数值分析第六章插值法.pptx

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1、插值法的基本原理插值法的基本原理设函数设函数y=y=f(x)定义在区间定义在区间 a,b 上上,是是 a,b 上上 取取 定定 的的 n+1个个 互互 异异 节节 点点,且且 在在 这这 些些 点点 处处 的的 函函 数数 值值 为为已已知知 ,即即 若若存存在在一一个个f(x)的近似函数的近似函数 ,满足满足则称则称 为为f(x)的一个的一个插值函数插值函数,f(x)为为被插函数被插函数,点点xi为为插值节点插值节点,称称(6.1)6.1)式为式为插值条件插值条件,而误差函数而误差函数R(x)=称为称为插值余项插值余项,区间区间 a,b 称为称为插值插值区间区间,插值点在插值区间内的称为插值

2、点在插值区间内的称为内插内插,否则称否则称外插外插(6.1)6.1)第1页/共81页插值函数插值函数 在在n+1个互异插值节点个互异插值节点 (i=0,1,n)处与处与 相等相等,在其它点在其它点x就用就用 的值作为的值作为f(x)的近似值。这一过程称为的近似值。这一过程称为插值插值，点，点x称为插值点。换称为插值点。换句话说句话说,插值就是根据被插函数给出的函数表插值就是根据被插函数给出的函数表“插出插出”所要点的函数值。用所要点的函数值。用 的值作为的值作为f(x)的近似值的近似值,不仅希不仅希望望 能较好地逼近能较好地逼近f(x),而且还希望它计算简单而且还希望它计算简单。由于由于代数多

3、项式代数多项式具有数值计算和理论分析方便的优点。所以具有数值计算和理论分析方便的优点。所以本章主要介绍代数插值。即求一个次数不超过本章主要介绍代数插值。即求一个次数不超过n n次的多项次的多项式。式。第2页/共81页满足满足 则称则称P(x)P(x)为为f(x)f(x)的的n n次插值多项式。这种插值法通常称为次插值多项式。这种插值法通常称为代数插值法。其几何意义如下图所示代数插值法。其几何意义如下图所示 第3页/共81页定理定理6.1 n次代数插值问题的解是存在且惟一的次代数插值问题的解是存在且惟一的 证明证明:设设n n次多项式次多项式 是函数是函数 在区间在区间 a,ba,b上的上的n+

4、1n+1个互异的节点个互异的节点 (i=0,1,2,i=0,1,2,n),n)上的插值多项式上的插值多项式,则求插值多项式则求插值多项式P(x)P(x)的问题就归结为求它的系数的问题就归结为求它的系数 (i=0,1,2,i=0,1,2,n),n)。由插值条件由插值条件:(:(i=0,1,2,i=0,1,2,n),n),可得可得 第4页/共81页 这是一个关于待定参数这是一个关于待定参数 的的n+1阶线性方阶线性方程组程组,其系数矩阵行列式为其系数矩阵行列式为 称为称为Vandermonde（范德蒙）行列式，因范德蒙）行列式，因xixj（当当ij），），故故V0。根据解线性方程组的克莱姆根据解线

5、性方程组的克莱姆（Gramer）法则，方程组的解法则，方程组的解 存在惟一，从而存在惟一，从而P(x)P(x)被惟一确定。被惟一确定。惟一性说明，不论用何种方法来构造，也不论用何种惟一性说明，不论用何种方法来构造，也不论用何种形式来表示插值多项式形式来表示插值多项式,只要满足插值条件只要满足插值条件(6.1)6.1)其结其结果都是相互恒等的。果都是相互恒等的。第5页/共81页6.3 拉格朗日（拉格朗日（Lagrange）插值插值 为为了了构构造造满满足足插插值值条条件件 (i=0,1,2,n)的便于使用的插值多项式的便于使用的插值多项式P(x),P(x),先考察几种简单情形先考察几种简单情形,

6、然后再推广到一般形式。（然后再推广到一般形式。（线性插值与抛物插值）线性插值与抛物插值）（1）线性插值）线性插值线性插值是代数插值的最简单形式。假设给定了函数线性插值是代数插值的最简单形式。假设给定了函数f(x)f(x)在两个互异的点的值，在两个互异的点的值，,现要求用线性函数现要求用线性函数 近似地代替近似地代替f(x)f(x)。选选择参数择参数a和和b,使使 。称这样的线性函数。称这样的线性函数P(x)P(x)为为f(x)f(x)的线性插值函数的线性插值函数。第6页/共81页线性插值的几何意义线性插值的几何意义:用用通过点通过点 和和 的直线近似地代替曲线的直线近似地代替曲线 y=f(x)

7、=f(x)由解析几何知道由解析几何知道,这条直线用点斜式表示为这条直线用点斜式表示为 为了便于推广，记为了便于推广，记 这是一次函这是一次函数数,且有性质且有性质 第7页/共81页 与与 称为线性插值基函数。且有称为线性插值基函数。且有 于是线性插值函数可以表示为与基函数的线性组合于是线性插值函数可以表示为与基函数的线性组合 例例6.1 6.1 已知已知 ,求求 解解:这里这里x0=100，y0=10，x1=121，y1=11,利用线性插值利用线性插值 第8页/共81页拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式 两个插值点可求出一次插值多项式两个插值点可求出一次插值多项式,而三而三个插值点可求出二次

8、插值多项式。插值点增加到个插值点可求出二次插值多项式。插值点增加到n+1个时个时,也就是通过也就是通过n+1个不同的已知点个不同的已知点,来构造一个次数为来构造一个次数为n的代数多项式的代数多项式P(x)。与推导线性插与推导线性插值的基函数类似值的基函数类似,先构造一个特殊先构造一个特殊n次多项式次多项式 的插的插值问题值问题,使其在各节点使其在各节点 上满足上满足 即即 由条件由条件 ()()知知,都是都是n n次次 的零点的零点,故可设故可设 第9页/共81页其中其中 为待定常数。由条件为待定常数。由条件 ,可求得可求得 于是于是 代入上式,得称称 为关于基点为关于基点 的的n n次插值基

9、函数次插值基函数(i=0,1,i=0,1,n),n)第10页/共81页以以n+1个个n次基本插值多项式次基本插值多项式为基础为基础,就能直接写出满足插值条件就能直接写出满足插值条件的的n次代数插值多项式。次代数插值多项式。事实上，由于每个插值基函数事实上，由于每个插值基函数都是都是n次值多项式次值多项式,所以他们的线性组合所以他们的线性组合是次数不超过是次数不超过n n次的多项式次的多项式,称形如（称形如（6.8）式的插）式的插值多项式为值多项式为n次拉格朗日插值多项式。并记为次拉格朗日插值多项式。并记为 （6.8）第11页/共81页第12页/共81页例例6.2 已知已知y=f(x)的函数表的

10、函数表 求线性插值多项式求线性插值多项式,并计算并计算x=1.5 的值的值X 1 3 y 1 2解解:由线性插值多项式公式得由线性插值多项式公式得第13页/共81页例6.3 已知x=1,4,9 的平方根值,用抛物插值公式,求(x0 x1)(x0 x2)(xx1)(xx2)y0+(x1x0)(x1x2)(xx0)(xx2)y1+(x2x0)(x2x1)(xx0)(xx1)y2p2(7)=x0=1,x1=4,x2=9y0=1,y1=2,y2=3(14)(19)(74)(79)*1+(41)(49)(71)(79)*2+(91)(94)(71)(74)*3=2.7p2(x)=第14页/共81页例例6

11、.4 已知已知f(x)的观测数据的观测数据 x 0 1 2 4 f(x)1 9 23 3 构造构造Lagrange插值多项式插值多项式解解 四个点可构造三次四个点可构造三次Lagrange插值多项式插值多项式:基函数为基函数为 第15页/共81页Lagrange插值多项式为插值多项式为 为便于上机计算为便于上机计算,常将拉格朗日插值多项式常将拉格朗日插值多项式(6.8)改写成改写成 第16页/共81页 例例6.5 已知已知f(x)的观测数据的观测数据 x 1 2 3 4f(x)0 -5 -6 3构造插值多项式构造插值多项式 解解:四个点可以构造三次插值多项式四个点可以构造三次插值多项式,将数据

12、将数据 代入插值公式，有代入插值公式，有 这个例子说明这个例子说明p(x)的项数不超过的项数不超过n+1项，但可以有项，但可以有 缺项。缺项。第17页/共81页 拉拉格格朗朗日日插插值值算算法法实实现现 第18页/共81页x0 x1 xixi+1 xn-1 xny=f(x)y=p(x)ab在插值区间在插值区间 a,b 上用上用插值多项式插值多项式p(x)近似代替近似代替f(x),除了除了在插值节点在插值节点xi上没有误差外，在其它点上一般是存在误差上没有误差外，在其它点上一般是存在误差的。的。若记若记 R(x)=f(x)-p(x)则则 R(x)就是用就是用 p(x)近似代替近似代替 f(x)时

13、的截断误差时的截断误差,或称或称插值余项我们可根据后面的定理来估计它的大小。插值余项我们可根据后面的定理来估计它的大小。6.3.2 6.3.2 插值多项式的误差插值多项式的误差 第19页/共81页定理定理6.3 设设f(x)在在 a,b 有有n+1阶导数，阶导数，x0,x1,xn 为为 a,b 上上n+1个互异的节点个互异的节点,p(x)为满足为满足 p(xi)=f(xi)(i=1,2,n)的的n 次插值多项式，那么对于任何次插值多项式，那么对于任何x a,b 有有 插值余项插值余项其中其中a b 且依赖于且依赖于x证明证明 (略略)第20页/共81页对于线性插值，其误差为对于线性插值，其误差

14、为对于抛物插值（二次插值），其误差为对于抛物插值（二次插值），其误差为第21页/共81页例例6.6 已知已知 =100,=121,用线性插值估计用线性插值估计 在在x=115时的时的截断误差截断误差解解:由插值余项公式知由插值余项公式知 因为因为 第22页/共81页例例6.7 已知已知x0=100,x1=121,x2=144,当用抛物插值求当用抛物插值求 在在x=115时的近似值，估计其的截断误差时的近似值，估计其的截断误差 解=第23页/共81页例例6.8 设设f(x)=x4,用余项定理写出节点用余项定理写出节点 -1,0,1,2的三次插值多项式的三次插值多项式 解:根据余项定理第24页/共

15、81页6.4 均差与均差与牛顿插值多项式牛顿插值多项式 拉格朗日插值多项式结构对称，使用方便。拉格朗日插值多项式结构对称，使用方便。但由于是用基函数构成的插值，这样要增加一个但由于是用基函数构成的插值，这样要增加一个节点时，所有的基函数必须全部重新计算，不具节点时，所有的基函数必须全部重新计算，不具备承袭性，还造成计算量的浪费。这就启发我们备承袭性，还造成计算量的浪费。这就启发我们去构造一种具有去构造一种具有承袭性承袭性的插值多项式来克服这个的插值多项式来克服这个缺点，也就是说，每增加一个节点时，只需增加缺点，也就是说，每增加一个节点时，只需增加相应的一项即可。这就是牛顿插值多项式。相应的一项

16、即可。这就是牛顿插值多项式。第25页/共81页6.4.1 差商及其性质差商及其性质定义 函数y=f(x)在区间xi,xi+1上的平均变化率自变量之差和因变量之差之比叫自变量之差和因变量之差之比叫差商差商 称为称为f(x)关于关于xi,xi+1 的一阶差商的一阶差商,并记为并记为fxi,xi+1 二阶差商二阶差商m阶差商阶差商第26页/共81页fxi,xj,xk是指fxi,xj,xk=fxj,xk-fxi,xj xk-xi一般的,可定义区间xi,xi+1,xi+n上的n阶差商为差商及其性质差商及其性质第27页/共81页差商表xifxifxi,xi+1fxi,xi+1,xi+2fxi,xi+1,x

17、i+2x0f(x0)x1f(x1)fx0,x1x2f(x2)fx1,x2fx0,x1,x2x3f(x3)fx2,x3 fx1,x2,x3fx0,x1,x2,x3fx1,x2-fx0,x1x2 x0第28页/共81页xifxifxi,xi+1fxi,xi+1,xi+2fxi,xi+1,xi+2,xi+2002832751256216例6.9 求 f(xi)=x3在节点 x=0,2,3,5,6上的各阶差商值解:计算得如下表第29页/共81页牛顿牛顿(Newton)插值多项式插值多项式 的系数的系数 可根据插值条件推出可根据插值条件推出,即由即由 有有 这是关于这是关于 的下三角方程组的下三角方程组

18、,可以求得可以求得 第30页/共81页一般，用数学归纳法可证明一般，用数学归纳法可证明 所以所以n n次牛顿次牛顿(Newton)Newton)插值公式为插值公式为 （6.12）第31页/共81页 可见，牛顿插值多项式可见，牛顿插值多项式Nn(x)是是插值多项式插值多项式p(x)的另的另一种表示形式一种表示形式,与与Lagrange多项式相比它不仅克服了多项式相比它不仅克服了“增加一个节点时整个计算工作重新开始增加一个节点时整个计算工作重新开始”的缺点的缺点,且可且可以节省乘除法运算次数以节省乘除法运算次数,同时在同时在Newton插值多项式中用插值多项式中用到差分与差商等概念，又与数值计算的

19、其他方面有密切到差分与差商等概念，又与数值计算的其他方面有密切的关系的关系.它满足它满足其中其中ak(k=0,1,2,n)为待定系数，形如（为待定系数，形如（6.12）的）的插值多项式称为插值多项式称为牛顿牛顿(Newton)插值多项式插值多项式。第32页/共81页fx0,x(x-x0)=f(x)-f(x0)f(x)+fx0,x(x-x0)=f(x0)fx1,x0,x(x-x1)=fx0,x-fx1,x0fx0,x+fx1,x0,x(x-x1)=fx1,x0f(x)+(x-x0)fx1,x0=f(x0)+(x-x0)(x-x1)fx1,x0,x牛顿插值公式牛顿插值公式(另一种推导方法）另一种推

20、导方法）第33页/共81页f(x)=f(x0)+(x-x0)fx1,x0+(x-x0)(x-x1)fx1,x0,xfx1,x0,x=(x-x2)fx2,x1,x0,x+fx2,x1,x0f(x)=f(x0)+(x-x0)fx1,x0 +(x-x0)(x-x1)fx2,x1,x0 +(x-x0)(x-x1)(x-x2)fx2,x1,x0,x第34页/共81页Nn(x)Rn(x)如当n=1时，f(x)=f(x0)+(x-x0)fx1,x0+(x-x0)(x-x1)fx1,x0,xN1(x)=f(x0)+(x-x0)fx1,x0,R1(x)=(x-x0)(x-x1)fx1,x0,x其中Nn(x)称为

21、牛顿插值多项式 Rn(x)称为牛顿插值余项第35页/共81页Rn(x)为为牛牛顿顿插插值值的的误误差差。由由插插值值多多项项式式的的存存在在惟惟一一性性定定理理6.16.1知知，满满足足同同一一组组插插值值条条件件的的拉拉格格朗朗日日插插值值多多项项式式L Ln(x)(x)与与牛牛顿顿插插值值多多项项式式N Nn n(x)(x)实实际际上上是是同同一一个个多多项项式式，仅仅是是同同一一插插值值多多项项式式的的不不同同表表达达形形式式而而已已，因因此此得得到到牛牛顿顿插插值值多多项项式式的的误误差差与与拉格朗日插值多项式的误差也完全相等。故有拉格朗日插值多项式的误差也完全相等。故有 可以看出，牛

22、顿插值公式计算方便，增加可以看出，牛顿插值公式计算方便，增加一个插值点，只要多计算一项，而一个插值点，只要多计算一项，而Nn(x)的的各项系数恰好是各阶差商值，很有规律各项系数恰好是各阶差商值，很有规律 第36页/共81页这个性质可用数学归纳法证明（用这个性质可用数学归纳法证明（用Lagrange插值多项式比较最高项系数来得到插值多项式比较最高项系数来得到）性质性质1 函数函数 f(x)的的 n 阶差商阶差商 f x0,x1,xn 可可由由 函数值函数值 f(x0),f(x1),f(xn)的线性组的线性组 合表示合表示,且且6.4.2 差商及其性质第37页/共81页fx0,x1=fx1,x0f

23、(x1)-f(x0)x1 x0f(x0)-f(x1)x0 x1=性质性质2 2 差商具有对称性差商具有对称性,即在即在k k阶差商中阶差商中 任意交换两个节点任意交换两个节点 和和 的次序的次序,其值不变。其值不变。例如例如第38页/共81页性质性质3 若若fx,x0,x1,xk 是是 x 的的 m 次多项式次多项式,则则 fx,x0,x1,xk,xk+1是是 x 的的 m-1 次多项式次多项式证：由差商定义证：由差商定义 右端分子为右端分子为 m 次多项式次多项式,且当且当 x=xk+1 时时,分子分子为为0,故分子含有因子故分子含有因子 xk+1 x，与分母相消后，右与分母相消后，右端为端

24、为m-1 次多项式。次多项式。第39页/共81页4.4.1 差商及其性质性质性质4 若若 f(x)是是n次多项式次多项式,则则f x,x0,x1,xn 恒为恒为0 证：证：f(x)是是n次多项式，则次多项式，则f x,x0 是是 n-1次多次多 项式项式,f x,x0,x1 是是 n-2 次多项式次多项式,依次递推依次递推 ，f x,x0,x1,xn-1 是零次多项式，所以是零次多项式，所以 fx,x0,x1,xn 0第40页/共81页性质性质5 5 k k阶差商阶差商 和和k k阶导数之间有下阶导数之间有下 列关系列关系 这个性质可直接用罗尔（这个性质可直接用罗尔（RolleRolle）定理

25、证明定理证明.第41页/共81页xifxifxi,xi+1fxi,xi+1,xi+2114293N2(7)=1+(7-1)*0.33333+(7-1)*(7-4)*(-0.01667)=2.69992+(x-x0)(x-x1)fx1,x0,x2+(x-x0)fx1,x0=f(x0)N(x)例 6.10 已知 x=1,4,9 的平方根值，求解：第42页/共81页4.4.1 差商及其性质 例例6.11 已知已知 x=0,2,3,5 对应的函数值为对应的函数值为 y=1,3,2,5,作三次作三次Newton插值多项式。插值多项式。xi f(xi)一阶差商一阶差商 二阶差商二阶差商 三阶差商三阶差商

26、0 1 2 3 1 3 2 -1 -2/3 5 5 3/2 5/6 3/10 所求的三次所求的三次Newton插值多项式为插值多项式为第43页/共81页4.4.1 差商及其性质例例6.12 已知已知 f(x)=x7+x4+3x+1 求求 f 20,21,27 及及 f 20,21,27,28 分析：本题分析：本题 f(x)是一个多项式是一个多项式,故应利用差商的性质故应利用差商的性质解解:由差商与导数之间的关系由差商与导数之间的关系 第44页/共81页例6.13 求 并估计其误差解：作函数 f(x)=取 x0=4,x1=9,x2=6.25,建立差商表xf(x)f xi,xi+1,fxi,xi+

27、1,xi+242936.25 2.5N2(7)=2+(7-4)*0.2+(7-4)*(7-9)*(-0.00808)=2.64848第45页/共81页f(3)(x)=Rn(x)在区间 4,9 上，余式近似 0.5*10-2,N2(7)=2.64848 可舍入为2.65|f(x)(n+1)|Mn+1由由第46页/共81页6.4.3 差分与等距节点插值等距节点 xi+1-xi=h，函数在等距节点上的值为y0,y1,yn，称 yi-1=yi-yi-1为函数f(x)在xi-1,xi上的一阶差分。称 2yi-1=yi-yi-1=yi+1-2yi +yi-1为函数f(x)在xi-1,xi+1上的二阶差分。

28、称 kyi-1=k-1yi-k-1yi-1为函数f(x)在xi-1,xi+k-1上的 k 阶差分。当插值节点等距分布时当插值节点等距分布时,被插值函数的变化率就可用差被插值函数的变化率就可用差分来表示分来表示,这时牛顿插值公式的形式更简单这时牛顿插值公式的形式更简单,计算量更小计算量更小第47页/共81页xy y 2y 3y 4yx0y0 x1y1x2y2x3y3x4y4y0=y1 y0y1=y2 y1y2=y3 y2y3=y4 y32y0=y1-y02y1=y2-y12y2=y3-y23y0=2y1-2y03y1=2y2-2y14y0等距节点插值等距节点插值第48页/共81页y0=y1 y0

29、y1=y2 y1y2=y3 y2=y2 2y1+y02y0=y1-y03y0=2y1-2y0=y3 2y2+y1(y2 2y1+y0)=y3 3y2+3y1 y0 2y1=y2-y1=y3 2y2+y1(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3(a-b)2=a2-2ab+b24y0=3y1-3y0=y4 3y3+3y2 y1-(y3 3y2+3y1 y0)=y4 4y3+6y2 4 y1+y0(a-b)4=a4-4a3b+6a2b2-4ab3+b3结论：各阶差分中函数值的系数正好等于 (a-b)r展开式中的系数第49页/共81页等距节点情况下xi=x0+ih，用差分表示差商：=y1 y0h=

30、y01!hfx1,x2=y2 y1h=y11!hfx0,x1,x2=fx1,x2-fx0,x1x2 x0=y11!hy01!h2h=y1-y02h2=2y02!h2fx1,x2,x3=fx3,x2-fx2,x1x3 x1=y21!hy11!h2h=y2-y12!h2=2y12!h2fx0,x1,x2,x3=2y12!h22y02!h23h=2y1-2y02*3h3=3y03!h3ny0n!hn第50页/共81页例6.14 计算 f(x)=x3在等距节点0，1，2，3,4上的各 阶差分值xy y 2y 3y001128327464 4y17193761218660第51页/共81页牛顿前插公式牛

31、顿前插公式取间距为h,等距节点 x0 x1 xn 顺序建立牛顿差商公式fx0,x1=y01!hfx0,x1,x2=2y02!h2fx0,x1,x2,x3=3y03!h3Nn(x)=y0+(x-x0)y01!h+(x-x0)(x-x1)2y02!h2+(x-x0)(x-x1)(x-xn-1)ny0n!hn牛顿前插公式第52页/共81页Nn(x)Rn(x)因因 ,设设 ,则则 第53页/共81页xy y 2y 3y 4yx0y0 x1y1 y0 x2y2 y1 2y0 x3y3 y2 2y1 3y0 x4y4 y3 2y2 3y1 4y0第54页/共81页向后差分向后差分函数y=f(x),若记y-

32、1=f(x0-h),y-2=f(x0-2h),则各阶向后差分一阶 y0=y0-y-1，y1=y1-y0，y2=y2-y1，二阶 2y0=y0-y-1=y0-y-1-(y-1-y-2)=y0-2y-1+y-2 2y1=y1-y0 =y1-y0-(y0-y-1)=y1-2y0+y-1 K阶 ky0=k-1y0-k-1y-1 ky1=k-1y1-k-1y0 第55页/共81页牛顿后插公式牛顿后插公式将节点排列为 xn xn-1 x0,建立牛顿差商公式fxn,xn-1=yn1!hfxn,xn-1,xn-2=2yn2!h2fxn,xn-1,xn-2,xn-3=3yn3!h3Nn(x)=yn+(x-xn)

33、yn1!h+(x-xn)(x-xn-1)2yn2!h2+(x-xn)(x-xn-1)(x-x1)nynn!hn牛顿后插公式第56页/共81页Nn(x)Rn(x)因因 ,设设 ,则则 第57页/共81页x-1 012y-11311解：建立差分表xy y 2y 3y-1-10121320211 866=-1+1+0+0.375=0.375例6.15 按下列数值表用牛顿前插公式求y(-0.5)的近似值N3(x)第58页/共81页 许多实际问题不但要求插值函数p(x)在插值节点处与被插函数f(x)有相同的函数值p(xi)=f(xi)(i=0,1,2,n),而且要求在有些节点或全部节点上与f(x)的导数

34、值也相等，甚至要求高阶导数值也相等，能满足这种要求的插值问题就称为埃尔米特插值(Hermite)6.5 埃尔米特(Hermite)插值第59页/共81页 定义定义 已知已知 n n+1+1个互异点上个互异点上 的函数值的函数值 和导数值和导数值 ,若存在一个次数若存在一个次数 不超过不超过2 2n n+1+1的多项式的多项式H H(x x)，满足满足 则称则称H H(x x)为为f f(x x)的的2 2n n+1+1次埃尔米特次埃尔米特(HermiteHermite)插插值 6.5.1 埃尔米特插值上式给出了上式给出了2 2n+2+2个条件，可惟一确定一个次数不超过个条件，可惟一确定一个次数

35、不超过2 2n+1+1的多项式的多项式H2n+1(x)，采用类似于求采用类似于求Lagrange插值多插值多项式的基函数方法求埃尔米特项式的基函数方法求埃尔米特(Hermite)插值多项式插值多项式H2n+1(x)第60页/共81页次数不超过次数不超过2n+1次的多项式的次的多项式的形式为：形式为：，H2n+1(x)=H(x),H2n+1(x)=a0+a1x+a2x2+a2n+1x2n+1由由2n+2个条件来确定个条件来确定2n+2个系数个系数a0,a1,a2,a2n+1显然非常显然非常复杂复杂,所以要用求所以要用求Lagrange插值多项式的基函数的方法插值多项式的基函数的方法,求插值基函数

36、求插值基函数 i(x)及及 i(x)(i=0,1,2,n)共有共有2n+2个个,设每设每一个基函数为次数不超过一个基函数为次数不超过2n+1次的多项式，且满足条件次的多项式，且满足条件(i,j=0,1,2,n)第61页/共81页HermiteHermite插值多项式可写成插值基函数表示的形式插值多项式可写成插值基函数表示的形式验证：验证：第62页/共81页根据插值条件可求出根据插值条件可求出 和和第63页/共81页H2n+1(x)为满足条件为满足条件的的2 2n+1+1次次Hermite插值多项式。插值多项式。于是于是同理同理第64页/共81页定理定理 满足插值条件满足插值条件 的的Hermi

37、teHermite插值多项式是惟一的。插值多项式是惟一的。证证:设设 和和 都满足上述插值条件都满足上述插值条件,令令则每个节点则每个节点 均为均为 的二重根的二重根,即即有有2 2n+2+2个根，但个根，但 是不高于是不高于2 2n+1+1次的多项式次的多项式，所以，所以 ，即，即 惟一性得证。惟一性得证。第65页/共81页定理定理 若若f(x)在在 a,b 上存在上存在2 2n+2+2阶导数，则阶导数，则 2 2n+1+1次次Hermite插值多项式的余项为插值多项式的余项为 其中其中定理的证明可仿照定理的证明可仿照LagrangeLagrange插值余项的证明方插值余项的证明方法请同学们

38、自行证明法请同学们自行证明 第66页/共81页实际中使用最广泛的是三次实际中使用最广泛的是三次HermiteHermite插值多项式插值多项式,即即n=1n=1的情况的情况余项余项第67页/共81页例例6.16 已知函数已知函数 y=f(x)的数据如下表所示的数据如下表所示,求次数求次数 不超过三次的不超过三次的Hermite的插值多项式的插值多项式H3(x)使使 H3(xi)=yi (i=0,1,2)H3(xi)=yi 解解 所求三次所求三次Hermite的插值多项式为的插值多项式为第68页/共81页解解 所求三次所求三次Hermite的插值多项式为的插值多项式为由插值条件得到以下方程组由插

39、值条件得到以下方程组解上述方程组解上述方程组故得故得第69页/共81页6.6 6.6 分段线性插值分段线性插值6.6.1 6.6.1 高次插值的龙格现象高次插值的龙格现象 插值多项式余项公式说明插值节点越多，一般说插值多项式余项公式说明插值节点越多，一般说来误差越小，函数逼近越好，但这也不是绝对的，来误差越小，函数逼近越好，但这也不是绝对的，因为余项的大小既与插值节点的个数有关，也与函因为余项的大小既与插值节点的个数有关，也与函数数f(x)的高阶导数有关的高阶导数有关。换句话说，适当地提高插。换句话说，适当地提高插值多项式的次数，有可能提高计算结果的准确程度值多项式的次数，有可能提高计算结果的

40、准确程度，但并非插值多项式的次数越高越好。当插值节点，但并非插值多项式的次数越高越好。当插值节点增多时，不能保证非节点处的插值精度得到改善，增多时，不能保证非节点处的插值精度得到改善，有时反而误差更大。考察函数有时反而误差更大。考察函数 第70页/共81页考察函数考察函数 右图给出了右图给出了和和 的图像的图像,当当n增大时增大时,在两端在两端会发出激烈的振荡会发出激烈的振荡,这就是所谓龙格现这就是所谓龙格现象。该现象表明象。该现象表明,在在大范围内使用高次大范围内使用高次插值插值,逼近的效果往逼近的效果往往是不理想的往是不理想的 第71页/共81页 另外，从舍入误差来看，高次插值误差的传播另

41、外，从舍入误差来看，高次插值误差的传播也较为严重，在一个节点上产生的舍入误差会在计也较为严重，在一个节点上产生的舍入误差会在计算中不断扩大，并传播到其它节点上。因此，次数算中不断扩大，并传播到其它节点上。因此，次数太高的高次插值多项式并不实用，因为节点数增加太高的高次插值多项式并不实用，因为节点数增加时，计算量增大了，但插值函数的精度并未提高。时，计算量增大了，但插值函数的精度并未提高。为克服在区间上进行高次插值所造成的龙格现象，为克服在区间上进行高次插值所造成的龙格现象，采用分段插值的方法，将插值区间分成若干个小的采用分段插值的方法，将插值区间分成若干个小的区间，在每个小区间进行线性插值，然

42、后相互连接区间，在每个小区间进行线性插值，然后相互连接，用连接相邻节点的折线逼近被插函数，这种把插，用连接相邻节点的折线逼近被插函数，这种把插值区间分段的方法就是分段线性插值法。值区间分段的方法就是分段线性插值法。第72页/共81页6.6.2 6.6.2 分段线性插值分段线性插值 分段线性插值就是通过插值节点用折线段连接起分段线性插值就是通过插值节点用折线段连接起来逼近来逼近f(x)。设设f(x)f(x)在在n+1n+1个节点个节点 上的函数值为上的函数值为 ,在每个小区间在每个小区间 (k=0,1,k=0,1,，n n）上作线性插值，得上作线性插值，得 第73页/共81页在几何上就是用折线在

43、几何上就是用折线替代曲线替代曲线,如右图所示如右图所示若用插值基函数表示若用插值基函数表示,则在则在 a,b 上上 其中其中第74页/共81页显然，显然，是分段线性连续函数，且是分段线性连续函数，且 称称S S(x x)为为f f(x x)的的分段线性插值函数。分段线性插值函数。由线性插值的余项估计式知由线性插值的余项估计式知,f f(x x)在每个子段在每个子段上有误差估计式上有误差估计式其中其中 第75页/共81页例例6.17 6.17 已知已知f(x)f(x)在四个节点上的函数值如下表所示在四个节点上的函数值如下表所示 30 45 60 901求求f(x)f(x)在区间在区间 30,90

44、30,90 上的上的分段连续线性插值函数分段连续线性插值函数S(x)S(x)解解 将将插值区间插值区间 30,9030,90 分成连续的三个小区间分成连续的三个小区间 30,4530,45,45,6045,60,60,9060,90 则则S(x)在区间在区间 30,4530,45 上的上的线性插值为线性插值为 第76页/共81页S(x)在区间在区间 45,6045,60 上的上的线性插值为线性插值为 S(x)S(x)在区间在区间 60,9060,90 上的线性插值为上的线性插值为 第77页/共81页将各小区间的将各小区间的线性插值函数连接在一起，得线性插值函数连接在一起，得 第78页/共81页

45、本章小结本章小结 本章介绍的插值法是实用性很强的方法。它们解决本章介绍的插值法是实用性很强的方法。它们解决的实际问题虽然各式各样，但抽象为数学问题却有它的的实际问题虽然各式各样，但抽象为数学问题却有它的共性，即利用已知的数据去寻求某个较为简单的函数共性，即利用已知的数据去寻求某个较为简单的函数P(x)P(x)来逼近来逼近f(x)f(x)。插值法给出了寻求这种近似函数的原插值法给出了寻求这种近似函数的原则，以及构造近似函数的几种具体方法。插值法要求近则，以及构造近似函数的几种具体方法。插值法要求近似函数在已知的数据点必须与似函数在已知的数据点必须与f(x)f(x)完全一致，。完全一致，。第79页

46、/共81页 插值法中的拉格朗日插值多项式是研究数值微积插值法中的拉格朗日插值多项式是研究数值微积分与微分方程数值解的重要工具。牛顿插值多项式是拉分与微分方程数值解的重要工具。牛顿插值多项式是拉格朗日插值多项式的变形，具有承袭性，比拉格朗日插格朗日插值多项式的变形，具有承袭性，比拉格朗日插值多项式节省计算量。分段低次多项式插值由于具有良值多项式节省计算量。分段低次多项式插值由于具有良好的稳定性与收敛性，且算法简单，便于应用。特别是好的稳定性与收敛性，且算法简单，便于应用。特别是应用广泛的三次样条插值，不但有较好的稳定性和收敛应用广泛的三次样条插值，不但有较好的稳定性和收敛性，而且具有较好的光滑性，从而满足了许多实际问题性，而且具有较好的光滑性，从而满足了许多实际问题的要求。需对样条函数作进一步了解的读者可参阅有关的要求。需对样条函数作进一步了解的读者可参阅有关文献文献 第80页/共81页谢谢您的观看！第81页/共81页