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1、14.1地球椭球基本参数及其互相关系地球椭球基本参数及其互相关系 地球椭球是选择的旋转椭球,旋转椭球的形状和大小常用子午椭圆的五个基本几何参数(或称元素):):长半轴 短半轴 椭圆的扁率 椭圆的第一偏心率 椭圆的第二偏心率 通常用a,第1页/共199页2为简化书写，还常引入以下符号椭球基本参数及其互相关系第2页/共199页34.2 椭球面上常用坐标系及其关系椭球面上常用坐标系及其关系4.2.1 各种坐标系的建立各种坐标系的建立1、大地坐标系、大地坐标系大地经度B 大地纬度L 大地高H 第3页/共199页42、空间直角坐标系空间直角坐标系 坐标原点位于总地球椭球(或参考椭球)质心；Z Z轴与地球
2、平均自转轴相重合，亦即指向某一时刻的平均北极点；X X轴指向平均自转轴与平均格林尼治天文台所决定的子午面与赤道面的交点G G；Y Y轴与此平面垂直，且指向东为正。地心空间直角系与参心空间直角坐标系之分。常用坐标系及其关关系第4页/共199页53、子午面直角坐标系子午面直角坐标系 设P点的大地经度为L，在过P点的子午面上，以子午圈椭圆中心为原点，建立x,y平面直角坐标系。在该坐标系中，P点的位置用L,x,y表示。常用坐标系及其关系第5页/共199页64、地心纬度坐标系及归化纬度坐标系、地心纬度坐标系及归化纬度坐标系 设椭球面上P点的大地经度L，在此子午面上以椭圆中心O为原点建立地心纬度坐标系;以
3、椭球长半径a为半径作辅助圆，延长与辅助圆相交点，则OP与x轴夹角称为P点的归化纬度u。常用坐标系及其关系第6页/共199页7常用坐标系及其关系5 5、大地极坐标系、大地极坐标系 M是椭球面上一点，MN是过M的子午线，S为连接MP的大地线长，A为大地线在M点的方位角。以M为极点；MN为极轴；P点极坐标为（S,A)第7页/共199页8常用坐标系及其关系4.2.2 坐标系之间的相互关系坐标系之间的相互关系子午平面坐标系同大地坐标系的关系 第8页/共199页9常用坐标系及其关系 令:pn=N第9页/共199页10常用坐标系及其关系l空间直角坐标同子午面直角坐标系的关系空间直角坐标同子午面直角坐标系的关
4、系第10页/共199页11常用坐标系及其关系 l空间直角坐标系同大地坐标系空间直角坐标系同大地坐标系在椭球面上的点：在椭球面上的点：不在椭球面上的点：不在椭球面上的点：第11页/共199页12常用坐标系及其关系l由空间直角坐标计算相应大地坐标由空间直角坐标计算相应大地坐标第12页/共199页13B、u、之间的关系之间的关系 B和u之间的关系 常用坐标系及其关系第13页/共199页14常用坐标系及其关系n U、之间的关系之间的关系n、之间的关系之间的关系n 大地纬度、地心纬度、归化纬度之间的差异很小，经大地纬度、地心纬度、归化纬度之间的差异很小，经过计算，当过计算，当B=45时时第14页/共19
5、9页154.3 椭球面上的几种曲率半径椭球面上的几种曲率半径 过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线，包含这条法线的平面叫作 法截面法截面，法截面与椭球面的交线叫法截线法截线。子午圈曲率半径第15页/共199页16椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径第16页/共199页17椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径第17页/共199页18卯酉圈曲率半径(N)卯酉圈卯酉圈:过椭球面上一点的法线，可作无限个法截面，其中一个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截形成的闭合的圈称为卯酉圈。麦尼尔定理麦尼尔定理:假设通过曲面上一点引两条截弧，一为法截弧，一为斜截弧，且在该点上这两条截弧具有公共切
6、线，这时斜截弧在该点处的曲率半径等于法截弧的曲率半径乘以两截弧平面夹角的余弦。椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径第18页/共199页19椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径第19页/共199页20卯酉圈曲率半径的特点卯酉圈曲率半径的特点:卯酉圈曲率半径恰好等于法线介于椭球面和短轴之间的长度，亦即卯酉圈的曲率中心位在椭球的旋转轴上。椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径第20页/共199页21主曲率半径的计算主曲率半径的计算 以上讨论的子午圈曲率半径M M及卯酉圈曲率半径N N，是两个互相垂直的法截弧的曲率半径，这在微分几何中统称为主曲率半径。椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径
7、第21页/共199页22椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径第22页/共199页23椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径第23页/共199页24第24页/共199页25任意法截弧的曲率半径任意法截弧的曲率半径 椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径第25页/共199页26 任意法截弧的曲率半径的变化规律:不仅与点的纬度B有关，而且还与过该点的法截弧的方位角A有关。当时，变为计算子午圈曲率半径的，即；当90时，为卯酉圈曲率半径，即。主曲率半径M及N分别是的极小值和极大值。当A由090时，之值由，当A由90180时，值由N，可见值的变化是以90为周期且与子午圈和卯酉圈对称的。椭球面上几种
8、曲率半径椭球面上几种曲率半径第26页/共199页27l 平均曲率半径平均曲率半径 椭球面上任意一点的平均曲率半径 R R 等于该点子午圈曲率半径M M和卯酉圈曲率半径N N的几何平均值。椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径第27页/共199页28M，N，R的关系 椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径第28页/共199页29对于克拉索夫斯基椭球椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径第29页/共199页304.4 椭球面上的弧长计算椭球面上的弧长计算子午线弧长计算公式子午线弧长计算公式 第30页/共199页31椭球面上的弧长计算椭球面上的弧长计算第31页/共199页32椭球面上几种曲率半
9、径椭球面上几种曲率半径第32页/共199页33如果以B B9090代入，则得子午椭圆在一个象限内的弧长约为10 10 002 002 137137m m。旋转椭球的子午圈的整个弧长约为40 40 008 008 549.995549.995m m。即一象限子午线弧长约为10 00010 000kmkm，地球周长约为40 00040 000kmkm。为求子午线上两个纬度B及间的弧长，只需按(11.42)式分别算出相应的X及X，而后取差：，该即为所求的弧长。当弧长甚短(例如X40kmX40km，计算精度到0.0010.001m)m)，可视子午弧为圆弧，而圆的半径为该圆弧上平均纬度点的子午圈的曲率半
10、径M M 椭球面上的弧长计算椭球面上的弧长计算第33页/共199页34由子午弧长求大地纬度 迭代解法:平行圈弧长公式 椭球面上的弧长计算椭球面上的弧长计算第34页/共199页35椭球面上的弧长计算椭球面上的弧长计算 子午线弧长和平行圈弧长变化的比较子午线弧长和平行圈弧长变化的比较第35页/共199页364.5 大地线大地线 两点间的最短距离，在平面上是两点间的直线，在球面上是两点间的大圆弧，那么在椭球面上又是怎样的一条线呢?它应是大地线。相对法截线相对法截线 第36页/共199页37相对法截线相对法截线 大地线大地线第37页/共199页38相对法截线的特点相对法截线的特点:当A，B两点位于同一
11、子午圈或同一平行圈上时，正反法截线则合二为一。在通常情况下，正反法截线是不重合的。因此在椭球面上A，B，C三个点处所测得的角度(各点上正法截线之夹角)将不能构成闭合三角形。为了克服这个矛盾，在两点间另选一条单一的大地线代替相对法截线，从而得到由大地线构成的单一的三角形。大地线大地线第38页/共199页39大地线大地线大地线的定义和性质大地线的定义和性质椭球面上两点间的最短程曲线叫椭球面上两点间的最短程曲线叫大地线大地线。第39页/共199页40 大地线的性质大地线的性质:大地线是两点间惟一最短线，而且位于相对法截线之间，并靠近正法截线，它与正法截线间的夹角 在椭球面上进行测量计算时，应当以两点
12、间的大地线为依据。在地面上测得的方向、距离等，应当归算成相应大地线的方向、距离。长度差异可忽略,方向差异需改化。大地线大地线第40页/共199页41大地线的微分方程和克莱劳方程大地线的微分方程和克莱劳方程 大地线的微分方程大地线的微分方程第41页/共199页42大地线的微分方程大地线的微分方程第42页/共199页43大地线的微分方程大地线的微分方程大地线的克莱劳方程大地线的克莱劳方程 在旋转椭球面上，大地线各点的平行圈半径在旋转椭球面上，大地线各点的平行圈半径与大地线在该点的大地方位角的正弦的乘积等于与大地线在该点的大地方位角的正弦的乘积等于常数。式中常数常数。式中常数C也叫大地线常数也叫大地
13、线常数 第43页/共199页44当大地线穿越赤道时当大地线达极小平行圈时由克莱劳方程可以写出 第44页/共199页454.6 将地面观测值归算至椭球面将地面观测值归算至椭球面 观测的基准线不是各点相应的椭球面的法线，而是各点的垂线，各点的垂线与法线存在着垂线偏差。归算的两条基本要求：以椭球面的法线为基准；将地面观测元素化为椭球面上大地线的相应元素。将地面观测的水平方向归算至椭球面将地面观测的水平方向归算至椭球面 将水平方向归算至椭球面上，包括垂线偏差改正、标高差改正及截面差改正，习惯上称此三项改正为三差改正三差改正。第45页/共199页46垂线偏差改正垂线偏差改正 以测站A为中心作出单位半径的
14、辅助球,u是垂线偏差，它在子午圈和卯酉圈上的分量分别以,表示，M是地面观测目标m在球面上的投影。垂线偏差对水平方向的影响是(R-R1)地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面第46页/共199页47标高差改正 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面第47页/共199页48截面差改正截面差改正 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面第48页/共199页49 将地面观测的长度归算至椭球面将地面观测的长度归算至椭球面 基线尺量距的归算基线尺量距的归算 将基线尺量取的长度加上测段倾斜改正后，可以认为它是基线平均高程面上的长度，以表示，现要把它归算至参考椭球面上的大地线长度S。1.1.垂
15、线偏差对长度归算的影响垂线偏差对长度归算的影响 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面第49页/共199页502.高程对长度归算的影响高程对长度归算的影响 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面第50页/共199页51电磁波测距的归算电磁波测距的归算 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面第51页/共199页52地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面第52页/共199页53 大地测量主题解算4.7.1 大地主题解算的一般说明大地主题解算的一般说明 主题解算分为:短距离(400(400kmkm)中距离(1000(1000km)km)长距离(1000(1000kmkm以上)
16、第53页/共199页541.以大地线在大地坐标系中的微分方程为基础，以大地线在大地坐标系中的微分方程为基础，直接在地球椭球面上进行积分运算。直接在地球椭球面上进行积分运算。主要特点：解算精度与距离有关，距离越长，收敛越慢，因此只适用于较短的距离 典型解法：高斯平均引数法高斯平均引数法 大地测量主题解算第54页/共199页552.以白塞尔大地投影为基础以白塞尔大地投影为基础1)1)按椭球面上的已知值计算球面相应值，即实现椭球面 向球面的过渡；2)2)在球面上解算大地问题；3)3)按球面上得到的数值计算椭球面上的相应数值，即实现从圆球向椭球的过渡。典型解法：白塞尔大地主题解算白塞尔大地主题解算 特
17、点：特点：解算精度与距离长短无关，它既适用于短距解算精度与距离长短无关，它既适用于短距离解算，也适用于长距离解算。可适应离解算，也适用于长距离解算。可适应20 00020 000kmkm或或更长的距离，这对于国际联测，精密导航，远程导弹更长的距离，这对于国际联测，精密导航，远程导弹发射等都具有重要意义。发射等都具有重要意义。大地测量主题解算第55页/共199页564.7.2 勒让德级数式勒让德级数式 为了计算 的级数展开式，关键问题是推求各阶导数。大地测量主题解算第56页/共199页57一阶导数：一阶导数：二阶导数：二阶导数：大地测量主题解算第57页/共199页58三阶导数三阶导数 大地测量主
18、题解算第58页/共199页59 大地测量主题解算第59页/共199页60 大地测量主题解算第60页/共199页61 大地测量主题解算第61页/共199页624.7.3 高高斯斯平平均均引引数数正正算算公公式式 高高斯斯平平均均引引数数正正算算公公式式推推导的基本思想：导的基本思想：首先把勒让德级数在 P P点展开改在大地线长度中点M M展开，以使级数公式项数减少，收敛快，精度高；其次，考虑到求定中点 M M 的复杂性，将 M M 点用大地线两端点平均纬度及平均方位角相对应的 m m 点来代替，并借助迭代计算便可顺利地实现大地主题正解。大地测量主题解算第62页/共199页63(1)建立级数展开式
19、建立级数展开式:大地测量主题解算第63页/共199页64同理可得同理可得:(2)大地测量主题解算第64页/共199页65 大地测量主题解算第65页/共199页66 大地测量主题解算(3)由大地线微分方程依次求偏导数由大地线微分方程依次求偏导数:第66页/共199页68大地测量主题解算第68页/共199页69同理可得：大地测量主题解算第69页/共199页70 注意：从公式可知，欲求，及，必先有及。但由于2和21未知，故精确值尚不知，为此须用逐次趋近的迭代方法进行公式的计算。除此之外，此方法适合与200公里以下的大地问题解算，其计算经纬计算精度可达到0.0001”,方位角计算精度可达到0.001”
20、。第70页/共199页714.7.4 高斯平均引数反算公式高斯平均引数反算公式 高斯平均引数反算公式可以依正算公式导出:上述两式的主式为:第71页/共199页72第72页/共199页73已知：求得：第73页/共199页744.7.5 白塞尔大地主题解算方白塞尔大地主题解算方法法 白塞尔法解算大地主题的基本思想白塞尔法解算大地主题的基本思想:以辅助球面为基础以辅助球面为基础,将椭球面三角形转换将椭球面三角形转换为辅助球面的相应三角形为辅助球面的相应三角形,由三角形对应元素关由三角形对应元素关系系,将椭球面上的大地元素按照白塞尔投影条件将椭球面上的大地元素按照白塞尔投影条件投影到辅助球面上，然后在
21、球面上进行大地主投影到辅助球面上，然后在球面上进行大地主题解算，最后再将球面上的计算结果换算到椭题解算，最后再将球面上的计算结果换算到椭球面上。球面上。这种方法的关键问题是找出椭球面上的大地元素与球面上相应元素之间的关系式,同时也要解决在球面上进行大地主题解算的方法。第74页/共199页75在球面上进行大地主题解算在球面上进行大地主题解算 球面上大地主题正算:已知 求解 球面上大地主题反算:已知 求解第75页/共199页761、球面三角元素间的相互关系、球面三角元素间的相互关系第76页/共199页77 球面上大地主题正解第77页/共199页78 球面上大地主题反解方法球面上大地主题反解方法 第
22、78页/共199页792 2 、椭球面和球面上坐标关系式、椭球面和球面上坐标关系式第79页/共199页80在椭球面上与单位球面上的大地线微分方程为在椭球面上与单位球面上的大地线微分方程为:第80页/共199页81白塞尔提出如下三个投影条件：白塞尔提出如下三个投影条件：1.1.椭球面大地线投影到球面上为大圆弧椭球面大地线投影到球面上为大圆弧2.2.大地线和大圆弧上相应点的方位角相等；大地线和大圆弧上相应点的方位角相等；3.3.球球面面上上任任意意一一点点纬纬度度等等于于椭椭球球面面上上相相应应点点的的归化纬度归化纬度。第81页/共199页82第82页/共199页83以上为白塞尔微分方程以上为白塞
23、尔微分方程.第83页/共199页84 3 、白塞尔微分方程的积分白塞尔微分方程的积分第84页/共199页85第85页/共199页86积分得到下式：第86页/共199页87反算反算:正算正算:迭代法迭代法:直接法:第87页/共199页88适合于反算:适合于正算:迭代法:直接法:第88页/共199页89第89页/共199页90将三角函数幂级数用倍角函数代替，合并同类项，积分。截去4倍角项，其值小于0.0001秒。第90页/共199页91正算：正算：反算：反算：第91页/共199页924 白塞尔法大地主题正算步白塞尔法大地主题正算步骤骤 1.计算起点的归化纬度计算起点的归化纬度2.计算辅助函数值，解
24、球面三角形可得计算辅助函数值，解球面三角形可得:3.3.按公式计算相关系数按公式计算相关系数A,B,CA,B,C以及以及,第92页/共199页934.计算球面长度计算球面长度 迭代法:直接法:第93页/共199页945.计算经度差改正数计算经度差改正数6.计算终点大地坐标及大地方位角计算终点大地坐标及大地方位角 第94页/共199页95第95页/共199页965 白塞尔法大地主题反算步白塞尔法大地主题反算步骤骤 1.1.辅助计算辅助计算第96页/共199页972.用用逐逐次次趋趋近近法法同同时时计计算算起起点点大大地地方方位位角角、球球面面长长度度及经差及经差 ，第一次趋近时，取第一次趋近时，
25、取。第97页/共199页98计算下式计算下式,重复上述计算过程重复上述计算过程2.3.计算大地线长度计算大地线长度S 4.计算反方位角计算反方位角第98页/共199页99第99页/共199页100第100页/共199页1014.8 地图数学投影变换的基本概念地图数学投影变换的基本概念 1、地图数学投影变换的意义和投影方程、地图数学投影变换的意义和投影方程 所谓地图数学投影，简略地说来就是将椭球面上元素所谓地图数学投影，简略地说来就是将椭球面上元素(包括坐标，方位和距离包括坐标，方位和距离)按一定的数学法则投影到平按一定的数学法则投影到平面上，研究这个问题的专门学科叫地图投影学。面上，研究这个问
26、题的专门学科叫地图投影学。投影变换的基本概念第101页/共199页102 2、地图投影的变形1.长度比:长度比m就是投影面上一段无限小的微分线段ds，与椭球面上相应的微分线段dS二者之比。不同点上的长度比不相同，而且同一点上不同方向的长度比也不相同 投影变换的基本概念第102页/共199页1032.主方向和变形椭圆主方向和变形椭圆 投影后一点的长度比依方向不同而变化。其中最大及最小长度比的方向，称为主方向。在椭球面的任意点上，必定有一对相互垂直的方向，它在平面上的投影也必是相互垂直的。这两个方向就是长度比的极值方向，也就是主方向。投影变换的基本概念第103页/共199页104 投影变换的基本概
27、念 以定点为中心，以长度比的数值为向径，构成以两个长以定点为中心，以长度比的数值为向径，构成以两个长度比的极值为长、短半轴的椭圆，称为变形椭圆。度比的极值为长、短半轴的椭圆，称为变形椭圆。第104页/共199页105 3.投影变形 1 1）长度变形 投影变换的基本概念第105页/共199页1062）方向变形 投影变换的基本概念第106页/共199页1073）角度变形：角度变形就是投影前的角度u u 与投影后对应角度uu之差 投影变换的基本概念第107页/共199页1084）面积变形：P-1P-14.8.3 4.8.3 地图投影的分类1.1.按变形性质分类按变形性质分类1 1）等角投影：投影前后
28、的角度不变形，投影的长度比与方向无关，即某点的长度比是一个常数，又把等角投影称为正形投影。2）等积投影：投影前后的面积不变形.3）任意投影：既不等角，又不等积.投影变换的基本概念第108页/共199页1092.按经纬网投影形状分类按经纬网投影形状分类 1）方位投影方位投影 取一平面与椭球极点相切，将极点附近区域投影在该平面上。纬线投影后为以极点为圆心的同心圆，而经线则为它的向径，且经线交角不变。Light Source投影变换的基本概念第109页/共199页110 2）圆锥投影圆锥投影:取一圆锥面与椭球某条纬线相切，将纬圈附近的区域投影于圆锥面上，再将圆锥面沿某条经线剪开成平面。Standar
29、d LineTrue Length Exaggerated投影变换的基本概念第110页/共199页1113）圆柱圆柱(或椭圆柱或椭圆柱)投影投影 取圆柱(或椭圆柱)与椭球赤道相切，将赤道附近区域投影到圆柱面(或椭圆柱面)上，然后将圆柱或椭圆柱展开成平面。Standard LineTrue Length Exaggerated投影变换的基本概念第111页/共199页1123.3.按投影面和原面的相对位置关系分按投影面和原面的相对位置关系分类类1)1)正轴投影：圆锥轴(圆柱轴)与地球自转轴相重合的投影，称正轴圆锥投影或正轴圆柱投影。2)2)斜轴投影：投影面与原面相切于除极点和赤道以外的某一位置所得
30、的投影。3)3)横轴投影：投影面的轴线与地球自转轴相垂直，且与某一条经线相切所得的投影。比如横轴椭圆柱投影等。除此之外，投影面还可以与地球椭球相割于两条标准线，这就是所谓割圆锥，割圆柱投影等。投影变换的基本概念第112页/共199页1134.9 高斯平面直角坐标系 1、高斯投影概述v 控制测量对地图投影的要求 （1）采用等角投影(又称为正形投影)（2）长度和面积变形不大 （3）能按高精度的、简单的、同样的计算公式把各区域联成整体 v 高斯投影描述 高斯平面直角坐标系第113页/共199页114高斯平面直角坐标系 想象有一个椭圆柱面横套在地球椭球体外面，并与某想象有一个椭圆柱面横套在地球椭球体外
31、面，并与某一条子午线一条子午线(此子午线称为中央子午线或轴子午线此子午线称为中央子午线或轴子午线)相切，相切，椭圆柱的中心轴通过椭球体中心，然后用一定投影方法，椭圆柱的中心轴通过椭球体中心，然后用一定投影方法，将中央子午线两侧各一定经差范围内的地区投影到椭圆柱将中央子午线两侧各一定经差范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱面展开即成为投影面面上，再将此柱面展开即成为投影面。第114页/共199页115投影带：投影带：以中央子午线为轴，两边对称划出一定区域作为投影范围；1）分带原则 （1）限制长度变形使其不大于测图误差；（2）带数不应过多以减少换带计算工作。l 我国规定按经差6和3进行投影分带。
32、高斯平面直角坐标系2）分带方法第115页/共199页116高斯平面直角坐标系 6带带:自自0子午线起每隔经差子午线起每隔经差6自西向东分带，依次自西向东分带，依次编号编号1，2，3，60。我国。我国6带中央子午线的经度，由带中央子午线的经度，由73起每隔起每隔6而至而至135，共计，共计11带，带号用带，带号用n表示，中央子午线表示，中央子午线的经度用的经度用表示。表示。带号及中央子午线经度的关系：带号及中央子午线经度的关系：3带带:自东经自东经1.5子午线起，每隔子午线起，每隔3设立一个投影带，设立一个投影带，依次编号为依次编号为1，2，3，120带；中央子午线经度依次带；中央子午线经度依次
33、为为3,6,9,360。带号及中央子午线经度的关系：带号及中央子午线经度的关系：第116页/共199页117 .5带或任意带带或任意带:工程测量控制网也可采用.5带或任意带，但为了测量成果的通用，需同国家6或3带相联系。n=L/3(四舍五入)3高斯平面直角坐标系第117页/共199页118高斯平面直角坐标系例：某控制点 P 点按3带：按6带：第118页/共199页119 在投影面上，中央子午线和赤道的投影都是直线，并且以中央子午线和赤道的交点O作为坐标原点，以中央子午线的投影为纵坐标轴，以赤道的投影为横坐标轴。高斯平面直角坐标系第119页/共199页120 6带与3带的区别与联系区别 6带：从
34、 0子午线起划分，带宽6，用于中小比例尺（1：25000以下）测图；3带：从 1.5子午线起划分，带宽3，用于大比例尺（如1：10000）测图。3带是在6带的基础上划分的，6带的中央子午线及分带子午线均作为3带的中央子午线，其奇数带的中央子午线与6带中央子午线重合，偶数带与分带子午线重合。高斯平面直角坐标系第120页/共199页121高斯平面直角坐标系l国家统一坐标国家统一坐标在我国在我国x坐标都是正的，坐标都是正的，y坐标的最大值坐标的最大值(在赤道上在赤道上)约为约为330km。为了避免出现负的横坐标，规定在横坐标上加为了避免出现负的横坐标，规定在横坐标上加上上500 000m。此外还应在
35、坐标前面再冠以带号。这种坐此外还应在坐标前面再冠以带号。这种坐标称为标称为国家统一坐标国家统一坐标。例如：例如：Y=19 123 456.789m该点位在该点位在19带内，横坐标的真值：首先去掉带号，再带内，横坐标的真值：首先去掉带号，再减去减去 500 000m，最后得最后得 y=-376 543.211(m)。第121页/共199页122高斯平面直角坐标系分带存在的问题？边界子午线两侧的控制点与地形图位于不同的投影带内，使得地形图不能正确拼接，采用带重叠的方法解决此问题。第122页/共199页123高斯投影特点：正形投影，保证了投影的角度的不变性，图形的相似性以及在某点各方向上的长度比的同
36、一性。由于采用了同样法则的分带投影，这既限制了长度变形，又保证了在不同投影带中采用相同的简便公式和数表进行由于变形引起的各项改正的计算，并且带与带间的互相换算也能用相同的公式和方法进行。高斯平面直角坐标系第123页/共199页1242、椭球面元素化算到高斯投影面、椭球面元素化算到高斯投影面第124页/共199页125 3)将椭球面上各三角形内角归算到高斯平面上的由相应直线组成的三角形内角。这是通过计算方向的曲率改化即方向改化来实现的。椭球面三角系归算到高斯投影面的计算椭球面三角系归算到高斯投影面的计算 1）将起始点）将起始点P的大地坐标的大地坐标(L，B)归算为高斯平面归算为高斯平面直角坐标直
37、角坐标 x,y；为了检核还应进行反算，亦即根据为了检核还应进行反算，亦即根据 x,y反算反算B，L，这项工作统称为这项工作统称为高斯投影坐标计算高斯投影坐标计算。2）将椭球面上起算边大地方位角归算到高斯平面）将椭球面上起算边大地方位角归算到高斯平面上相应边上相应边PK的坐标方位角，这是通过计算该点的的坐标方位角，这是通过计算该点的子子午线收敛角午线收敛角及及方向改化方向改化实现的。实现的。第125页/共199页126 因此将椭球面三角系归算到平面上，包括坐标、曲率改化、距离改化和子午线收敛角等项计算工作。当控制网跨越两个相邻投影带，以及为将各投影带联成统一的整体，还需要进行平面坐标的邻带换算。
38、4)将椭球面上起算边将椭球面上起算边PK的的长度长度S归算归算到高斯平面到高斯平面上的直线长度上的直线长度s。这是通过计算距离改化这是通过计算距离改化实现的。实现的。第126页/共199页127正形投影的一般条件4.9.2 正形投影的一般条件正形投影的一般条件1、长度比的通用公式、长度比的通用公式第127页/共199页128正形投影的一般条件第128页/共199页129正形投影的一般条件将上述两式代入（将上述两式代入（4-334）式，整理，令）式，整理，令第129页/共199页130正形投影的一般条件第130页/共199页131正形投影的一般条件2、柯西、柯西.黎曼条黎曼条件件第131页/共1
39、99页132正形投影的一般条件正形条件正形条件m m与与A A无关，即满足：无关，即满足：第132页/共199页133正形投影的一般条件则有：则有：柯西柯西-黎曼条件黎曼条件第133页/共199页134正形投影的一般条件考虑到考虑到F=0，E=G，长度比公式简化为，长度比公式简化为第134页/共199页135把 代入（4-347），考虑下式正形投影的一般条件第135页/共199页136柯西-黎曼条件的另一种解释方法正形投影的一般条件第136页/共199页137正形投影的一般条件l如果点在子午线上：如果点在子午线上：L=常数，常数，dl=0l如果点在平行圈上：如果点在平行圈上：B=常数常数 dB
40、=0第137页/共199页138正形投影的一般条件 三角形三角形ABB与与ACC相似相似第138页/共199页139高斯投影坐标正算4.9.3 高斯投影坐标正反算公式高斯投影坐标正反算公式1、高斯投影坐标正算公式、高斯投影坐标正算公式 高斯投影必须满足以下三个条件：高斯投影必须满足以下三个条件：(1)中央子午线投影后为直线；中央子午线投影后为直线；(2)中央子午线投影后长度不变；中央子午线投影后长度不变；(3)投影具有正形性质，即正形投影条件。投影具有正形性质，即正形投影条件。高斯投影坐标正算公式推导如下：高斯投影坐标正算公式推导如下：第139页/共199页140高斯投影坐标正算1)由由第一个
41、条件第一个条件可知，由于地球椭球体是一个旋转椭球可知，由于地球椭球体是一个旋转椭球体，即中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午体，即中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线。线。x为为l的偶函数，而的偶函数，而y则为则为l的奇函数。的奇函数。2)由由第三个条件第三个条件正形投影条件正形投影条件第140页/共199页141由恒等式两边对应系数相等，建立求解待定系数的递推公式高斯投影坐标正算第141页/共199页142高斯投影坐标正算m0=?)由第二条件由第二条件可知，位于中央子午线上的点，投影可知，位于中央子午线上的点，投影后的纵坐标后的纵坐标 x 应该等于投影前从赤道量至该点的子应该等
42、于投影前从赤道量至该点的子午弧长。午弧长。即当即当 l=0 时时,第142页/共199页143高斯投影坐标正算第143页/共199页144高斯投影坐标正算将各系数代入，略去高次项，精度为将各系数代入，略去高次项，精度为0.001m第144页/共199页145高斯投影坐标反算2、高斯投影坐标反算公式、高斯投影坐标反算公式 在高斯投影坐标反算时，原面是高斯平面，投影面在高斯投影坐标反算时，原面是高斯平面，投影面是椭球面，已知的是平面坐标是椭球面，已知的是平面坐标(x,y)，要求的是大地坐要求的是大地坐标标(B，L)，相应地有如下投影方程：相应地有如下投影方程：同正算一样，对投影函数提出三个条件。同
43、正算一样，对投影函数提出三个条件。第145页/共199页146高斯投影坐标反算1)由由第一个条件第一个条件可知可知2)由由第三个条件，正形条件第三个条件，正形条件第146页/共199页147高斯投影坐标反算第147页/共199页148高斯投影坐标反算3)由第二条件由第二条件依次求各系数依次求各系数因为因为所以所以第148页/共199页149高斯投影坐标反算第149页/共199页150高斯投影坐标反算第150页/共199页151高斯投影几何解释3、高斯投影正反算公式的几何解释、高斯投影正反算公式的几何解释第151页/共199页152高斯投影几何解释第152页/共199页153高斯投影的特点高斯投
44、影的特点高斯投影的特点(1)当当l等于常数时，随着等于常数时，随着B的增的增加加x值增大，值增大，y值减小；无论值减小；无论B值为正值为正或负，或负，y值不变。这就是说，椭球面值不变。这就是说，椭球面上除中央子午线外，其他子午线投上除中央子午线外，其他子午线投影后，均向中央子午线弯曲，并向影后，均向中央子午线弯曲，并向两极收敛，同时还对称于中央子午两极收敛，同时还对称于中央子午线和赤道。线和赤道。第153页/共199页154高斯投影的特点(2)当当B等于常数时，随着等于常数时，随着l的增加，的增加，x值和值和y值值都增大。所以在椭球面上对称于赤道的纬圈，投影都增大。所以在椭球面上对称于赤道的纬
45、圈，投影后仍成为对称的曲线，同时与子午线的投影曲线互后仍成为对称的曲线，同时与子午线的投影曲线互相垂直凹向两极。相垂直凹向两极。(3)距中央子午线愈远的子午线，投影后弯曲距中央子午线愈远的子午线，投影后弯曲愈厉害，长度变形也愈大。愈厉害，长度变形也愈大。第154页/共199页1554.9.4高斯投影坐标计算算例高斯投影坐标计算算例1)WGS84(6378137,298.257223563)A001 2463376.6502 49592.07212)GDZ80(6378140,298.257)A001 2463377.7973 49592.09553)BJ54 (6378245,298.3)A0
46、01 2463420.5657 49592.9084A001：第155页/共199页156平面子午线收敛角4.9.5 平面子午线收敛角公式平面子午线收敛角公式 1、平面子午线收敛角的定义、平面子午线收敛角的定义第156页/共199页1572、公式推导 1）由大地坐标L、B计算平面子午线收敛角的公式 平面子午线收敛角第157页/共199页158(1)(1)为l l的奇函数，而且l l愈大，也愈大；(2)(2)有正负，当描写点在中央子午线以东时，为正；在西时，为负；(3)(3)当l l不变时，则随纬度增加而增大平面子午线收敛角第158页/共199页159平面子午线收敛角2.平面坐标平面坐标 x,y
47、 计算平面子午线收敛角计算平面子午线收敛角的公式的公式第159页/共199页160方向改化公式4.9.6 方向改化公式方向改化公式第160页/共199页161方向改化公式1、方向改化近似公式的推导、方向改化近似公式的推导 在球面上四边形在球面上四边形ABED的内角之和等于的内角之和等于360+由于是等角投影，所以这两个四边形内角之和应该由于是等角投影，所以这两个四边形内角之和应该相等，即相等，即第161页/共199页162方向改化公式第162页/共199页163方向改化较精密公式 方向改化公式第163页/共199页164方向改化公式第164页/共199页1654.9.7 距离改化公式距离改化公
48、式第165页/共199页1661)s与与D的关系的关系第166页/共199页167当取最大40，s=50km时，代入上式得。因此，用D代替s在最不利情况下，误差也不会超过1mm。而实际上，边长要比50km短得多，此时误差将会更小。所以在应用上，完全可以认为大地线的平面投影曲线的长度s等于其弦线长度D 第167页/共199页1682、长度比和长度变形、长度比和长度变形1）用大地坐标）用大地坐标(B,l)表示的长度比表示的长度比m的公式的公式第168页/共199页1692）用平面坐标）用平面坐标(x,y)表示的长度比表示的长度比m的公式的公式第169页/共199页170(1)长度比长度比m只与点的
49、位置只与点的位置(B，l)或或(x,y)有关。有关。(2)中央子午线投影后长度不变。中央子午线投影后长度不变。(3)当当y0(或或l)时，时，m恒大于恒大于1。(4)长度变形长度变形(m-1)与与y（或或l）成比例地增大成比例地增大,而对某而对某一条子午线来说，在赤道处有最大的变形一条子午线来说，在赤道处有最大的变形。第170页/共199页1713、距离改化公式、距离改化公式 将椭球面上大地线长度将椭球面上大地线长度S描写在高斯投影面上，变为描写在高斯投影面上，变为平面长度平面长度D。第171页/共199页1724.9.8 高斯投影的邻带坐标换算高斯投影的邻带坐标换算(1)位于两个相邻带边缘地
50、区并跨越两个投影带位于两个相邻带边缘地区并跨越两个投影带(东、西东、西带带)的控制网的控制网 第172页/共199页173邻带换算方法：邻带换算方法：(2)在分界子午线附近地区测图时，往往需要用到另在分界子午线附近地区测图时，往往需要用到另一带的三角点作为控制，因此必须将这些点的坐标换算一带的三角点作为控制，因此必须将这些点的坐标换算到同一带中到同一带中 (3)当大比例尺当大比例尺(1 10 000或更大或更大)测图时，特别是测图时，特别是在工程测量中，要求采用在工程测量中，要求采用3带、带、1.5带或任意带，而国带或任意带，而国家控制点通常只有家控制点通常只有6带坐标，这时就产生了带坐标，这