的计算过程用有限的计算过程代替，这样产生的误差称为截断误差（.方法误差）第1页/共47页二、绝对误差、相对误差与有效数字（1）绝对误差（2）相对误差（3）有效数字（4）绝对误差与有效数字的关系（5）相对误差与有效数字的关系第
2、2页/共47页二、绝对误差、相对误差与有效数字（1）绝对误差：（2）相对误差:马拉松的路程:42.195 公里 第3页/共47页二、绝对误差、相对误差与有效数字（1）绝对误差：（2）相对误差:相对误差限:马拉松的路程:42.195 公里 第4页/共47页解解第5页/共47页解解第6页/共47页解解结论：凡是由准确值经过四舍五入而得到的近似值，其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位。第7页/共47页结论：凡是由准确值经过四舍五入而得到的近似值，其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位。思考：四舍五入得到的近似值可直接得到其绝对误差限。一般数的近似值能否直接得到其绝对误差限？即希望从近似数的本身显示
3、其精确度。第8页/共47页（3）有效数字在测量中，是指在分析工作中实际能够测量到的数字。所谓能够测量到的是包括最后一位估计的，不确定的数字。通过直读获得的准确数字叫做可靠数字;通过估读得到的那部分数字叫做存疑数字。把测量结果中能够反映被测量大小的带有一位存疑数字的全部数字叫有效数字.在测量中的定义：有效数字=可靠数字+存疑数字（1位）第9页/共47页（3）有效数字把测量结果中能够反映被测量大小的带有一位存疑数字的全部数字叫有效数字.有效数字=可靠数字+存疑数字（1位）a,b的有效数字有几位？第10页/共47页（3）有效数字把测量结果中能够反映被测量大小的带有一位存疑数字的全部数字叫有效数字.有
4、效数字=可靠数字+存疑数字（1位）各有几位有效数字？各有几位有效数字？思考：如何用数学语言描述有效数字？第11页/共47页（3）有效数字有效数字的定义：各有几位有效数字？各有几位有效数字？思考：如何用数学语言描述有效数字？第12页/共47页（3）有效数字有效数字的定义（描述）：设a是x的近似值，如果a的误差绝对限是x的第k位小数的半个单位，即则称近似值a准确到小数点后第k位。从这个小数点后第k位数字直到最左边非零数字之间的所有数字都叫有效数字。另一种说法另一种说法(量化量化)：第13页/共47页（3）有效数字 设a是x的近似值，如果a的误差绝对限是x的第k位小数的半个单位，即则称近似值a准确到
5、小数点后第k位。从这个小数点后第k位数字直到最左边非零数字之间的所有数字都叫有效数字。有效数字的定义：第14页/共47页（3）有效数字 设a是x的近似值，如果a的误差绝对值不超过x的第k位小数的半个单位，即从这个小数点后第k位数字直到最左边非零数字之间的所有数字都叫有效数字。有效数字的定义：例例当取当取3.141作为近似值时作为近似值时,具有几位有效数字具有几位有效数字?4位位3位位当取当取3.142作为近似值时作为近似值时,具有几位有效数字具有几位有效数字?第15页/共47页例例当取当取3.142作为近似值时作为近似值时,具有几位有效数字具有几位有效数字?当取当取3.141作为近似值时作为近
6、似值时,具有几位有效数字具有几位有效数字?4位位3位位思考：经四舍五入得到的数的有效数字如何确定？(1)若a是经过四舍五入而得到的近似值，则从它的末位数字到第一位非零数字都是有效数字。思考：取思考：取作为作为的近似值有几位有效数字？的近似值有几位有效数字？有几位有效数字？有几位有效数字？第16页/共47页(1)若a是经过四舍五入而得到的近似值，则从它的末位数字到第一位非零数字都是有效数字。(2)将任何数乘以将任何数乘以 等于移动该数的小等于移动该数的小数点数点,并不影响其有效数字并不影响其有效数字.有效数字与小数点的位置无关。有效数字与小数点的位置无关。有效数字零不能丢掉：如有效数字零不能丢掉
7、：如0.2，0.20,0.200思考：取思考：取作为作为的近似值有几位有效数字？的近似值有几位有效数字？有几位有效数字？有几位有效数字？第17页/共47页 设数x的近似值用科学计数法表示为：思考：其中m是整数,是0,1,2,9 中的任一数,但若若 则 具有几位有效数字？第18页/共47页 设数x的近似值其中m是整数,是0,1,2,9 中的任一数,但若若定义:则称 具有k位有效数字。为有效数字。有效数字的第二种定义（科学计数法意义下有效数字的定义）：第19页/共47页 设数x的近似值其中m是整数,是0,1,2,9 中的任一数,但若若则则具有k位有效数字.（3）有效数字有效数字的含义：有效数字的位
8、数相当于相对误差大约为 分子1第20页/共47页(1)若a是经过四舍五入而得到的近似值，则从它的末位数字到第一位非零数字都是有效数字。几点说明几点说明:(2)将任何数乘以将任何数乘以 等于移动该数的小等于移动该数的小数点数点,并不影响其有效数字并不影响其有效数字.有效数字与小数点的位置无关。有效数字与小数点的位置无关。思考：有效数字相同的两个近似数的绝对误差是否相同？思考：有效数字相同的两个近似数的绝对误差是否相同？有效数字零不能丢掉：如有效数字零不能丢掉：如0.2，0.20,0.200第21页/共47页(1)若a是经过四舍五入而得到的近似值，则从它的末位数字到第一位非零数字都是有效数字。几点
9、说明几点说明:(2)将任何数乘以将任何数乘以 等于移动该数的小等于移动该数的小数点数点,并不影响其有效数字并不影响其有效数字.有效数字与小数点的位置无关。有效数字与小数点的位置无关。思考：准确值的的有效数字有多少位？思考：准确值的的有效数字有多少位？.(3)有效数字相同的两个近似数的绝对误差不一定相同。有效数字相同的两个近似数的绝对误差不一定相同。有效数字零不能丢掉：如有效数字零不能丢掉：如0.2，0.20,0.200相对误差相同吗？相对误差相同吗？第22页/共47页(1)若a是经过四舍五入而得到的近似值，则从它的末位数字到第一位非零数字都是有效数字。几点说明几点说明:(2)将任何数乘以将任何
10、数乘以 等于移动该数的小等于移动该数的小数点数点,并不影响其有效数字并不影响其有效数字.有效数字与小数点的位置无关。有效数字与小数点的位置无关。(4)准确值被认为具有无穷多位有效数字准确值被认为具有无穷多位有效数字.(3)有效数字相同的两个近似数的绝对误差不一定相同。有效数字相同的两个近似数的绝对误差不一定相同。有效数字零不能丢掉：如有效数字零不能丢掉：如0.2，0.20,0.200第23页/共47页(4)绝对误差与有效数字的关系有效数字位数越多有效数字位数越多,绝对误差越小绝对误差越小.第24页/共47页(5)相对误差与有效数字的关系：若近似数若近似数具有具有n位有效数字位有效数字,则其相对
11、误差则其相对误差一般应用中一般应用中,可以取相对误差限可以取相对误差限:有效数字位数越多有效数字位数越多,相对误差越小相对误差越小.例例 取取3.14作为作为 的四舍五入的近似值时的四舍五入的近似值时,试求其相试求其相 对误差对误差.解解:有效数字位数有效数字位数n=3,第25页/共47页例例 取取3.14作为作为 的四舍五入的近似值时的四舍五入的近似值时,试求其相试求其相 对误差对误差.解解:有效数字位数有效数字位数n=3,第26页/共47页(5)相对误差与有效数字的关系：若近似数若近似数具有具有n位有效数字位有效数字,则其相对误差则其相对误差一般应用中一般应用中,可以取相对误差限可以取相对
12、误差限:有效数字位数越多有效数字位数越多,相对误差越小相对误差越小.若近似数若近似数则该近似数至少具有则该近似数至少具有n位有效数字位有效数字.李庆阳教材第李庆阳教材第6页，页，定理定理1（留为作业（留为作业1）第27页/共47页若近似数若近似数的相对误差的相对误差则该近似数至少具有则该近似数至少具有n位有效数字位有效数字.例例5 设设sin9的近似值的近似值x=0.156431的相对误差的相对误差问问x具有几位有效数字？具有几位有效数字？第28页/共47页三、误差估计的基本方法如果自变量如果自变量x被近似值被近似值a问题问题:对于函数对于函数代替代替,将如何估计将如何估计 的误差的误差?（一
13、）误差估计的一般运算（二）误差估计的四则运算=?=?（参考任玉杰，12页）第29页/共47页三、误差估计的基本方法一元函数：（一）误差估计的一般运算第30页/共47页一元函数：二元函数：（一）误差估计的一般运算三、误差估计的基本方法第31页/共47页一元函数：二元函数：n元函数：三、误差估计的基本方法第32页/共47页（二）误差估计的四则运算（自学。作业2）第33页/共47页例例6 设有三个近似数设有三个近似数a=2.31,b=1.93,c=2.24它们都有三位有效数字它们都有三位有效数字,试计算试计算并问并问:p的计算结果能有几位有效数字的计算结果能有几位有效数字?教材例教材例4解解P=2.
14、31+1.932.24=6.6332=0.005+0.005(1.3+2.24)=0.02585p的计算结果至少有2位有效数字第34页/共47页四、算法的计算复杂性算法：有步骤地完成解数值问题的过程。规定了怎样从输入数据计算出数值问题解的一个有限的基本运算序列。好算法的标准：（1）有可靠的理论基础，包括正确性、收敛性、数值 稳定性以及可作误差分析。（2）有良好的计算复杂性。计算复杂性：时间复杂性：达到给定精度所需计算量。空间复杂性：所占的内存空间。第35页/共47页例10 计算多项式的值的值,输入数据为输入数据为和和x,输出数据为输出数据为的值的值.算法一：加法次数：n乘法次数：算法二：加法次
15、数：n乘法次数：n我国古代数学家秦九韶（1202-1261）在1247年首次提出。秦九韶算法 第36页/共47页五、数值运算中的一些原则 1、要有数值稳定性（即能控制舍入误差的传播）例4 在四位十进制的限制下计算积分算法A：算法B：第37页/共47页2、合理安排量级相差悬殊数间的运算次序，防止 “大数”吃掉“小数”；例5 设有在四位十进制的限制下计算其和 算法A：从左往右算.第38页/共47页算法B：从右往左算。.第39页/共47页3、避免两个相近的数相减例6 求二次方程 算法A：利用公式的根 具有1位有效数字 第40页/共47页3、避免两个相近的数相减例6 求二次方程 算法A：利用公式的根
16、具有1位有效数字 算法B：具有3位有效数字 第41页/共47页3、避免两个相近的数相减例6 求二次方程 算法A：利用公式的根 具有1位有效数字 算法B：具有3位有效数字 算法C：第42页/共47页3、避免两个相近的数相减一元二次方程的计算公式：阅读：避免两个相近的数相减的常用方法：参看任玉杰教材19-21页第43页/共47页阅读：避免两个相近的数相减的常用方法：参看任玉杰教材19-21页（1）倒数变换法：（2）对数变换法：（3）余弦变换法：（4）泰勒级数法：第44页/共47页4、避免接近于0的数作除数，防止溢出。5、简化计算步骤，减少运算次数。第45页/共47页4、避免接近于0的数作除数，防止溢出。5、简化计算步骤，减少运算次数。END 五、数值运算中的一些原则 1、要有数值稳定性（即能控制舍入误差的传播）2、合理安排量级相差悬殊数间的运算次序，防止 “大数”吃掉“小数”；3、避免两个相近的数相减作业5：任玉杰习题1.2、1.3、1.4第46页/共47页