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1、探索勾股定理 baca2+b2=c2即直角三角形两直角边的平方和等于即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方斜边的平方.A探索勾股定理证明共33页，您现在浏览的是第1页!一、网格图证明法一、网格图证明法观察右边两观察右边两幅图：幅图：填表（每个小正方形的面积为单位填表（每个小正方形的面积为单位1）：）：A的面的面积积B的面的面积积C的面的面积积左左图图右右图图4 4？怎样计算怎样计算正方形正方形C的面积呢的面积呢？9 9 1616 9 9 A探索勾股定理证明共33页，您现在浏览的是第2页!“割割”“补补”“拼拼”方法一：方法一：方法二：方法二：方法三：方法三：分分割割为四个直为四个直角三角形
2、和一角三角形和一个小正方形个小正方形补补成大正方形，成大正方形，用大正方形的面用大正方形的面积减去四个直角积减去四个直角三角形的面积三角形的面积将几个小块将几个小块拼拼成成一个正方形，如一个正方形，如图中两块红色图中两块红色（或绿色）可拼（或绿色）可拼成一个小正方形成一个小正方形A探索勾股定理证明共33页，您现在浏览的是第3页!分析表中数据，你发现了什么？分析表中数据，你发现了什么？A的面的面积积B的面的面积积C的面的面积积左左图图4913右右图图16925结论 以直角三角形两直角边为以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积
3、斜边为边长的正方形的面积.A探索勾股定理证明共33页，您现在浏览的是第4页!二、拼图法二、拼图法cab1、准备四个全等的直角三角形（设直角三、准备四个全等的直角三角形（设直角三角形的两条直角边分别为角形的两条直角边分别为a，b，斜边为斜边为c）；2、你能用这四个直角三角形拼成一个正、你能用这四个直角三角形拼成一个正方形吗？拼一拼试试看方形吗？拼一拼试试看3、你拼的正方形中是否含有以斜边、你拼的正方形中是否含有以斜边c的正的正方形？方形？4、你能否就你拼出的图说明、你能否就你拼出的图说明a2+b2=c2？A探索勾股定理证明共33页，您现在浏览的是第5页!cabcabcabcabc2=4ab2+(
4、b-a)2=2ab+b2-2ab+a2=a2+b2a2+b2=c2大正方形的面积可以表示为大正方形的面积可以表示为；也可以表示为也可以表示为c24ab2-(b-a)2A探索勾股定理证明共33页，您现在浏览的是第6页!四四四四、青青青青朱朱朱朱出出出出入入入入图图图图：以以以以刘刘刘刘徽徽徽徽的的的的“青青青青朱朱朱朱出出出出入入入入图图图图”为为为为代代代代表表表表，证证证证明明明明不不不不需需需需用用用用任任任任何何何何数数数数学学学学符符符符号号号号和和和和文文文文字字字字，更更更更不不不不需需需需进进进进行行行行运运运运算算算算，隐隐隐隐含含含含在在在在图图图图中中中中的的的的勾勾勾勾股
5、股股股定定定定理理理理便便便便清清清清晰晰晰晰地地地地呈呈呈呈现现现现，整整整整个个个个证证证证明明明明单单单单靠靠靠靠移移移移动动动动几几几几块块块块图图图图形形形形而而而而得得得得出出出出，被被被被称称称称为为为为“无无无无字字字字证证证证明明明明”。约公元约公元 263 年，三国时代魏国的数学家年，三国时代魏国的数学家刘徽为古籍九章算术作注释时，用刘徽为古籍九章算术作注释时，用“出入相补法出入相补法”证明了勾股定理。证明了勾股定理。A探索勾股定理证明共33页，您现在浏览的是第7页!做做做做法法法法是是是是将将将将一一一一条条条条垂垂垂垂直直直直线线线线和和和和一一一一条条条条水水水水平平
6、平平线线线线，将将将将较较较较大大大大直直直直角角角角边边边边的的的的正正正正方方方方形形形形分分分分成成成成 4 4 4 4 分分分分。之之之之后后后后依依依依照照照照图图图图中中中中的的的的颜颜颜颜色色色色,将将将将两两两两个个个个直直直直角角角角边边边边的的的的正正正正方方方方形形形形填填填填入入入入斜斜斜斜边边边边正正正正方方方方形形形形之之之之中，便可完成定理的证明。中，便可完成定理的证明。中，便可完成定理的证明。中，便可完成定理的证明。单击图片打开单击图片打开五五五五、在在在在印印印印度度度度、在在在在阿阿阿阿拉拉拉拉伯伯伯伯世世世世界界界界和和和和欧欧欧欧洲洲洲洲出出出出现现现现
7、的的的的一一一一种种种种拼拼拼拼图图图图证明证明证明证明A探索勾股定理证明共33页，您现在浏览的是第8页!AaBCbDEFOABCDEFA探索勾股定理证明共33页，您现在浏览的是第9页!例例1飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方到一个男孩头顶正上方4000米处，过了米处，过了20秒，秒，飞机距离这个男孩飞机距离这个男孩5000米，飞机每小时飞行多米，飞机每小时飞行多少千米？少千米？4000500050004000CBAA探索勾股定理证明共33页，您现在浏览的是第10页!议一议：用数格子的方法判断图中三角形的三议一议：用数格子的方法判断图中三角
8、形的三边长是否满足边长是否满足a2+b2=c2？aabbccA探索勾股定理证明共33页，您现在浏览的是第11页!试一试试一试有一个水池有一个水池,水面是一个边长为水面是一个边长为10尺的正方形尺的正方形,在在水池正中央有一根新生的芦苇水池正中央有一根新生的芦苇,它高出水面它高出水面1尺尺.如果把这根如果把这根芦苇拉向岸边芦苇拉向岸边,它的顶端恰好到达岸边的水面它的顶端恰好到达岸边的水面,请问这个水池请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少的深度和这根芦苇的长度各是多少?5尺1尺x 尺x2+52=(x+1)2x=12水池水池A探索勾股定理证明共33页，您现在浏览的是第12页!（3）如图在）如图
9、在ABC中，中，ACB=90，CDAB，D为为垂足垂足，AC=2.1cm,BC=2.8cm.求求ABC的面积；的面积；斜边斜边AB的长；的长；斜边斜边AB上的高上的高CD的长。的长。DABCA探索勾股定理证明共33页，您现在浏览的是第13页!补充练习：补充练习：1、放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿着东、放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿着东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是是40米米/分，小红用分，小红用15分钟到家，小颖用分钟到家，小颖用20分钟到家，分钟到家，小红和小颖家的距离为小红和小颖家的距离为（）A、600米；米；
10、B、800米；米；C、1000米；米；D、不能确定、不能确定2、直角三角形两直角边分别为、直角三角形两直角边分别为5厘米、厘米、12厘米，那么厘米，那么斜边上的高是斜边上的高是（）A、6厘米；厘米；B、8厘米；厘米；C、80/13厘米；厘米；D、60/13厘米；厘米；CDA探索勾股定理证明共33页，您现在浏览的是第14页!3.在在ABC中，中，AB=13，AC=20，高，高AD=12，则则BC的长为的长为CA20B13D12165AC20B13D1251621或或11A探索勾股定理证明共33页，您现在浏览的是第15页!2 2、如图有两颗树，一棵高、如图有两颗树，一棵高8m8m，另一棵高，另一棵
11、高2m2m，两，两树相距树相距8m8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？另一棵树的树梢，至少飞了多少米？8m2m8mA AB BC CD DE EA探索勾股定理证明共33页，您现在浏览的是第16页!2.假期中，王强和同学到某海岛上去玩探宝游假期中，王强和同学到某海岛上去玩探宝游戏，按照探宝图，他们登陆后先往东走戏，按照探宝图，他们登陆后先往东走8千米，又千米，又往北走往北走2千米，遇到障碍后又往西走千米，遇到障碍后又往西走3千米，千米，在折向北走到在折向北走到6千米处往东一拐，千米处往东一拐，仅走仅走1千米就找到宝藏，问登陆点千米就找到宝藏
12、，问登陆点A到宝藏埋藏点到宝藏埋藏点B的距离是多少千米？的距离是多少千米？8AB2361CA探索勾股定理证明共33页，您现在浏览的是第17页!8.如图,四边形ABCD中,B=D=90,C=45,AD=1,BC=2,求CD的长.ABCDEA探索勾股定理证明共33页，您现在浏览的是第18页!CABABC 正方形周边上正方形周边上的格点数的格点数a=12正方形内部的正方形内部的格点数格点数b=13利用皮克公式利用皮克公式所以，正方形所以，正方形C的面的面积为：积为：（单位面积）（单位面积）返回返回图图1-1图图1-2A探索勾股定理证明共33页，您现在浏览的是第19页!cabcabcabcab(a+b
13、)2=c2+4ab2a2+2ab+b2=c2+2aba2+b2=c2大正方形的面积可以表示为大正方形的面积可以表示为；也可以表示为也可以表示为(a+b)2c2+4ab2A探索勾股定理证明共33页，您现在浏览的是第20页!aabbcc三、三、三、三、“总统证法总统证法总统证法总统证法”.”.”.”.美国第二十任总统伽菲尔德的证法美国第二十任总统伽菲尔德的证法美国第二十任总统伽菲尔德的证法美国第二十任总统伽菲尔德的证法如如如如图图图图，梯梯梯梯形形形形由由由由三三三三个个个个直直直直角角角角三三三三角角角角形形形形组组组组合合合合而而而而成成成成，利利利利用用用用面面面面积积积积公公公公式式式式，
14、列列列列出出出出代代代代数数数数关关关关系系系系式式式式,得得得得化简化简化简化简,得得得得A探索勾股定理证明共33页，您现在浏览的是第21页!abc无字证明无字证明无字证明无字证明以以以以刘刘刘刘徽徽徽徽的的的的“青青青青朱朱朱朱出出出出入入入入图图图图”为为为为代代代代表表表表，证证证证明明明明不不不不需需需需用用用用任任任任何何何何数数数数学学学学符符符符号号号号和和和和文文文文字字字字，更更更更不不不不需需需需进进进进行行行行运运运运算算算算，隐隐隐隐含含含含在在在在图图图图中中中中的的的的勾勾勾勾股股股股定定定定理理理理便便便便清清清清晰晰晰晰地地地地呈呈呈呈现现现现，整整整整个个个
15、个证证证证明明明明单单单单靠靠靠靠移移移移动动动动几几几几块块块块图图图图形形形形而而而而得得得得出出出出，被被被被称为称为称为称为“无字证明无字证明无字证明无字证明”。A探索勾股定理证明共33页，您现在浏览的是第22页!abcABCDEFO意意意意大大大大利利利利文文文文艺艺艺艺复复复复兴兴兴兴时时时时代代代代的的的的著著著著名名名名画画画画家家家家达达达达芬芬芬芬奇奇奇奇对对对对勾勾勾勾股股股股定定定定理理理理进进进进行了研究。行了研究。行了研究。行了研究。六：达六：达六：达六：达芬奇证法芬奇证法芬奇证法芬奇证法A探索勾股定理证明共33页，您现在浏览的是第23页!国际调查组报告国际调查组报
16、告n 约约公公元元前前500年年，毕毕达达哥哥拉拉斯斯学学派派的的弟弟子子希希帕帕索索斯斯(Hippasus)发发现现了了一一个个惊惊人人的的事事实实，一一个个正正方方形形的的对对角角线线的的长长度度是是不不可可公公度度的的.按按照照毕毕达达哥哥拉拉斯斯定定理理(勾勾股股定定理理)，若若正正方方形形边边长长是是1，则则对对角角线线的的长长不不是是一一个个有有理理数数，它它不不能能表表示示成成两两个个整整数数之之比比，这这一一事事实实不不但但与与毕毕氏氏学学派派的的哲哲学学信信念念大大相相径径庭庭，而而且且建建立立在在任任何何线线段段都都可可公公度度基基础础上上的的几几何何学学面面临临被被推推翻
17、翻的的威威胁胁，次次数数学学危危机机由由此此爆爆发发。据据说说，毕毕达达哥哥拉拉斯斯学学派派对对希希帕帕索索斯斯的的发发现现十分惶恐、恼怒，为了保守秘密，最后将希帕索斯投入大海。十分惶恐、恼怒，为了保守秘密，最后将希帕索斯投入大海。n不不能能表表示示成成两两个个整整数数之之比比的的数数，15世世纪纪意意大大利利著著名名画画家家达达.芬芬奇奇称称之之为为“无无理理的的数数”，无无理理数数的的英英文文“irrational”原原义义就就是是“不不可可比比”。次次数数学学危危机机一一直直持持续续到到19世世纪纪实实数数的的基基础础建建立以后才圆满解决。我们将在下一章学习有关实数的知识立以后才圆满解决
18、。我们将在下一章学习有关实数的知识。勾股定理与次数学危机勾股定理与次数学危机11？A探索勾股定理证明共33页，您现在浏览的是第24页!DABC蚂蚁沿图中的折线从蚂蚁沿图中的折线从A点爬到点爬到D点，一共爬了多少厘米点，一共爬了多少厘米？（小方格的边长为？（小方格的边长为1厘米）厘米）GFE只要求答案只要求答案A探索勾股定理证明共33页，您现在浏览的是第25页!3、等腰三角形底边上的高为、等腰三角形底边上的高为8，周长为，周长为32，求这个，求这个三角形的面积三角形的面积816-XxDABC解：设这个三角形为解：设这个三角形为ABC，高为高为AD，设，设AB为为X，则，则BC为（为（32-2X）
19、，），BD是（是（16x)由勾股定理得：由勾股定理得：X2=(16-X)2+82即即X2=256-32X+X2+64X=10SABC=BCAD/2=268/2=48A探索勾股定理证明共33页，您现在浏览的是第26页!补充：如图，已知长方形ABCD中AB=8 cm,BC=10 cm,在 边 CD上 取 一 点 E，将ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.A探索勾股定理证明共33页，您现在浏览的是第27页!欣赏有趣的图形：欣赏有趣的图形：11毕达哥拉斯树毕达哥拉斯树螺形图螺形图A探索勾股定理证明共33页，您现在浏览的是第28页!2.如如图图，正正方方形形网网格格中中的的ABC，若若小
20、方格边长为小方格边长为1，则，则ABC是（是（）（A）直角三角形）直角三角形(B)锐角三角形锐角三角形(C)钝角三角形钝角三角形(D)以上答案都不对以上答案都不对 A探索勾股定理证明共33页，您现在浏览的是第29页!如果电梯的长、宽、高分别是如果电梯的长、宽、高分别是1.5、1.5、2.2米，米，那么能放入电梯内的竹竿的最大长度大约是多少？那么能放入电梯内的竹竿的最大长度大约是多少？你能估计出小明买的竹竿至少是多少米吗？你能估计出小明买的竹竿至少是多少米吗？A探索勾股定理证明共33页，您现在浏览的是第30页!1.如图，两个正方形的面积分别为如图，两个正方形的面积分别为64，49，则，则AC=(
21、)ADC64492.由四根木棒，长度分别为由四根木棒，长度分别为3，4，5，6 若去其中三根木棒组呈三角形，有若去其中三根木棒组呈三角形，有()中取法，其中，能构成直角三角形的是（中取法，其中，能构成直角三角形的是（）说一说说一说A探索勾股定理证明共33页，您现在浏览的是第31页!5.如图，长方体的长为如图，长方体的长为15cm，宽为，宽为10cm，高为，高为20cm，点，点B离点离点C5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？，需要爬行的最短距离是多少？A探索勾股定理证明共33页，您现在浏览的是第32页!A探索勾股定理证明共33页，您现在浏览的是第33页!