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1、误 差 理 论 与 数 据 处 理第第2页页数字舍入规则舍入规则：舍去部分的数值大于保留部分末位半个单位，则末位加1；舍去部分的数值小于保留部分末位半个单位，则末位不变；舍去部分的数值等于保留部分末位半个单位，则末舍去部分的数值等于保留部分末位半个单位，则末位凑成偶数。位凑成偶数。数据修约有国家标准（GB18071987）1）有效数字）有效数字第第3页页简单记为简单记为“四舍六入，奇进偶舍四舍六入，奇进偶舍”或或 “逢五凑偶逢五凑偶”原有数据保留4位有效数字3.141593.1422.717292.7174.510504.5103.215503.216 6.3785016.379 7.6914
2、997.6915.434605.4351）有效数字）有效数字第第4页页在近似数运算中，为了保证最后结果有尽可能高的精度，所有参与运算的数据，在有效数字后应多保留一位数字作为参考数字（或安全数字）。（1）加减）加减以小数位数最少的数据位数为准，其余各数据可多取一位以小数位数最少的数据位数为准，其余各数据可多取一位小数字，最后结果应与小数位数最少的数据小数位相同。小数字，最后结果应与小数位数最少的数据小数位相同。（2）乘除）乘除/平方或开方平方或开方各运算数据以有效位数最少的数据位数为准，其余各数据各运算数据以有效位数最少的数据位数为准，其余各数据要比有效位数最少的数据位数多取一位数字。要比有效位
3、数最少的数据位数多取一位数字。最后结果应以有效位数最少的数据的数据位数相同。最后结果应以有效位数最少的数据的数据位数相同。1）有效数字）有效数字误差的定义及表示法绝对误差：测得值与真值之差称为绝对误差，通常简称误差。绝对误差测得值真值 修正值：实际工作中常用修正值。为补偿（减少）系统误差用代数法加到测量结果上的值称为修正值。修正值真值(约定真值）测得值 测量结果(真值)测得值修正值2）误差的基本概念）误差的基本概念第第5页页相对误差相对误差 测量绝对误差与被测量的真值的比称为相对误差。GUM中注：由于真值不能确定，实际上用约定真值（测值的最佳估计值）。（1）无单位（无名数），通常以或10-d表
4、示（2）通常可比较不同测量的质量如何。2）误差的基本概念）误差的基本概念第第6页页引用误差引用误差(fiducial error)(fiducial error)式中引用值 xm 通常指全量程或量程上限，示值误差 xm是该量程范围内任一刻度点的 示值的绝对误差中的最大值。分析讨论：引用误差和相对误差的区别？2）误差的基本概念）误差的基本概念第第7页页第第8页页实例实例：现用1.0级、量程为150伏电压表来进行测量，问：1）该电压表的引用误差是多少？2）用该电压表测量电压时的最大测量误差是多少？3）用该电压表测量100伏的电压时的最大测量误差是多少？4）用该电压表测量50伏的电压时的最大测量误差
5、是多少？5）用该电压表测量50伏的电压时的相对误差是多少？6）用该电压表测量100伏的电压时的相对误差是多少？7）用0.5级、量程为300伏电压表一起测量100伏电压时，哪个更准？解：解：1 1）该电压表的引用误差是：）该电压表的引用误差是：1 1 2 2）用该电压表测量电压时的最大测量误差是：）用该电压表测量电压时的最大测量误差是：解：解：3）用该电压表测量）用该电压表测量100伏的电压时的最大测量误差是：伏的电压时的最大测量误差是：1.5V。4）用该电压表测量）用该电压表测量50伏的电压时的最大测量误差是：伏的电压时的最大测量误差是：1.5V。解：解：5）用该电压表测量）用该电压表测量50
6、伏的电压时的相对误差是：伏的电压时的相对误差是：6）用该电压表测量）用该电压表测量100伏的电压时的相对误差是：伏的电压时的相对误差是：当用当用1.01.0级、量程为级、量程为100100伏的电表测量时，有伏的电表测量时，有 解：解：7 7）当用）当用0.50.5级、量程为级、量程为300300伏的电压表测量时，有伏的电压表测量时，有 结论：结论：(1)1)一样准确。一样准确。(2)(2)仪表等级越高成本越高。仪表等级越高成本越高。2）误差的基本概念）误差的基本概念 按照测量误差的特点、性质和规律，以及对测量结果的影响方式，可将其分为系统误差，随机误差和粗大误差三类：1系统误差 在同一条件下多
7、次测量同一量值时，其绝对值和符号保持不变或在条件改变时，其值按一定规律变化的误差，称为系统误差。系统误差按其出现的规律又可分为:（1）定值系统误差：即误差的大小和方向为固定值。（2）变值系统误差：即误差的大小和方向为规律的变化值。为补偿（减少）系统误差用代数法加到测量结果上的值称为修正值。3）误差的分类）误差的分类第第9页页第第10页页 2.2.随机误差随机误差在同一条件下，多次测量同一量值时，其绝对值和符号以不可预定的方式变化着的误差称为随机误差，过去也叫偶然误差。3.3.粗大误差粗大误差（异常值）（异常值）明显歪曲测量结果的误差称为粗大误差，过去也叫过失误差或疏忽误差。测量结果中有无粗大误
8、差必须判断并剔除。测量结果中有无粗大误差必须判断并剔除。3）误差的分类）误差的分类1 1）变值系统误差的发现方法之一：残差观察法）变值系统误差的发现方法之一：残差观察法4）系统误差发现方法）系统误差发现方法1 1）可否直接对测值进行观察来发现变值系统误差？）可否直接对测值进行观察来发现变值系统误差？2 2）可否直接对测值进行观察来发现定值系统误差？）可否直接对测值进行观察来发现定值系统误差？第第11页页第第12页页2 2算术平均值的差值与标准差比较法算术平均值的差值与标准差比较法 对同一量值在测量条件不同，测量次数也不同的情况下进行两组（或多组）测量。设测量次数分别为n1和n2次，得两组算术平
9、均值：其实验标准差分别为：4）系统误差发现方法）系统误差发现方法第第13页页算术平均值之差的标准差为：由于两组测值是服从正态分布的随机变量，故其算术平均值的差值也服从正态分布，因此，可用区间的概率估计原理来判断是否有定值系统误差，即：两组算术平均值之差为：4）误差的分类）误差的分类系统误差发现方法系统误差发现方法第第14页页例例1 1 惰性气体（氩）的发现。雷莱（Rayleigh，多译为瑞利）测定氮气的密度。化学方法制得的氮，其平均密度和标准差分别为2.29971和0.00041；从大气中分离的氮，其平均密度和标准差分别为2.31022和0.00019 取置信概率p=99.73%来判断，则故可
10、判断其中一定有系统误差，经检查由于操作技术等明显因素产生系统误差的可能性很小，进一步仔细分析，结果发现了惰性气体（氩）的存在。4）系统误差发现方法）系统误差发现方法单次测量的标准偏差：算术平均值的标准偏差：5）随机误差的计算）随机误差的计算第第15页页不等精度测量：不等精度测量：权的概念 应该让可靠程度大的在最后测量结果中占的比重大一些，让可靠程度小的在最后测量结果中占的比重小一些。各测量结果的可靠程度用数值表示，这数值称为该测量结果的“权”，记为p。测量精度愈高，可靠性愈高，应给予的“权”应愈大。5）随机误差的计算）随机误差的计算第第16页页第第17页页加权算术平均值加权算术平均值 对同一被
11、测量进行m组不等精度测量，得到m个测量结果 设相应的测量次数为（215）根据等精度测量算术平均值原理，全部测量的算术平均值为5）随机误差的计算）随机误差的计算 我国在GB488385中推荐了两种异常值的判别方法，两种方法是：1、在只剔除1个异常值时采用格拉布斯(Grubbs)准则。2、在剔除多个异常值时采用狄克逊（Dixon)准则。三种粗大误差判断准则：（1）3准则（莱以达准则）当测量结果（测量列），某一数据的残差的绝对值|v|3 时，则剔除此数据。6）异常值处理）异常值处理第第18页页（2 2）格拉布斯（）格拉布斯（Grubbs)Grubbs)准则。准则。设独立重复测量的一个正态分布的测量列
12、x1，x2，xn，其测量标准偏差为 s(x)对其中的一个可疑数据xd,(其残余偏差vd的绝对值最大），若：则数据xd为异常值，应予剔除；否则应予保留。上式中系数G（，n）为格拉布斯准则的临界值，由测量次数n，和选定的显著性水平（相当于犯“弃真”错误的概率）查表选取。显著性水平通常选为0.01或0.05。6）异常值处理）异常值处理第第19页页（3 3）狄克逊（）狄克逊（Dixon)Dixon)准则准则正态测量总体的一个样本x1,x2,，xn，按从小到大顺序排列为 ，分以下几种情况：6）异常值处理）异常值处理第第20页页（3 3）狄克逊（）狄克逊（Dixon)Dixon)准则准则6）异常值处理）异
13、常值处理第第21页页第第22页页异常值判断操作原则异常值判断操作原则逐个剔除原则逐个剔除原则：在应用上述准判断粗大误差时，若同时有两个以上的测得值的残差i超出判断界限，也只能剔除其中|i|最大的那一个数据（如有两个相同的数据超限，也只能剔除其中的一个）；之后再按剩下的（n-1）个数据重新计算算术平均值、残差及实验标准差，继续判断另一个可疑数据，直到全部数据无问题为止。那些在前次判断中和被剔除的数据同时超限的次大（或同样大）的数据，在重新计算后，其|可能不超过判断界限，所以每次只能剔除一个超限的数据。我国在我国在GB4883GB48838585中推荐了两种异常值的判别方法，两种方法是：中推荐了两
14、种异常值的判别方法，两种方法是：（1）在只剔除1个异常值时采用格拉布斯（Grubbs)准则。（2）在剔除多个异常值时采用狄克逊（Dixon)准则。6）异常值处理）异常值处理7）间接测量间接测量直接测量直接测量无需对被测的量与其它实测的量进行函数关系的辅助计算，而直接得到被测量值的测量。e.g.游标卡尺测零件直径D。间接测量间接测量实测的量与被测的量之间有已知函数关系，通过计算而得到被测量值的测量。e.g.通过测量圆柱体的圆周长度L，通过已知函数关系式D=L/，得到所求的零件直径D。函数误差函数误差间接测量误差是各个直接测量值误差的函数，这种误差称为函数误差。第第23页页8）函数误差计算）函数误
15、差计算已定系统误差随机误差线性无关完全正相关第第24页页相关系数特征：当01时，两随机变量呈正相关，即一随机变量增大时，另一随机变量的取值平均地增大；当-10时，两随机变量呈负相关，即一随机变量增大时，另一随机变量的取值平均地减小；当=-1时，两随机变量完全负相关；当=1时，两随机变量完全正相关；此时两随机变量之间有着确定的线性函数关系；当=0时，两随机变量间线性无关，即一随机变量增大时，另一随机变量的取值可能增大也可能减小；此时仅表示两误差间线性无关，并不表示它们之间不存在其它函数关系。第第25页页8）函数误差计算）函数误差计算实际工作中相关系数的确定：（1）观察法（2）直接计算法8 8）函
16、数误差计算）函数误差计算第第26页页应用举例圆柱体体积V的测量用千分尺直接测量圆柱体的直径d和高度h（d和h的基本尺寸均为10mm）各6次，测得值列于下表，求圆柱体体积V，并给出最后测量结果。直径d(mm)10.08510.08510.09010.08010.08510.080高度h(mm)10.10510.11510.11510.11010.11010.1058）函数误差的计算）函数误差的计算第第27页页应用举例-圆柱体体积V的计算（续）1、确定函数关系计算体积值8）函数误差的计算）函数误差的计算2、计算误差传递系数3、计算相关系数4、计算函数随机误差第第28页页9）误差的合成）误差的合成用
17、已定系统误差修正测值随机误差和未定系统误差合成未定系统误差取值具有随机性，服从一定的概率分布，具有一定的抵偿作用，可以采用随机误差的合成公式进行合成随机误差和未定系统误差采用发差合成方式，评估测量结果的分散性第第29页页不确定度定义：不确定度是测量结果带有的一个参数，用以表征合理合理赋予被测量的值的分散性分散性。准确度定义（精度）定义：测量结果与被测量真值之间的一致程度测量结果与被测量真值之间的一致程度。国际“通用计量学术语”中在B.2.14这条下有两条注解：不要使用“precision”来表示准确度。准确度是一个定性概念，可以用准确度高低、准确度为0.25级、准确度为三等及准确度符合标准的说
18、法。尽量不使用准确度为0.25%,16mg，16mg等方式表示。10）测量不确定度）测量不确定度第第30页页不确定度与误差的区别：不确定度与误差的区别：测量误差测量误差测量不确定度测量不确定度1测量值与真值之差，表明测量测量值与真值之差，表明测量结果偏离真值的量结果偏离真值的量表明测量值的分散性表明测量值的分散性2由于真值不可知，往往不能准由于真值不可知，往往不能准确得到。确得到。可以根据实验，或者资料、经可以根据实验，或者资料、经验等进行评定，从而可定量确验等进行评定，从而可定量确定。定。3是有正负号的量值是有正负号的量值无正负符号的参数无正负符号的参数4已知系统误差的估计值时，可已知系统误
19、差的估计值时，可以对测量值进行修正。对变值以对测量值进行修正。对变值系统误差无法处理。系统误差无法处理。不能用不确定度对测量结果进不能用不确定度对测量结果进行修正。无系统不确定度或随行修正。无系统不确定度或随机不确定度提法。机不确定度提法。10）测量不确定度）测量不确定度第第31页页不确定度的分类：不确定度的分类：标准不确定度：用标准偏差表示的不确定度。A类标准不确定度：用统计方法评定出的不确定度B类标准不确定度：用非统计方法评定出的不确定度合成标准不确定度：由各标准不确定度分量合成得到扩展标准不确定度：由合成标准不确定度乘以包含因子k得到10）测量不确定度）测量不确定度第第32页页(一）定义
20、：用非统计方法评定出的不确定度。(二）符号：用符号 u 表示，有多个分量时用u i表示(三）评定方法：11）标准不确定度的）标准不确定度的A类评定类评定第第33页页标准不确定度的标准不确定度的B B类评定：类评定：（一）定义：用非统计方法评定出的不确定度。（二）符号：用符号 u 表示，有多个分量时用 u i 表示，当既有A类又有B类时，下标 i 统一编号。（三）评定方法：B类评定方法获得的不确定度，不是依赖于对样本数据的统计计算，而是设法利用与被测量有关的其他先验信息来进行估计，这些先验信息如：有关测量方法、测量仪器、物理常数等的资料。例如：1986年基本物理常数推荐值给出基本电荷e的值是1.
21、60217733 1019（19）C（库），并且注明了括号中的数字是一倍标准偏差且与前面给定值的末位对齐，并给出其自由度为17。第第34页页12）标准不确定度的）标准不确定度的B类评定类评定B B类标准不确定度的具体评定方法：类标准不确定度的具体评定方法：1 1、已知扩展不确定度、已知扩展不确定度 U U 是标准不确定度的是标准不确定度的k k倍时：倍时：前述的不确定度信息来源中，有时信息是以“扩展不确定度 U 是标准不确定度的k（包含因子）倍”给出，把扩展不确定度U除以已知的包含因子k即可得到B类标准不确定度。如：当前对热电偶、色温度仪器、核素活度计、发光强度计、维氏硬度计、圆锥量规锥度仪器
22、等在其检定系统中明确规定按 k3 给出扩展不确定度U；对超声功率计、黑白密度计、橡胶硬度计等，明确规定按 k2 给出扩展不确定度U。例：校准证书表明标称值为1000g的标准砝码的质量为1000.000325g,且其扩展不确定度按3倍标准偏差计，为240g,这样可知：u=U3=2403=80g12）标准不确定度的）标准不确定度的B类评定类评定第第35页页属于类似已知信息的一种特例：当前还有不少测量仪器仍沿用50年代以来的习惯，用的倍数来表示校准结果的可靠程度。例如：1）射频与微波功率计、脉冲参数计量仪器、真空测量仪器等习惯用 3 来表示校准结果的可靠程度；2）燃烧热测量仪器、电导流量仪器、水流量
23、测量仪器等习惯用 2 来表示校准结果的可靠程度。3）液体闪烁放射性活度测量仪器、质量测量仪器等，给出置信概率为99.73%的情况下，由于原假设为理想的正态分布，故其含义实际为 3。碰到这种情况，只要除以相应的系数后得到单倍的 ，并令：u=即可，但要注意将其系数判断清楚。第第36页页12）标准不确定度的）标准不确定度的B类评定类评定2 2、已知扩展不确定度、已知扩展不确定度U UP P(常用常用U U9595 和和 U U99 99）：）：扩展不确定度 UP 的下标p表示的是扩展不确定度U的置信概率。置信概率还和分布的类型有关，如果没有特殊说明，则按正态分布考虑。这时相对应的包含因子k与置信概率
24、p的对应关系为：p=95%时 k=1.96，扩展不确定度符号：U95 p=99%时 k=2.576，扩展不确定度符号：U99 因此，知道了置信概率 p 就相当于知道了相应的包含因子 k 的值。当已知信息不但包括扩展不确定度 UP（例如 U95 和 U99）。而且 还给出了自由度，这时如果没有特殊说明，则按 t分布考虑，需按给定的置信概率 p 和 给定的自由度 查 t 分布表来得到相应的包含因子 k 的值，该值与相同置信概率下的正态分布的 k 值不同。（大于正态分布的k值）第第37页页12）标准不确定度的）标准不确定度的B类评定类评定3、给出置信区间的上下限的情况：、给出置信区间的上下限的情况：
25、已知信息表明:在 x a 区间内包含了X全部可能值，这种情况实际上可以理解为给出了最大误差限，或给出了极限误差。则根据极限误差的分布特征确定B类标准不确定度。例如：手册上给出纯铜在20 时的线膨胀系数20 为 16.5210-6 -1,并说明此值变化的区间不超过0.40 10-6 -1。根据此有限的信息，可以认为手册所给出的20 的置信区间的上限a+和下限a 相同，均为 0.40 10-6 -1，也就是可以认为 20 的值，等概率地落在 (16.520.40)10-6 -1 范围内的概率为100，而落在该范围外的概率为零。将线膨胀系数20取为 16.5210-6 -1，这时其B类标准不确定度如
26、何确定？20的分布是什么分布？20的分布可认为是均匀分布，其半宽度为0.40 10-6 -1，该均匀分布的标准偏差为0.40 10-6 =0.23 10-6 -1，故其B类标准不确定度 u=0.23 10-6 -1。第第38页页12）标准不确定度的）标准不确定度的B类评定类评定4 4、当知道测量仪器的引用误差时：、当知道测量仪器的引用误差时：引用误差（引用误差（fiducial error of a measuring instrument）测量器具的最大绝对误差与该标称范围上限（或量程）之比。测量器具的最大绝对误差与该标称范围上限（或量程）之比。则根据引用误差的分布特征确定B类标准不确定度。
27、如：试评定引用误差为0.2级的压力表的B类标准不确定度。解：因引用误差为0.2%,则在其全量程（FS)范围内的最大的可能误差为：0.2%（FS），除了最大误差点外，其他点的误差应小于最大误差值，每个测值点从最大误差值到“0”误差值都可能出现，只能整体上认为在每个测值点上不同误差出现的概率相等，故引用误差时误差分布认为是均匀分布。因此，在全量程范围内的每一个测值点的B类标准不确定度为：0.2%（FS)第第39页页12）标准不确定度的）标准不确定度的B类评定类评定5、测量仪器的分辨力等导致的标准不确定度、测量仪器的分辨力等导致的标准不确定度 5.1分辨力导致的标准不确定度分辨力导致的标准不确定度
28、分辩力定义为：显示装置能有效辨别的最小示值差，对目前广分辩力定义为：显示装置能有效辨别的最小示值差，对目前广泛使用的数字式显示装置，即变化末位一个有效数字时，其示值泛使用的数字式显示装置，即变化末位一个有效数字时，其示值的变化，即所谓步进量。的变化，即所谓步进量。分辩力导致的示值误差限为0.5个步进量，即其分辩区间的半宽a为0.5步进量。由于被测量可能出现在这一分散区间之内的任一点的概率相等，应估计其分布类型为均匀分布。设分辩力为x ,则由此而带来的B类标准不确定度为：0.5 x 0.29 x 例：指示装置最末位的数字是例：指示装置最末位的数字是1g的数字式称重仪器由分辨力等导致的标准的数字式
29、称重仪器由分辨力等导致的标准不确定度为：不确定度为：0.51 0.2910.29g第第40页页12）标准不确定度的）标准不确定度的B类评定类评定 5.2 连续测量时测量仪器的示值滞后导致的标准不确定度 （计算与分辨力导致的标准不确定度类似）连续测量读数时，一个仪器的示值可能在不停地递增或递减，且仪器可能对平衡点有一个振荡，造成仪器读数不能及时同步显示，若此原因引起的可能读数宽为 dx，则由滞后引起的标准不确定度为：第第41页页12）标准不确定度的）标准不确定度的B类评定类评定6、没有给出不确定度的数据、没有给出不确定度的数据一些手册中查出的数据不少都没有有关不确定度的任何信息，应考虑舍入误差或
30、误差限。例如以下的密度表：对铝，其舍入误差界限为0.005,满足均匀分布，故其B类标准不确定度 u=0.005/=0.003 g/cm2 ，对玻璃，其最佳估计值为(2.4+2.8)2=2.6，按半区间宽为0.2 的均匀分布求其B类标准不确定度u=0.2/=0.12(g/cm2)物质密度(g/cm2)铝2.70铅11.3玻璃2.42.8第第42页页12）标准不确定度的）标准不确定度的B类评定类评定 若不确定度分量的各种因素与测量结果没有确定的函数关系，则应根据具体情况按A类评定或B类评定方法来确定各不确定度分量ui的值，然后求得合成标准不确定度为：若y=x1+x2+xm,且 xi 相互间独立时，
31、13）合成标准不确定度的评定）合成标准不确定度的评定第第43页页对于间接测量的情况，对于间接测量的情况，Y=F(XY=F(X1 1,X,X2 2,X Xm m)时，有如下时，有如下的合成标准不确定度公式：的合成标准不确定度公式：式中：式中：u uc c(y)(y)输出量估计值输出量估计值y y的合成标准不确定度的合成标准不确定度 u(u(x xi i),u(),u(x xj j)输入量估计值输入量估计值 x xi i和和x xj j 的标准不确定度的标准不确定度 函数函数 F(XF(X1 1,X,X2 2,）在）在(x x1 1,x,x2 2,x xm m)处的偏导数，处的偏导数，称为灵敏系数
32、，在误差合成公式中称其为传播系数；称为灵敏系数，在误差合成公式中称其为传播系数；ijij X Xi i和和X Xj j 在在(x xi i,x,xj j)处的相关系数处的相关系数 13）合成标准不确定度的评定）合成标准不确定度的评定第第44页页下面有关下面有关A A类类B B类标准不确定度的概念和提法那些对？类标准不确定度的概念和提法那些对？那些不对或不准确？那些不对或不准确？1、测量的不确定度为0.002mm。测量结果的不确定度为0.002mm。测量仪器的（示值）不确定度为0.002mm。2、测量仪器示值的最大允许误差为0.002mm。测量仪器的最大允许误差为0.002mm。测量仪器的最大示
33、值误差为 0.002mm。测量仪器的误差为 0.002mm。3、测量仪器的准确度为三等或三级。4、测量的随机不确定度及测量的系统不确定度。5、测量的A类标准不确定度来源于随机误差，而 测量的B类标准不确定度来源于系统误差。讨论讨论第第45页页扩展不确定度由合成标准不确定度uc乘以一个包含因子k得到（k一般在23范围内选取）。符号：用符号 U,Up表示。记为：U=k*uc 或：Up=k*uc 包含因子k的确定：包含因子k的大小由置信概率p和分布的类型确定。1）一般测量时，如果没有特殊说明，则按正态分布考虑。2）重要的测量，或测量次数较小时，k由t分布确定：包含因子k（t分布时常用符号 t表示）由
34、置信概率p(或）、以及自由度从t分布表查出。14）扩展不确定度的评定）扩展不确定度的评定第第46页页自由度的概念自由度定义为计算总和中独立项的个数，即总和的项数减去其中受约束的项研究自由度的意义自由度的大小直接反映了不确定度的评定质量，自由度并非测量结果的自由度，而是所评定的标准偏差的自由度，也就是不确定度的自由度 不确定度的评定质量取决于标准差的可信赖程度，标准差的信赖程度与自由度关系如下：上式表明：自由度越大，标准差的相对不确定度越小，标准差愈可信赖。第第47页页14）扩展不确定度的评定）扩展不确定度的评定自由度的计算方法（评定）情况1）：对于一个测量样本，自由度等于该样本数据中的n个独立
35、测量个数减去待求量的个数1，即 。情况2）：对某量X进行n次独立重复测量，在用贝塞尔公式计算实验标准差是，需要计算残差平方和中的n个残差 ，因为n个残差满足一个约束条件 ，即独立残差个数为n-1，即用贝塞尔公式估计实验标准差的自由度为n-1。情况3）：按估计相对标准差来定义的自由度称为有效自由度，记为Veff，计算公式为：（常用于B类标准不确定度的评定）第第48页页14）扩展不确定度的评定）扩展不确定度的评定当某些不确定度分量的自由度未明确给出时，应对这些当某些不确定度分量的自由度未明确给出时，应对这些分量的自由度进行分析和评定，对某些先验信息进行分分量的自由度进行分析和评定，对某些先验信息进
36、行分析后，再析后，再第一种情况：可确切断定其测值不可能超出半区间a,（例如给出的是最大允许误差，严格的均匀分布），这时：实际操作中，B类对应分布律不是非常确认时，对应自由度取20进行计算.第第49页页14）扩展不确定度的评定）扩展不确定度的评定 第二种情况：不能完全断定其测值区间不超出某区间第二种情况：不能完全断定其测值区间不超出某区间a这时：应根据经验判断其不确定度自身的相对不确定度的大小，也就是根据经验判断不确定度u之值大约不可靠程度。一般认为1030，最大为50。例如：仪器检定证书给出的不确定度，可认为可靠性达到75，则其不可靠程度为25，计算出相应自由度为8。膨胀系数等手册中给出的数据
37、，可假定其可靠性为90，则其不可靠程度为10，计算出相应自由度为50。第第50页页14）扩展不确定度的评定）扩展不确定度的评定合成标准不确定度的自由度：合成标准不确定度的自由度：当各不确定度分量当各不确定度分量u ui i的自由度的自由度 均已知时，合成标准均已知时，合成标准不确定度不确定度u uc c的自由度（常称为有效自由度）计算公式为：的自由度（常称为有效自由度）计算公式为：第第51页页14）扩展不确定度的评定）扩展不确定度的评定扩展不确定度的自由度与合成标准不确定度的自由度相同。扩展不确定度的自由度与合成标准不确定度的自由度相同。一、测量结果的不确定度的表示一、测量结果的不确定度的表示
38、（引自（引自GUM)GUM中规定的测量结果的不确定度的表示方式：中规定的测量结果的不确定度的表示方式：1、少数情况下可用合成标准不确定度uc来表示测量结果的不确定度：适用范围：a）基础计量学研究 b）基本物理常量测量 c）复现国际单位制的国际比对2、一般均用扩展不确定度 U或Up来表示测量结果的不确定度：除上述指明的3种情况及某些特殊要求情况以外 均用扩展不确定度 U或Up来表示！15）测量结果的不确定度表示）测量结果的不确定度表示第第52页页合成标准不确定度合成标准不确定度u u c c 表示方式表示方式假设被测量是标称值为 100g 的标准砝码的质量 m s,其测量的估计值为 y=100.
39、02147g，对应的合成标准不确定度u c=0.35mg可用表示方式：可用表示方式：15）测量结果的不确定度表示）测量结果的不确定度表示1.ms=100.02147g,uc=0.35mg（或uc=0.00035g）。2.ms=100.02147（35）g,其中括号中的数是（合成标准不确定度）uc 的数值，uc与测量结果的最后位对齐。3.ms=100.02147（0.00035）g,括号中的数是（合成标准不确定度）uc 的数值，以给出的单位表示。4.ms=100.021470.00035）g,其中在号后的数值是（合成标准不确定度）uc 的数值，它并非置信区间。（注：其中第4种尽量不用）注：在获知
40、自由度的情况下，最好再给出自由度。注：在获知自由度的情况下，最好再给出自由度。第第53页页扩展不确定度扩展不确定度U U 表示方式表示方式假设被测量是标称值为假设被测量是标称值为100 g 100 g 的标准砝码的质量的标准砝码的质量 m m s s,其测量的估计其测量的估计值为值为 y=100.02147gy=100.02147g，对应的合成标准不确定度，对应的合成标准不确定度u u c c=0.35mg0.35mg，自由度，自由度V=9V=9。推荐表示推荐表示方式方式 (括号中的文字可省略括号中的文字可省略)：m s=(100.021470.00079)g，其中括号后的数值为扩展不确定度U
41、k u c(y)，U是由（合成标准不确定度）u c=0.35mg和（包含因子）k2.26确定的，k是依据置信概率p=0.95 和自由度9 由t分布表查得的。在有些领域，要求对测量不确定度的表达只用相对不确定度Urel或Uprel给出，例如时钟的不确定度、频率测量的不确定度、压力及电流的不确定度等。这时也应注明置信概率和自由度。15）测量结果的不确定度表示）测量结果的不确定度表示第第54页页使用扩展不确定度时的简化表示形式使用扩展不确定度时的简化表示形式（1）使用U:1.ms=100.02147g,U=0.70mg;k=2。2.ms=(100.021470.0007)g;k=2。（2）使用Up:
42、1.ms=100.02147g,U95=0.79mg;eff=9。2.ms=(100.021470.00079)g;eff=9,括号内第二项为U95之值。3.ms=100.02147（79）g;eff=9,括号内为U95之值，其末位与前面结果内末位数对齐。4.ms=100.02147（0.00079）g;eff=9,括号内为U95之值，与前面结果有相同计量单位。15）测量结果的不确定度表示）测量结果的不确定度表示第第55页页16）测量数据处理的完整步骤）测量数据处理的完整步骤第第56页页16）测量数据处理的完整步骤）测量数据处理的完整步骤第第57页页 例题：普通物理实验中：用数字电压表测直流电
43、压源的电压值(电压表的最大允许误差为0.000002V),得：10.000107,10.000103,10.000097,10.000111,10.000091,10.000108,10.000121,10.000101,10.000110,10.000094,从说明书中得到数字电压表的最大允许误差为从说明书中得到数字电压表的最大允许误差为 0.000002V试试:按照测量数据处理的完整步骤给出测量结果表达式。按照测量数据处理的完整步骤给出测量结果表达式。测量数据处理示例测量数据处理示例 1第第58页页可计算出测值中残余偏差绝对值最大的是：可计算出测值中残余偏差绝对值最大的是：x710.000
44、121,v7=0.000017格拉布斯准则：格拉布斯准则：由于是物理实验，显著性水平由于是物理实验，显著性水平选为选为0.05，由由n10和和0.05查格拉布斯准则临界值查格拉布斯准则临界值 G（，n）表）表测量数据处理示例测量数据处理示例 1第第59页页测量次数n=0.05=0.0171.942.1082.032.2292.112.32102.182.41112.232.48格拉布斯准则临界值格拉布斯准则临界值G（，n）表）表测量数据处理示例测量数据处理示例 1第第60页页由n10和0.05查出格拉布斯准则临界值 G（0.05，10）=2.18测量数据处理示例测量数据处理示例 1第第61页页
45、测量数据处理示例测量数据处理示例 1第第62页页测量数据处理示例测量数据处理示例 1第第63页页测量数据处理示例测量数据处理示例 1第第64页页二、最小二乘法原理二、最小二乘法原理 测量结果的最佳估计值应在残差加权平方和为最小的意测量结果的最佳估计值应在残差加权平方和为最小的意义下求得。按残差平方和为最小进行统计推断已形成一种准义下求得。按残差平方和为最小进行统计推断已形成一种准则。则。一、问题的提出及特点一、问题的提出及特点 1 1、测量方程的个数多于待估参数、测量方程的个数多于待估参数x xi i的个数，的个数，2 2、虽然测量方程组提供的是测量数据的信息，但不可能、虽然测量方程组提供的是
46、测量数据的信息，但不可能通过直接解测量方程组，而得出待估参数的最可信赖通过直接解测量方程组，而得出待估参数的最可信赖的估计值。的估计值。3 3、需利用最小二乘法求出待估计参数的最可信赖值。、需利用最小二乘法求出待估计参数的最可信赖值。4 4、还必须给出求出的待估参数最可信赖值的不确定度、还必须给出求出的待估参数最可信赖值的不确定度17）线性参数的最小二乘法处理）线性参数的最小二乘法处理第第65页页第第66页页17）线性参数的最小二乘法处理）线性参数的最小二乘法处理第第67页页17）线性参数的最小二乘法处理）线性参数的最小二乘法处理第第68页页17）线性参数的最小二乘法处理）线性参数的最小二乘法
47、处理第第69页页17）线性参数的最小二乘法处理（矩阵形式）线性参数的最小二乘法处理（矩阵形式）最小二乘法原理式最小二乘法原理式 第第70页页17）线性参数的最小二乘法处理（矩阵形式）线性参数的最小二乘法处理（矩阵形式）三、最小二乘法的标准偏差的估计三、最小二乘法的标准偏差的估计 1、直接测量数据的不确定度（实验标准偏差）的评定。2、求出的最小二乘法参数估计值的不确定度的评定。最小二乘参数估计解题步骤：1、列出测量残差方程组。2、列出正规方程组并求出各系数。3、解正规方程组得到最佳估计值。17）线性参数的最小二乘法处理）线性参数的最小二乘法处理第第71页页17）线性参数的最小二乘法处理）线性参数
48、的最小二乘法处理第第72页页对于一元线性函数的最小二乘参数估计（注意：b是斜率，a是截距！）常用，可记住！17）线性参数的最小二乘法处理）线性参数的最小二乘法处理第第73页页考试题型：考试题型：1 1）填空题，）填空题，2 2）判断题）判断题 3 3）选择题，）选择题，4 4）简单计算题）简单计算题 5 5）问答题，）问答题，6 6）综合计算题）综合计算题开卷考核时间开卷考核时间：第第1616周晚课内周晚课内(12(12月月2929日晚日晚7 7：20-820-8：5050）地点地点：原授课教室原授课教室(6A-301)(6A-301)建议携带计算器，教材或讲义建议携带计算器，教材或讲义考试安排考试安排第第74页页 预祝大家圣诞快乐，考试取得好成绩！第第75页页