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1、1复习矩形、菱形、正方形的判定与性质.2复习运用矩形、菱形、正方形的判定和性质解决相关的证明和计算问题.复习目标第1页/共28页1矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分.2.三个角是直角的四边形，或对角线相等的平行四边形是矩形;四边相等的四边形，或对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.是矩形又是菱形的四边形是正方形.正方形既具有矩形的性质又具有菱形的性质.知识要点第2页/共28页例1 如图，已知矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AEBD，垂足为E，DAEBAE31，求EAC的度数.分析：本题充分利用矩形对角线把矩形分成四个等腰三角形的基本图形进行求解.
2、答案：45典型例题ABCDEO第3页/共28页例 2 如 图，四 边 形A B C D是 菱 形，AC、B D相 交 于 点O，过O分 别 作 各 边 的 垂 线，垂 足 分 别 为E、F、G、H.求 证：四 边 形E F G H是 矩 形.分 析：由 于 菱 形 的 四 条 边 都 相 等 且 对 角 互 相 垂 直，以 证 明 菱 形 被 对 角 线 所 分 成 的 四 个 三 角 形 是 全 等 的 直 角 三 角 形，而O E、O F、O H、O G都 是 直 角 三 角 形 斜 边 上 的 高，故O E=O F=O G=O H，即 证 明 四 边 形E F G H是 矩 形.证 明：
3、四 边 形A B C D是 菱 形 A B=B C=C D=A D，O D=O B，O A=O C且 A CB D R tA OD R tA O BR tC O DR tC O B O E、O F、O G、O H分 别 是 三 角 形 斜 边 上 的 高 O E=O F=O G=O H 四 边 形E F G H是 矩 形典型例题OHABCDEFG第4页/共28页例 3 如 图，在 A B C中，B AC=9 0 ，A DB C于D，C E平 分 AC B，交A D于G，交AB 于E，E FB C于F求 证：四 边 形A E F G是 菱 形 分 析：由 已 知 可 知，图 中 有 平 行 线，
4、就 可 证 明 角 相 等、线 段 相 等，因 此，可 先 证 四 边 形A E F G是 平 行 四 边 形，再 证 一 组 邻 边 相 等 证 明：B A C=9 0 ，E FB C，C E平 分 A C B，A E=E F，C E A=C E FA DB C，E FB C，E FA D，C E F=A G E C E A=A G EA E=A G E FA G，且E F=A G 四 边 形A E F G是 平 行 四 边 形 又 A E=E F，平 行 四 边 形A E F G是 菱 形 典型例题ABCDEFG第5页/共28页例4 已知：如图，O为ABCD对角线BD的中点，MN过O且垂直
5、BD，分别交CD、AB于M、N求证：四边形DNBM是菱形分析：已知MN为BD的垂直平分线，有DM=BM，DN=BN，又由DOMBON，得DM=BN，即由四条边都相等的四边形是菱形可证得结论.证明：MN为BD的垂直平分线 DM=BM，DN=BN又DOMBONDM=BN，DM=BM=BN=DN四边形DNBM是菱形（四条边都相等的四边形是菱形）典型例题ABCDONM第6页/共28页例5 如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，且EFAC，在DA的延长线上取一点G，使AGAD，EG与DF相交于点H.求证：AHAD.分析：因为A是DG的中点，故在DGH中，若AHAD，当且仅当DGH为直角三
6、角形，所以只须证明DGH为直角三角形.典型例题GABCDEFH第7页/共28页例6 如图，在正方形ABCD中，P、Q分别是BC、CD上的点，若PAQ450，求证：PBDQPQ.分析：利用正方形的性质，通过构造全等三角形来证明.典型例题ABCDEPQ第8页/共28页一、填空题：1、若矩形的对称中心到两边的距离差为4，周长为56，则这个矩形的面积为 .2、已知菱形的锐角是60，边长是20cm，则较短的对角线长是 cm.3、如图，矩形ABCD中，O是对角线的交点，若AEBD于E，且OEOD12，AE cm，则DE cm.能力训练ABCDEO第9页/共28页 4、如图，P是矩形ABCD内一点，PA3，
7、PD4，PC5，则PB .5、如图，在菱形ABCD中，BEAF60，BAE20，则CEF .能力训练ACDBPBFACDE第10页/共28页 6、如图，将正方形ABCD的BC边延长到E，使CEAC，AE与CD边相交于F点，那么CEFC .7、如图，把正方形ABCD沿着对角线AC的方向移动到正方形的位置，它们的重叠部分的面积是正方形ABCD面积的一半，若AC ，则正方形移动的距离是 .能力训练ACFBDEBDDCACBA第11页/共28页 8、四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，给出以下题设条件：ABBCCDDA；AOBOCODO；AOCO，BODO，ACBD；ABBC，CDDA.其中能
8、判断它是正方形的题设条件是 （把正确的序号填在横线上）.能力训练第12页/共28页二、选择题：9、在矩形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上分别取点E、F、G、H，使EFGH为矩形，则这样的矩形（）A、仅能作一个 B、可以作四个 C、一般情况下不可作 D、可以作无穷多个能力训练第13页/共28页 10、如图，在矩形ABCD中，AB4cm，AD12cm，P点在AD边上以每秒1 cm的速度从A向D运动，点Q在BC边上，以每秒4 cm的速度从C点出发，在CB间往返运动，二点同时出发，待P点到达D点为止，在这段时间内，线段PQ有（）次平行于AB.A、1 B、2 C、3 D、4能力训练ABCDPQ第1
9、4页/共28页 11、如图，已知矩形纸片ABCD中，AD9cm，AB3cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长和折痕EF的长分别是（）A、4cm、cm B、5cm、cm C、4cm、cm D、5cm、cm能力训练ABCDEFG第15页/共28页12、给出下面四个命题：对角线相等的四边形是矩形；对角线互相垂直的四边形是菱形；有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形；菱形的对角线的平方和等于边长平方的4倍.其中正确的命题有（）A、B、C、D、13、平行四边形四个内角的平分线，如果能围成一个四边形，那么这个四边形一定是（）A、矩形 B、菱形 C、正方形 D、等腰梯形能力训练第16页/
10、共28页三、解答题：14、如图，在矩形ABCD中，F是BC边上一点，AF的延长线交DC的延长线于点G，DEAG于E，且DEDC，根据上述条件，请在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论.能力训练ABCDEFG第17页/共28页15、如图，在ABC中，ACB900，CD是AB边上的高，BAC的平分线AE交CD于F，EGAB于G.求证：四边形GECF是菱形.能力训练ABCDEFG第18页/共28页 16、如图，以ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即ABD、BCE、ACF.请回答下列问题（不要求证明）：（1）四边形ADEF是什么四边形？（2）当ABC满足什么条件时，四边形ADEF是
11、矩形？（3）当ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？能力训练ABCDEF第19页/共28页 17、已知正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MNDM且交CBE的平分线于N.（1）求证：MDMN；（2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上任意一点”，其余条件不变，则结论“MDMN”还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由.能力训练NNMMABECDABECD第20页/共28页18、如图，ABCD是正方形，P是对角线上的一点，引PEBC于E，PFDC于F.求证：（1）APEF；（2）APEF.能力训练ABCDEFP第21页/共28页1
12、9、如图，过正方形ABCD的顶点B作BECA，作AEAC，又CFAE，求证：BCF1/2AEB.能力训练ABCDEF第22页/共28页一、填空题：1、180；2、20cm；3、3；4、；5、200 提示：4题过点P作矩形任一边的垂线，利用勾股定理求解；5题连结AC，证ABEACF得AEAF，从而AEF是等边三角形.6、；7、；8、参考答案第23页/共28页二、DDBBA三、解答题：14、可证DEAABF15、略证：AE平分BAC，且EGAB，ECAC，故EGEC，易得AECCEF，CFEC，EGCF，又因EGAB，CDAB，故EGCF.四边形GECF是平行四边形，又因EGFG，故GECF是菱形
13、.参考答案第24页/共28页 16、（1）平行四边形；（2）BAC150；（3）当BAC60时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在.17、（1）如图1，取AD中点F，连结MF，由MNDM得DAM90，易证12，又因MNBNBE2452，DMFAFM1451，所以DMFMNB，又因DFBM，所以DMFMNB，故MDMN.参考答案（2）成立，如图2，在AD上取DFMB，则易知：1900DMA，又2DMA900，12，又DMF4501，MNB4502，DMFMNB，又DFMB，DMFMNB，故MDMN.第25页/共28页18、略证：延长AP与EF相交于点H，连结PC，因为BD是对角线，易证PAPC，12，根据PEBC于E，PFDC于F，知PECF为矩形，PCEF，且DAHFPH，又因为123，所以在PHF中，FPH34190，所以PHF为直角三角形，故APEF.参考答案第26页/共28页19、提示：证AEFC是菱形，过A点作BE的垂线构造300角的直角三角形.参考答案第27页/共28页谢谢您的观看！第28页/共28页