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1、 如果上述的两种运算满足以下八条运算规律,那么,就称V为数域R上的线性空间(或向量空间):(1)加法交换律:+=+;(2)加法结合律:(+)+=+(+);(3)零元素:存在OV,对任一向量,有+O=;(4)负元素:对任一元素V,存在 V,有+=O,记=;(5)1 =;(6)数乘结合律:k(l)=(l k);(7)数乘对加法的分配律:k(+)=k+k;(8)数量加法对数乘的分配律:(k+l)=k+l.设,OV,1,l,k R,说明说明1.凡满足以上八条运算规律的加法及乘数运凡满足以上八条运算规律的加法及乘数运算统称为算统称为线性运算线性运算.第1页/共13页 说明2.向量(线性)空间中的元素称为
2、向量,但不一定是有序数组.说明3.判别线性空间的方法:一个集合,对于定义的加法和数乘运算不封闭,或者运算不满足八条性质的任一条,则此集合就不能构成线性空间.(1)如果在一个集合上定义的加法和乘数运算是通常实数间的加,乘运算,则只需检验运算的封闭性.线性空间的判定方法线性空间的判定方法:例例1:实数域上的全体实数域上的全体m n矩阵矩阵,对矩阵的加法和对矩阵的加法和数乘运算构成实数域数乘运算构成实数域R上的线性空间上的线性空间,记作记作Rm n.Rm n中的向量中的向量(元素元素)是是m n矩阵矩阵.例2:次数不超过n的多项式的全体记作Pxn,即Pxn=p(x)=a0+a1x+anxn|a0,a
3、1,anR 对通常多项式加法,数乘构成向量空间.第2页/共13页通常的多项式加法通常的多项式加法,数乘多项式的乘法两种运算数乘多项式的乘法两种运算满足线性运算规律满足线性运算规律.实际上实际上 对p(x)=a0+a1x+anxn,q(x)=b0+b1x+bnxn Pxn,R,=(a0+a1x+anxn)+(b0+b1x+bnxn)=(a0+b0)+(a1+b1)x+(an+bn)xnp(x)+q(x)=(a0+a1x+anxn)p(x)=a0+a1x+anxnPxn,所以Pxn对线性运算封闭.例3:次数等于n 的多项式的全体记作Qxn,即Qxn=p(x)=a0+a1x+anxn|a0,a1,a
4、nR,an 0 对于通常的多项式加法,数乘不构成向量空间.多项式加法,数乘两种运算对Qxn不满足线性运算的封闭性.实际上Pxn,第3页/共13页对p(x)=a0+a1x+anxn Qxn,0R,0 p(x)=0(a0+a1x+anxn)=0+0 x+0 xn=0Qxn.所以Qxn对线性运算不封闭.例例4:正弦函数的集合正弦函数的集合Sx=s(x)=Asin(x+B)|A,B R对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空间对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空间.对s1(x)=A1sin(x+B1),s2(x)=A2sin(x+B2)Sx,R,由于,s1(x)+s2(x)=A1sin(x
5、+B1)+A2sin(x+B2)=(a1cosx+b1sinx)+(a2cosx+b2sinx)=Asin(x+B)=(a1+a2)cosx+(b1+b2)sinxSx,s1(x)=A1sin(x+B1)=(A1)sin(x+B1)Sx,所以,Sx是一个线性空间.第4页/共13页 例例5:在区间在区间a,b上全体实连续函数构成的集合记上全体实连续函数构成的集合记为为Ca,b,对函数的加法和数与函数的数量乘法对函数的加法和数与函数的数量乘法,构成构成实数域上的线性空间实数域上的线性空间.(2)一个集合一个集合,如果定义的加法和乘数运算不是通如果定义的加法和乘数运算不是通常的实数间的常的实数间的加
6、加,乘运算乘运算,则则必需必需检验是否满足检验是否满足八条线八条线性运算规律性运算规律.例例6:正实数的全体记作正实数的全体记作R+,在其中定义加法及乘在其中定义加法及乘数运算为数运算为:a b=ab,a=a,(R,a,b R+)验证验证R+对上述加法与乘数运算构成对上述加法与乘数运算构成(实数域实数域R上的上的)线线性空间性空间.证明证明:对任意对任意a,b R+,R,a b=ab R+,a=a R+,所以对R+上定义的加法与乘数运算封闭.第5页/共13页 下面验证八条线性运算规律:对任意a,b,cR+,k,lR,(1)ab=a b=b a=ba;(2)(ab)c=(a b)c=(a b)c
7、=a(b c)=a(b c)=a(bc);(3)存在零元1R+,对任意aR+,有a1=a 1=a;(4)对任一元素aR+,存在负元素a-1R+,有aa1=a a1=1;(5)1a=a1=a;(6)k(l a)=kal=(al)k=ak l=(k l)a;(7)k(ab)=k(a b)=(a b)k=ak bk(8)(k+l)a=ak+l=ak al=akbk=kakb;所以,R+对所定义的运算构成线性空间.=ak al=ka l a.第6页/共13页对于通常的有序数组的加法及如下定义的数乘:(x1,x2,xn)T=(0,0,0)T不构成线性空间.例例7:n元实有序数组组成的全体元实有序数组组成
8、的全体 Sn=x=(x1,x2,xn)T|x1,x2,xn R 但1x=0 x,故不满足第(5)条运算规律.即所定义的运算不是线性运算,所以Sn不是线性空间.显然,Sn对运算封闭.二、线性空间的性质证明证明:假设假设01,02是线性空间是线性空间V中的两个中的两个零元素零元素.1.零元素是唯一的.则对任何V有,+01=,+02=,由于01,02V,则有则有 02+01=02,01+02=01.所以01=01+02=02+01=02.第7页/共13页则有则有 +=0,+=0,2.负元素是唯一的.证明:设的负元素为 与,所以=.=+0=+(+)=(+)+=(+)+=0+因此因此,将向量将向量 的负
9、元素记为的负元素记为.证明证明:因为因为 +0 =1 +0 3.0 =0;(1)=;0=0.则由零元素的唯一性得:0=0=.=1=(1+0)因为 +(1)=1+(1)=1+(1)=0=0.则由负元素的唯一性得:(1)=.0=+(1)=+()=0=0.=+()4.如果=0,则 =0 或 =0.证明证明:如果如果 0,又又那么,所以,=0.故结论成立.第8页/共13页三、线性空间的子空间 定义定义2:设设V是一个线性空间是一个线性空间,L是是V的一个非空子的一个非空子集集,如果如果L对于对于V中所定义的加法和数乘两种运算也构中所定义的加法和数乘两种运算也构成一个线性空间成一个线性空间,则称则称L为
10、为V的的子空间子空间.定理定理:线性空间线性空间V的非空子集的非空子集L构成子空间的充分构成子空间的充分必要条件是必要条件是:L对于对于V中的线性运算封闭中的线性运算封闭.证明证明:由于由于L是线性空间是线性空间V的子空间的子空间,则由定义知则由定义知,L对于对于V中的线性运算封闭中的线性运算封闭.反之反之,由于由于L是线性空间是线性空间V的非空子集的非空子集,则则L中的元中的元素必为素必为V中的元素中的元素.则L中的元素的线性运算就是V中元素在V中的运算,又由于L对于V中的线性运算封闭,因此因此,八条运算律中八条运算律中(1),(2),(5),(6),(7),(8)显然成立显然成立,故只需验
11、证故只需验证(3),(4)两条成立两条成立,即零元素即零元素0在在L中中,且且L中中元素的负元素也在元素的负元素也在L中中.第9页/共13页 对任意的对任意的 L,则则0 R,由运算的封闭性知由运算的封闭性知:0 L,而而0 =0,故故0 L,从而从而(3)成立成立.再由再由(1)R,则则(1)L,且且+(1)=0,所以所以 的负元素就是的负元素就是(1),从而从而(4)成立成立.所以L是线性空间V的子空间.例例8:线性空间线性空间R2 3的下列子集是否构成的下列子集是否构成R2 3的子的子空间空间?为什么为什么?解解(1):W1不构成子空间不构成子空间.因为对因为对1第10页/共13页有有即
12、W1对矩阵加法不封闭,故不构成R23的子空间.对任意对任意有有于是于是解解(2):因因故故W2非空非空.a1+b1+c1=0,a2+b2+c2=0,满足满足(a1+a2)+(b1+b2)+(c1+c2)=0,因此因此,有有A+B W2,即即W2对加法封闭对加法封闭.对任意的kR,有2 W1.第11页/共13页有有ka1+kb1+kc1=k(a1+b1+c1)=0,因此因此,有有kA W2,即即W2对数乘封闭对数乘封闭.从而,W2构成R23的子空间.四、小结线性空间的元素统称为“向量”,但它可以是通常的向量,也可以是矩阵,多项式,函数等各种各样的研究对象.线线性性空空间间是一个集合是一个集合;对所定义的加法及数乘运算封闭对所定义的加法及数乘运算封闭;所定义的加法及数乘符合线性运算.线性空间是二维线性空间是二维,三维几何空间及三维几何空间及n维向量空间的维向量空间的推广推广,它在理论上具有高度的它在理论上具有高度的抽象性抽象性和和概括性概括性.第12页/共13页感谢您的观看！第13页/共13页