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1、1偏微分方程的相关概念偏微分方程的相关概念偏微分方程：偏微分方程：一个包含有多元未知函数及其偏导数的等式。方程中所含未知函数偏导数的最高阶数称为该方程的阶阶。如：等。如果方程关于未知函数及其各阶偏导数是线性的，则称它是线线性性的的；如果它关于所有最高阶偏导数是线性的，则称它是拟线性的拟线性的。第1页/共47页2定定解解问问题题：定解条件通常包括边边界界条条件件和初初始始条条件件两种。含有定解条件的方程求解问题称为定定解解问问题题，包括初值问题（Cauchy问题）、边值问题和混合问题。方方程程的的解解：若函数u连续并具有方程所涉及的连续的各阶偏导数，且该函数代入方程使得方程在某区域内成为恒等式，
2、则称该函数为方程在该区域内的解解（古古典典解解）。满足某些特定条件的解称为特特解解，这些条件称为定定解解条条件件。一般情况下，一个具有n个自变量的m阶方程的解可以含有m个n-1元任意函数，这样的解称为通解通解。第2页/共47页3一阶线性偏微分方程一阶线性偏微分方程一阶齐次线性偏微分方程一阶齐次线性偏微分方程(1)显然方程有平凡解u=常数。一般求其非平凡解。以下以含有3个自变量的方程为例，一般形式为(2)第3页/共47页4常微分方程组(3)称为方程(2)的特征方程组特征方程组，每一条积分曲线称为方程(2)的特征线特征线。第4页/共47页5若由特征方程组(3)推出函数 恒为常数，则称该函数为方程组
3、(3)的一个首次积分首次积分。若特征方程组(3)的3个独立的首次积分为则特征方程组(3)的通解为第5页/共47页6例1.求解方程组解：由得，因此得到一个首次积分为再由得，因此得到另一个首次积分为于是原方程的隐式通解为第6页/共47页7由(3)可得(4)若(4)的一个首次积分为的一个首次积分。于是得到方程组(3)的一个等价形式：，则它也称为(3)第7页/共47页8对于一阶齐次线性偏微分方程(2)与它的特征方程组(3)或(4)，我们有以下结论：证明从略。定理定理1 1：连续可微函数 是(2)的解的充分必要条件是 是(4)的首次积分。定理定理2 2：如果 是(4)的两个独立的首次积分，则它们的任意连
4、续可微函数 是(2)的通解。第8页/共47页9例2.求解方程解：特征方程组为或首次积分为于是原方程的隐式通解为，其中 为任意二元连续可微函数。第9页/共47页10齐次线性偏微分方程的齐次线性偏微分方程的Cauchy问题问题(5)其中 f 为已知函数。例3.求解Cauchy问题第10页/共47页11解：特征方程组为首次积分为于是原方程的通解为，其中 为任意二元连续可微函数。将该解代入初始条件，得第11页/共47页12于是从而原Cauchy问题的解为第12页/共47页13非齐次线性偏微分方程非齐次线性偏微分方程(6)其中 f,g为已知函数。其特征方程组为将前面两个等式解出后代入最后一个条件即可求出
5、三个首次积分，从而得到通解。第13页/共47页14一阶拟线性偏微分方程一阶拟线性偏微分方程(7)其特征方程组为(8)以两个自变量的方程为例。设其首次积分为，则(7)的隐式通解为第14页/共47页15例4.求解方程解：特征方程组为首次积分为于是原方程的隐式通解为其中 为任意二元连续可微函数。第15页/共47页16例5.求解Cauchy问题解：特征方程组为首次积分为于是原方程的隐式通解为其中 为任意二元连续可微函数。将该解代入初始条件，得于是有，解得再由初始条件得Cauchy问题的解为第16页/共47页17带年龄结构的线性人口发展模型带年龄结构的线性人口发展模型线性模型的建立考考虑虑一一个个稳稳定
6、定社社会会的的人人口口发发展展过过程程。设设人人口口数数量量不不仅仅和和时时间间 t 有有关关，还还和和年年龄龄 a 有有关关。若若人人口口数数量量很很大大，假假设设按按年年龄龄连连续续分分布布。以以函函数数 p(a,t)表表示示人人口口在在任任意意时时刻刻 t 按按年年龄龄 a 的的分分布布密密度度，则则在在时时刻刻 t，年年龄龄在在区区间间a,a+da中中的的人人口口数数量量为为 p(a,t)da，因因此此在在时刻时刻 t 的人口总数为的人口总数为第17页/共47页18若若不不考考虑虑死死亡亡，则则在在时时刻刻 t+t，年年龄龄在在a,a+a中中的的人人口口数数量量 p(a,t+t)a，应
7、应等等于于在在时时刻刻 t，年年龄龄在在区区间间a t,a+a t中中的的人人口口数数量量p(a t,t)a，即即令令 t0，有，有因此因此 p(a,t)应满足应满足第18页/共47页19但但实实际际上上必必须须考考虑虑死死亡亡的的影影响响。设设(a)是是单单位位时时间间内内年年龄龄在在a,a+da中中的的人人口口死死亡亡概概率率，则则在在时时间间段段t,t+dt内内，从从年年龄龄在在区区间间adt,a中中的的人人口口成成长长为为年年龄在区间龄在区间a,a+dt中的人口的过程中死亡人数为中的人口的过程中死亡人数为于是于是或或将两端同时将两端同时Taylor展开，并舍去高阶项，有展开，并舍去高阶
8、项，有第19页/共47页20这就是描述人口发展的一阶双曲型偏微分方程。这就是描述人口发展的一阶双曲型偏微分方程。(1)方方程程(1)对对应应的的初初始始条条件件为为 ，这这里里p0(a)表示初始人口分布密度。表示初始人口分布密度。要要给给出出方方程程(1)所所对对应应的的边边界界条条件件 p(0,t)，就就需需要要考考虑虑人人口口的的出出生生情情况况了了。假假设设男男女女比比例例基基本本平平衡衡，生生育育率率为为(a)，则则在在时时间间段段t,t+dt内内出出生生的的婴婴儿儿总总数为数为第20页/共47页21另另一一方方面面，在在时时间间段段t,t+dt内内出出生生的的婴婴儿儿总总数数应应等等
9、于于时时刻刻 t+dt 在在年年龄龄区区间间0,dt中中的的人人数数p(0,t+dt)dt，即，即或或令令dt0，则得到边界条件，则得到边界条件方方程程(1)与与初初始始条条件件、边边界界条条件件一一起起便便构构成成了了人人口发展的偏微分方程模型：口发展的偏微分方程模型：第21页/共47页22(2)同样，可建立带迁移的人口模型：同样，可建立带迁移的人口模型：(3)其中其中 f(a,t)为迁移率。为迁移率。第22页/共47页23利利用用特特征征线线法法结结合合积积分分变变换换法法，可可以以得得出出模模型型(2)及模型及模型(3)的解。的解。第23页/共47页24非线性模型的建立我们再考虑环境对人
10、口的影响。设我们再考虑环境对人口的影响。设表表示示 t 时时刻刻的的社社会会总总人人口口数数。考考虑虑到到人人口口的的生生存存与与其其总总容容量量有有关关，一一般般可可用用 (a,t,N(t)表表示示死死亡亡率率，用用 (a,t,N(t)表表示示年年龄龄为为 a 的的社社会会人人口口在在 t 时时刻刻平平均均单单位位时时间间内内的的平平均均生生育育率率，即即生生育育率率。我我们们再再考考虑虑人人口口迁迁移移因因素素，设设 f(a,t)表表示示 t 时时刻刻年年龄龄为为 a 的的社社会会人人口口在在单单位位时时间间、单单位位年年龄龄内内的的迁迁移移人人数数，则则有有更更一般的非线性人口发展系统：
11、一般的非线性人口发展系统：第24页/共47页25(4)第25页/共47页26精神病用药问题的方程模型精神病用药问题的方程模型问题的提出精精神神病病药药物物研研究究需需测测定定新新药药的的效效果果，例例如如治治疗疗帕帕金金森森症症的的多多巴巴胺胺的的脑脑部部注注射射效效果果。为为了了精精确确估估计计药药物物影影响响的的脑脑部部区区域域，我我们们必必须须估估计计注注射射后后药药物物在在空空间的分布形状和尺寸。间的分布形状和尺寸。研研究究的的数数据据包包括括50根根圆圆柱柱组组织织样样本本中中每每一一根根所所含含药药物物的的测测量量值值(见见表表1、表表2及及图图1)。每每一一圆圆柱柱的的长长度度为
12、为0.76mm，直直径径为为0.66mm。这这些些平平行行圆圆柱柱的的中中心心位于位于1mm0.76mm1mm的网格点上。因此，圆的网格点上。因此，圆第26页/共47页27表1 后方垂直截面16444213204141884807022 14411 5158 3522091 23027 28353 13138 681789 21260 20921 11731 727213130337651715 453表2 前方垂直截面163324432243166712405560981048 2322137 15531 19742 4785 330444 11431 14960 3182 30129420
13、611036258188柱柱在在底底面面相相互互接接触触，侧侧面互不接触。面互不接触。注注：一一个个计计量量单单位位表表示示4.7531013 mol/l 的的多多巴巴胺胺，表表中中的的数数字字如如28353表表示示中中间间后后部部圆圆柱柱含含有有28353个个单单位位的的药物。药物。试试估估计计药药物物在在它它影影响响区域中的分布。区域中的分布。第27页/共47页28图1 药物含量分布图第28页/共47页29假设忽略样本组织中多巴胺的原始含量；假设样本组织的大小与其余脑组织的大小相比可以忽略，且样本组织不靠近脑边界；假设大脑是均匀的，扩散和衰减决定了多巴胺在大脑中迁移过程，忽略对流过程的影响
14、；假设仅进行一次多巴胺注射，注射位于原点；假设注射和取样之间有较长时间间隔，可以忽略注射过程和各个柱体取样时间的差别。第29页/共47页30在在假假设设中中，我我们们认认为为分分子子扩扩散散和和成成分分衰衰减减是是主主要要的的迁迁移移方方式式。成成分分的的衰衰减减显显然然可可看看作作是是与与多多巴巴胺胺的的含含量量密密度度(浓浓度度)C(x,y,z,t)(剂剂量量单单位位/mm3)成成正正比比的的。设设该该比比例例系系数数(即即成成分分衰衰减减系系数数)为为 k。下下面面来来考考虑虑分分子的扩散。子的扩散。先先考考虑虑物物质质仅仅沿沿 x 轴轴方方向向的的扩扩散散。如如图图2，垂垂直直于于 x
15、 轴任作柱体，截面为轴任作柱体，截面为 A。方程模型的建立图2第30页/共47页31一一方方面面，该该柱柱体体中中物物质质扩扩散散时时位位于于区区间间段段x,x+x的的物质物质在时间段在时间段t,t+dt内内的增量为的增量为另另一一方方面面，扩扩散散理理论论中中的的涅涅恩恩斯斯特特实实验验定定律律告告诉诉我我们们，在在时时间间 t内内，物物质质沿沿 x 轴轴正正向向流流过过 x 处处截截面面(面面积积为为A)的的质质量量为为(其其中中 Ex 0 称称为为 x 方方向向的的扩扩散散系系数数)：第31页/共47页32同同理理，在在时时间间 t内内，物物质质沿沿 x 轴轴正正向向流流过过 x+x 处
16、截面的质量为：处截面的质量为：于于是是在在时时间间 t内内，流流入入微微元元体体x,x+x内内的的物物质质质量为：质量为：第32页/共47页33显然显然，即，即由由于于大大脑脑是是均均匀匀的的，显显然然沿沿各各方方向向的的扩扩散散是是一一致致的的，且且扩扩散散系系数数 Ex(Ey,Ez)均均为为常常数数，再再考考虑虑到到成成分分的衰减，应有的衰减，应有(5)第33页/共47页34又设又设 t=0 时瞬时点源的剂量为时瞬时点源的剂量为M，则，则其中其中(6)(6)(6)式式为为方方程程(5)的的初初始始条条件件。(5)(6)即即构构成成了了用用药药问问题题的方程模型。利用积分变换法可求得其解。的
17、方程模型。利用积分变换法可求得其解。第34页/共47页35偏微分方程的傅里叶变换解法偏微分方程的傅里叶变换解法傅里叶变换及其基本性质若 f(x)在-l,l分段连续可导(逐段光滑)，则 f(x)在(-l,l)可以展开为Fourier级数：其中第35页/共47页36将系数代入，并设 f(x)在(,)内绝对可积，则整理可得令则称 g()为 f(x)的傅里叶变换，记为Ff；称f(x)为g()的傅里叶逆变换，记为F1f。第36页/共47页37性质1性质2性质3性质4其中定义卷积性质5第37页/共47页38例 求解定解问题关于x进行傅里叶变换，记Fu=U，F=，则有其解为傅里叶变换法求解偏微分方程第38页
18、/共47页39于是原问题的解为而故第39页/共47页40偏微分方程的分离变量解法偏微分方程的分离变量解法下面来求解定解问题：(1)(2)(3)第40页/共47页41作具有分离变量形式的试解 u(x,t)=X(x)T(t)，代入方程(1)，得(4)(5)即有从而得到两个常微分方程第41页/共47页42再将试解 u(x,t)=X(x)T(t)代入边界条件(2)，得(6)即有下面首先来求解本征值问题(5)(6)的非零解。当 0时，常微分方程(5)的通解为由(6)得，欲求得非零解，必须有于是只有第43页/共47页44此时，常微分方程(5)的通解为而常微分方程(4)变为于是得到其通解为第44页/共47页45将上述所有uk(x,t)进行叠加，得到(7)将(7)代入初始条件(3)，又可得到由傅里叶级数理论可以得到待定系数Ak、Bk的积分表达式：第45页/共47页46函数(7)、(8)、(9)就是定解问题(1)、(2)、(3)的级数解：(8)(9)第46页/共47页47谢谢您的观看！第47页/共47页