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1、专题七 曲线的性质和轨迹问题第1页，本讲稿共85页【考点搜索】【考点搜索】第2页，本讲稿共85页【考点搜索】【考点搜索】1.掌握圆锥曲线的第一定义和第二定义反掌握圆锥曲线的第一定义和第二定义反映的几何性质；映的几何性质；2.求曲线的方程的常见方法：求曲线的方程的常见方法：待定系数法，即先确定方程的形式，再待定系数法，即先确定方程的形式，再确定方程的系数；确定方程的系数；定义法，即根据已知条件，建立坐标系、定义法，即根据已知条件，建立坐标系、列出列出x和和y的等量关系、化简关系的等量关系、化简关系;代入法代入法;参数法参数法.第3页，本讲稿共85页【课前导引】【课前导引】第4页，本讲稿共85页【
2、课前导引】【课前导引】1.已知已知F1、F2是双曲线是双曲线 的两焦点，以线段的两焦点，以线段F1F2为边作正为边作正三角形三角形MF1F2，若边，若边MF1的中点在双曲线上，的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是则双曲线的离心率是()第5页，本讲稿共85页 解析解析 设的中点为设的中点为P，依题意，依题意，第6页，本讲稿共85页 解析解析 设的中点为设的中点为P，依题意，依题意，答案答案 D第7页，本讲稿共85页2.以下四个关于圆锥曲线的命题中：以下四个关于圆锥曲线的命题中：设设A、B为两个定点，为两个定点，k为非零常数，为非零常数，则动点，则动点P的轨迹为的轨迹为 双曲线；双曲线；过定圆过定
3、圆C上一定点上一定点A作圆的动点弦作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若为坐标原点，若 则动点则动点P的轨迹为椭圆；的轨迹为椭圆；第8页，本讲稿共85页方程方程 的两根可分别作的两根可分别作 为椭圆和双曲线的离心率；为椭圆和双曲线的离心率；双曲线双曲线 相同的焦点相同的焦点.其中真命题的序号为其中真命题的序号为_（写出（写出所有真命题的序号）所有真命题的序号）第9页，本讲稿共85页 解析解析 的轨迹可能是双曲线的一支，的轨迹可能是双曲线的一支，也可能是一条射线，也可能无轨迹；也可能是一条射线，也可能无轨迹；的轨迹是圆；计算知的轨迹是圆；计算知正确。正确。第10页，本讲稿共85页【链接高考】【链接高
4、考】第11页，本讲稿共85页【链接高考】【链接高考】xyAPF1F2OB 例例11第12页，本讲稿共85页(1)设椭圆的离心率为，证明设椭圆的离心率为，证明(2)证明：证明：(3)设设 求椭圆的方程求椭圆的方程.xyAPF1F2OB第13页，本讲稿共85页 解析解析 xyAPF1F2OB第14页，本讲稿共85页(另：由另：由ab=c2知：知：xyAPF1F2OB第15页，本讲稿共85页(2)由由(1)有有 xyAPF1F2OB第16页，本讲稿共85页xyAPF1F2OB第17页，本讲稿共85页xyAPF1F2OB第18页，本讲稿共85页故所求椭圆的方程为故所求椭圆的方程为xyAPF1F2OB第
5、19页，本讲稿共85页故所求椭圆的方程为故所求椭圆的方程为 说明说明 本题采用了待定系数法求轨迹方程本题采用了待定系数法求轨迹方程.xyAPF1F2OB第20页，本讲稿共85页 例例2 2 在在 ABC中中,已知已知B(-3,0),C(3,0),的垂心的垂心H分有向分有向线段线段 所成的比为所成的比为 (1)分别求出点分别求出点A和点和点H的轨迹方程的轨迹方程;第21页，本讲稿共85页 解答解答 设设H点的坐标为点的坐标为(x,y),对应的对应的A的坐标为的坐标为(x1,y1),则则D的坐标为的坐标为(x1,0),由由H分有向线段分有向线段 此即点此即点H的轨迹方程的轨迹方程.第22页，本讲稿
6、共85页第23页，本讲稿共85页 (2)由由(1)可知可知,P,Q分别为椭圆的左右焦分别为椭圆的左右焦点点,设设H(x,y),且且数列数列,则则 第24页，本讲稿共85页第25页，本讲稿共85页 说明说明 本题采用了代入法求轨迹方程本题采用了代入法求轨迹方程.第26页，本讲稿共85页 例例33 如图，设抛物线的焦点为如图，设抛物线的焦点为F，动点，动点P在直线上运动，过在直线上运动，过P作抛物线作抛物线C的两条切的两条切线线PA、PB，且与抛物线，且与抛物线C分别相切于分别相切于A、B两点两点.(1)求求APB的重的重心心G的轨迹方程的轨迹方程.(2)证明证明PFA=PFB.ABPFOyxl第
7、27页，本讲稿共85页 解答解答 (1)设切点设切点A、B坐标分别为坐标分别为 ABPFOyxl第28页，本讲稿共85页所以所以APB的重心的重心G的坐标为的坐标为 ABPFOyxl第29页，本讲稿共85页ABPFOyxl第30页，本讲稿共85页由于由于P点在抛物线外，点在抛物线外，ABPFOyxl第31页，本讲稿共85页ABPFOyxl第32页，本讲稿共85页AFP=PFB.ABPFOyxl第33页，本讲稿共85页方法方法2：第34页，本讲稿共85页所以所以d1=d2，即得，即得AFP=PFB.第35页，本讲稿共85页所以所以P点到直线点到直线AF的距离为：的距离为：第36页，本讲稿共85页
8、第37页，本讲稿共85页同理可得到同理可得到P点到直线点到直线BF的距离的距离 因此由因此由d1=d2，可得到，可得到AFP=PFB.第38页，本讲稿共85页同理可得到同理可得到P点到直线点到直线BF的距离的距离 因此由因此由d1=d2，可得到，可得到AFP=PFB.说明说明 本题采用了代入法求轨迹方程本题采用了代入法求轨迹方程.第39页，本讲稿共85页 例例44 如右图如右图,已知已知 A:(x+2)2+y2=B:(x 2)2+y2=,动圆动圆P与与 A、B都相外都相外切切.yxABP (1)动圆圆心动圆圆心P的轨的轨迹方程；迹方程；(2)若直线若直线y=kx+1与与(1)中的曲线有两个不同
9、中的曲线有两个不同的交点的交点P1、P2，求，求k的的取值范围取值范围.第40页，本讲稿共85页 解答解答 (1)依题意，依题意，PA PB=故故P的轨迹是双曲线的右支，的轨迹是双曲线的右支，a=1，c=2，其方程为：其方程为：yxABP第41页，本讲稿共85页(2)联立方程组联立方程组在在1,+)有两不同的解，有两不同的解，第42页，本讲稿共85页第43页，本讲稿共85页 例例55 A、B是抛物线是抛物线 y2=2px(p0)上的上的两点，且两点，且OAOB，1.求求A、B两点的横坐标之积和纵坐标两点的横坐标之积和纵坐标之积；之积；2.求证：直线求证：直线AB过定点；过定点；3.求弦求弦AB
10、中点中点P的轨迹方程；的轨迹方程；4.求求AOB面积的最小值；面积的最小值；5.求求O在在AB上的射影上的射影M轨迹方程轨迹方程.第44页，本讲稿共85页 解答解答 (1)设设A(x1,y1)，B(x2,y2)，中点，中点P(x0,y0)，OAOB kOAkOB=-1，x1x2+y1y2=0 y12=2px1，y22=2px2 y10,y20,y1y2=4p2 x1x2=4p2.第45页，本讲稿共85页(2)y12=2px1，y22=2px2 (y1 y2)(y1+y2)=2p(x1 x2)第46页，本讲稿共85页第47页，本讲稿共85页 AB过定点过定点(2p,0)，设，设M(2p,0).第
11、48页，本讲稿共85页(3)设设OA y=kx，代入，代入y2=2px 得得:x=0，同理，同理，以代以代k得得B(2pk2,-2pk).第49页，本讲稿共85页即即 y02=px0-2p2，中点中点M轨迹方程轨迹方程 y2=px-2p2第50页，本讲稿共85页(4)当且仅当当且仅当|y1|=|y2|=2p时，等号成立时，等号成立.第51页，本讲稿共85页(5)法一：设法一：设H(x3,y3),则则 第52页，本讲稿共85页由由(1)知，知，y1y2=-4p2，整理得：整理得：x32+y32-2px3=0，点点H轨迹方程为轨迹方程为x2+y2-4x=0(去掉去掉(0,0).第53页，本讲稿共8
12、5页 H在以在以OM为直径的圆上为直径的圆上 点点H轨迹方程为轨迹方程为(x-p)2+y2=p2,去掉去掉(0,0).评注：此类问题要充分利用评注：此类问题要充分利用(1)的结论的结论.法二：法二：OHM=90,又由又由(2)知知OM为定为定线段线段第54页，本讲稿共85页专题七专题七 曲线的性质和轨迹问题曲线的性质和轨迹问题 第二课时第二课时第55页，本讲稿共85页【考点搜索】【考点搜索】第56页，本讲稿共85页【考点搜索】【考点搜索】1.在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程（等量关系），侧重于数的动点坐标有关的方程（等量关系），侧重于数
13、的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用；形，重视图形几何性质的运用；2.注意向量与解析几何的密切联系注意向量与解析几何的密切联系.由于向由于向量具有几何形式和代数形式的量具有几何形式和代数形式的“双重身份双重身份”，使向，使向量与解析几何之间有着密切联系，大量的轨迹问题量与解析几何之间有着密切联系，大量的轨迹问题都是以向量作为背景编拟的都是以向量作为背景编拟的；3.注意利用曲线系解题注意利用曲线系解题.第57页，本讲稿共85页【课前导引】【课前导引】第58页，本讲稿共85页 1.已知反比例函数已知反比例函数 的图像是等轴
14、的图像是等轴双曲线，则其焦点坐标是双曲线，则其焦点坐标是()【课前导引】【课前导引】A.B.C.D.第59页，本讲稿共85页 解答解答 双曲线的实轴为直线双曲线的实轴为直线 x-y=0,故故两个顶点坐标为两个顶点坐标为 ,且且 第60页，本讲稿共85页 解答解答 双曲线的实轴为直线双曲线的实轴为直线 x-y=0,故故两个顶点坐标为两个顶点坐标为 ,且且 答案答案 A 第61页，本讲稿共85页 2.已知圆已知圆x2+y2=1，点，点A(1，0)，ABC内内接于此圆，接于此圆，BAC=60o，当，当BC在圆上运动时，在圆上运动时，BC中点的轨迹方程是中点的轨迹方程是()A.x2+y2=B.x2+y
15、2=C.x2+y2=D.x2+y2=第62页，本讲稿共85页 解析解析 记记O为原点，依题意，为原点，依题意，且且OB=OC=1,故原点到直线故原点到直线BC的距离为的距离为由图像可知，由图像可知，BC中点的横坐标小于中点的横坐标小于故选故选D.第63页，本讲稿共85页【链接高考】【链接高考】第64页，本讲稿共85页【链接高考】【链接高考】例例11 若直线若直线mx+y+2=0与线段与线段AB有交点，有交点，其中其中A(-2,3)，B(3,2)，求实数，求实数m的取值范的取值范围围.第65页，本讲稿共85页 解答解答 直线直线mx+y+2=0过一定点过一定点C(0,-2),直线直线mx+y+2
16、=0实际上表示的是过定点实际上表示的是过定点(0,-2)的直线系，的直线系，因为直线与线段因为直线与线段AB有交点，则直线只能落在有交点，则直线只能落在ABC的内部，设的内部，设BC、CA这两条直线的斜率分别这两条直线的斜率分别为为k1、k2，则由斜率的定义可知，直线，则由斜率的定义可知，直线mx+y+2=0的的斜率斜率k应应满足满足kk1或或kk2，A(-2,3)B(3,2)C(0,-2)ABxyO第66页，本讲稿共85页 说明说明 此例是典型的运用数形结合的思想来此例是典型的运用数形结合的思想来解题的问题，这里要清楚直线解题的问题，这里要清楚直线mx+y+2=0的斜的斜率率 m应为倾角的正
17、切，而当倾角在应为倾角的正切，而当倾角在(0,90)或或(90,180)内，角的正切函数都是单调递增的，内，角的正切函数都是单调递增的，因此当直线在因此当直线在ACB内部变化时，内部变化时，k应大于或等应大于或等于于kBC，或者，或者k小于或等于小于或等于kAC，当，当A、B两点的坐两点的坐标变化时，也要能求出标变化时，也要能求出m的范围的范围.第67页，本讲稿共85页 例例22 根据下列条件，求双曲线方程根据下列条件，求双曲线方程.第68页，本讲稿共85页 解答解答 方法一：方法一：(1)第69页，本讲稿共85页解之得：解之得：第70页，本讲稿共85页则则，解之得：解之得：第71页，本讲稿共
18、85页方法二：方法二：(1)设双曲线方程为设双曲线方程为 第72页，本讲稿共85页(3)设双曲线方程为设双曲线方程为，解之得：解之得：k=4 双曲线方程为双曲线方程为 第73页，本讲稿共85页第74页，本讲稿共85页 比较上述两种解法可知，引入适当比较上述两种解法可知，引入适当的参数可以提高解题质量，特别是充分的参数可以提高解题质量，特别是充分利用含参数方程的几何意义，可以更准利用含参数方程的几何意义，可以更准确地理解解析几何的基本思想确地理解解析几何的基本思想.第75页，本讲稿共85页 例例33 已知直线已知直线l与椭圆与椭圆有且仅有一个交点有且仅有一个交点Q，且与，且与x轴、轴、y轴分别交
19、于轴分别交于R、S，求以线段，求以线段SR为对角线的矩形为对角线的矩形ORPS的一个顶的一个顶点点P的轨迹方程的轨迹方程.第76页，本讲稿共85页 例例33 已知直线已知直线l与椭圆与椭圆有且仅有一个交点有且仅有一个交点Q，且与，且与x轴、轴、y轴分别交于轴分别交于R、S，求以线段，求以线段SR为对角线的矩形为对角线的矩形ORPS的一个顶的一个顶点点P的轨迹方程的轨迹方程.解答解答 由已知，直线由已知，直线l 不过椭圆的四个顶点，不过椭圆的四个顶点，所以设直线所以设直线l的方程为的方程为代入椭圆方程代入椭圆方程 得得第77页，本讲稿共85页化简后，得关于的一元二次方程化简后，得关于的一元二次方
20、程于是其判别式于是其判别式 由已知，得由已知，得=0即即 在直线方程在直线方程y=kx+m中，分别令中，分别令y=0，x=0，求得求得 第78页，本讲稿共85页令顶点令顶点P的坐标为的坐标为(x，y)，由已知，得，由已知，得 代入代入式并整理，得式并整理，得 即为所求顶点即为所求顶点P的轨迹方程的轨迹方程.第79页，本讲稿共85页 说明说明 方程方程 形似椭圆的形似椭圆的标准方程，但图像当然不是椭圆，你能标准方程，但图像当然不是椭圆，你能知道它有什么几何性质？知道它有什么几何性质？第80页，本讲稿共85页 例例44第81页，本讲稿共85页 解解 第82页，本讲稿共85页（1）（2）第83页，本讲稿共85页第84页，本讲稿共85页 说明说明 向量数量积的坐标表示，构建起向量与向量数量积的坐标表示，构建起向量与解析几何的密切关系，使向量与解析几何融为解析几何的密切关系，使向量与解析几何融为一体一体.求此类问题的关键是：利用向量数量积的求此类问题的关键是：利用向量数量积的坐标表示，沟通向量与解析几何的联系坐标表示，沟通向量与解析几何的联系.体现了体现了向量的工具性向量的工具性.第85页，本讲稿共85页