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1、信号处理方法：时域分析法频域分析法特点：算术运算次数大大减少，可采用二维数字滤波技术 进行所需的各种图像处理第3章图像变换第1页/共81页第3章图像变换频率通常是指某个一维物理量随时间变化快慢程度的度量。例如交流电频率为5060Hz（交流电压）中波某电台1026kHz（无线电波）第2页/共81页第3章图像变换图像是二维信号，其坐标轴是二维空间坐标轴，图像本身所在的域称为空间域（Space Domain）。图像灰度值随空间坐标变化的快慢也用频率来度量，称为空间频率（Spatial Frequency）。第3页/共81页第3章图像变换每一种变换都有自己的正交函数集，引入不同的变换傅里叶变换余弦变换
2、正弦变换图像变换哈达玛变换沃尔什变换 K-L K-L变换小波变换第4页/共81页3.1傅里叶变换3.1.1一维傅里叶变换3.1.2二维离散傅里叶变换3.1.3二维离散傅里叶变换的性质3.1.4快速傅里叶变换3.1.5傅里叶变换在图像处理中的应用第5页/共81页3.1傅里叶变换傅里叶变换利用傅里叶变换的特性，将时间信号正变换到频率域后进行处理（例如低通、高通或带通），然后再反变换成时间信号，即可完成对信号的滤波。低通滤波：在频率域中抑制高频信号高通滤波：在频率域中抑制低频信号第6页/共81页3.1.1一维傅里叶变换一维（连续）傅里叶变换傅里叶变换是一种数学变换（正交变换），可以把一维信号（或函数
3、）分解成不同幅度的具有不同频率的正弦和余弦信号（或函数）。输入信号=傅里叶（正）变换=频率域信号函数 函数频率域信号=傅里叶反变换=输出信号函数 函数第7页/共81页3.1.1一维傅里叶变换一维（连续）傅里叶变换第8页/共81页3.1.1一维傅里叶变换一维（连续）傅里叶变换第9页/共81页3.1.1一维傅里叶变换一维（连续）傅里叶变换第10页/共81页AX03.1.1一维傅里叶变换一维（连续）傅里叶变换第11页/共81页3.1.1一维傅里叶变换一维离散傅里叶变换第12页/共81页3.1.2二维离散傅里叶变换二维连续函数的傅里叶变换第13页/共81页3.1.2二维离散傅里叶变换二维连续函数f(x
4、,y)的傅里叶变换第14页/共81页变换在一个周期内进行。M，N表示图像f(x,y)在x，y方向上具有大小不同的阵列。离散信号频谱、相谱、幅谱分别表示为：3.1.2二维离散傅里叶变换第15页/共81页1.可分离性 3.1.3二维离散傅里叶变换的性质基本性质：第16页/共81页3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质第17页/共81页图像中心化 3.1.3二维离散傅里叶变换的性质2平移性 ：时第18页/共81页第19页/共81页3.1.3二维离散傅里叶变换的性质3周期性第20页/共81页N/2-N/2 一个周期3.1.3二维离散傅里叶变换的性质4共轭对称性则第21页/共81页若3.1.3二维离散傅里
5、叶变换的性质5旋转不变性则第22页/共81页3.1.3二维离散傅里叶变换的性质5旋转不变性第23页/共81页3.1.3二维离散傅里叶变换的性质6分配性和比例性第24页/共81页3.1.3二维离散傅里叶变换的性质7平均值第25页/共81页3.1.3二维离散傅里叶变换的性质8离散卷积定理两个函数的卷积定义为第26页/共81页为防止卷积后发生交叠误差，需对离散的二维函数的定义域加以扩展3.1.3二维离散傅里叶变换的性质8离散卷积定理第27页/共81页3.1.3二维离散傅里叶变换的性质8离散卷积定理当卷积周期才避免交叠误差第28页/共81页3.1.3二维离散傅里叶变换的性质8离散卷积定理第29页/共8
6、1页3.1.3二维离散傅里叶变换的性质9离散相关定理第30页/共81页9离散相关定理3.1.3二维离散傅里叶变换的性质第31页/共81页3.1.3二维离散傅里叶变换的性质傅里叶变换的问题 1 1）复数计算而非实数，费时。如采用其它合适的完备正交函数来代替傅里叶变换所用的正、余弦函数构成完备的正交函数系，可避免这种复数运算。2 2）收敛慢，在图像编码应用中尤为突出。第32页/共81页3.1.5 傅里叶变换在图像处理中的应用傅里叶变换在图像处理中是一个最基本的数学工具。利用这个工具，可以对图像的频谱进行各种各样的处理，如滤波、降噪、增强等 a)有栅格影响的原始图像 b)傅里叶变换频谱图像第33页/
7、共81页3.1.5 傅里叶变换在图像处理中的应用用傅里叶变换去除正弦波噪声示例第34页/共81页3.1.5 傅里叶变换在图像处理中的应用 a)lena图 b)lena图的频谱第35页/共81页3.1.5 傅里叶变换在图像处理中的应用 c)增强纵轴上某一谱段的强度 d)傅里叶反变换的结果第36页/共81页一个应用：图象对象一个应用：图象对象a的识别的识别 I=imread(text.tif);imshow(I)第37页/共81页一个应用：图象对象一个应用：图象对象a的识别的识别 a=I(59:71,81:91);figure,imshow(a,notruesize)第38页/共81页一个应用：图
8、象对象一个应用：图象对象a的识别的识别C=real(ifft2(fft2(I).*fft2(rot90(a,2),256,256);figure,imshow(C,);第39页/共81页一个应用：图象对象一个应用：图象对象a的识别的识别max(C(:)ans=51.0000 figure,imshow(C=45);第40页/共81页3.2离散余弦变换3.2.1离散余弦变换原理3.2.2离散余弦变换在图像处理中的应用第41页/共81页3.2.1离散余弦变换原理第42页/共81页3.2.1离散余弦变换原理离散余弦反变换第43页/共81页3.2.1离散余弦变换原理二维离散余弦变换的变换核二维离散余弦
9、变换第44页/共81页3.2.1离散余弦变换原理二维离散余弦反变换可以看出，二维离散余弦变换可以分离成两个一维离散余弦变换第45页/共81页3.2.1离散余弦变换原理性质：1余弦变换是实数、正交。2离散余弦变换可由傅里叶变换的实部求得3对高度相关数据，DCTDCT有非常好的能量紧凑性4对于具有一阶马尔可夫过程的随机信号，DCTDCT是K-LK-L变换的最好近似第46页/共81页3.2.2 离散余弦变换在图像处理中的应用在图像的变换编码中有着非常成功的应用离散余弦变换是傅里叶变换的实数部分，比傅里叶变换有更强的信息集中能力。对于大多数自然图像，离散余弦变换能将大多数的信息放到较少的系数上去，提高
10、编码的效率 第47页/共81页3.3小波变换及其应用3.3.1多分辨率分析的背景知识3.3.2多分辨率展开3.3.3一维小波变换3.3.4快速小波变换算法3.3.5二维离散小波变换3.3.6小波分析在图像处理中的应用第48页/共81页3.3.1多分辨率分析的背景知识图像金字塔 金字塔算法 一幅图像的金字塔是一系列以金字塔形状排列的分辨率逐步降低的图像集合一个金字塔图像结构 金字塔的底部是待处理图像的高分辨率表示，而顶部是低分辨率近似。当向金字塔的上层移动时，尺寸和分辨率就降低。第49页/共81页3.3.1多分辨率分析的背景知识图像金字塔高斯和拉普拉斯金字塔编码 首先对图像用高斯脉冲响应作低通滤
11、波，滤波后的结果从原图像中减去，图像中的高频细节则保留在差值图像里；然后，对低通滤波后的图像进行间隔采样，细节并不会因此而丢失 第50页/共81页3.3.1多分辨率分析的背景知识图像金字塔高斯和拉普拉斯金字塔编码 拉普拉斯金字塔编码策略 第51页/共81页3.3.1多分辨率分析的背景知识子带编码和解码 双通道子带编码和重建 第52页/共81页3.3.1多分辨率分析的背景知识子带编码和解码子带图像编码的二维4频段滤波器组 第53页/共81页3.3.1多分辨率分析的背景知识哈尔变换 哈尔基函数是众所周知的最古老也是最简单的正交小波。哈尔变换本身是可分离的，也是对称的，可以用下述矩阵形式表达：T=H
12、FHT其中，F是一个NN图像矩阵，H是NN变换矩阵，T是NN变换的结果 第54页/共81页N=4:n=2,k 0 1 2 3p 0 0 1 1q 0 1 1 2N=8:n=3,k 0 1 2 3 4 5 6 7p 0 0 1 1 2 2 2 2 q 0 1 1 2 1 2 3 4 第55页/共81页第56页/共81页44的Haar变换矩阵为：第57页/共81页88的Haar变换矩阵为：第58页/共81页第59页/共81页3.3.1多分辨率分析的背景知识哈尔变换哈尔基函数对图像的多分辨率分解 第60页/共81页3.3.2多分辨率展开函数的伸缩和平移 给定一个基本函数,则的伸缩和平移公式可记为：第
13、61页/共81页3.3.2多分辨率展开函数的伸缩和平移函数的伸缩和平移 第62页/共81页3.3.2多分辨率展开序列展开 信号或函数常常可以被很好地分解为一系列展开函数的线性组合。其中，k是有限或无限和的整数下标，ak是具有实数值的展开系数，是具有实数值的展开函数 第63页/共81页3.3.2多分辨率展开尺度函数第64页/共81页3.3.2多分辨率展开小波函数 给定尺度函数，则小波函数所在的空间跨越了相邻两尺度子空间Vj和Vj+1的差异。令相邻两尺度子空间Vj和Vj+1的差异子空间为Wj，则下图表明了Wj与Vj和Vj+1间的关系。尺度及小波函数空间的关系 第65页/共81页3.3.3一维小波变
14、换一维离散小波变换（DWTDWT）第66页/共81页3.3.3一维小波变换一维离散小波变换（DWTDWT）Morlet 小波第67页/共81页3.3.3一维小波变换一维离散小波变换（DWTDWT）Mexihat小波 第68页/共81页3.3.4快速小波变换算法离散小波变换算法 第69页/共81页3.3.4快速小波变换算法离散小波逆变换 第70页/共81页3.3.5二维离散小波变换对于MN的离散函数f(x,y)的离散小波变换对为：第71页/共81页3.3.5二维离散小波变换二维离散小波变换的一次分解 第72页/共81页3.3.5二维离散小波变换图像的二维离散小波变换第73页/共81页3.3.6小
15、波分析在图像处理中的应用小波变换傅里叶变换用在频谱分析和滤波方法的分析上。但傅里叶反映的是信号或函数的整体特征，而实际问题关心的是信号的局部范围中的特征。如，在音乐和语言信号中人们关心的是什么时刻奏什么音符，发出什么样的音节；对地震记录，关心什么位置出现反射波；在边缘检测中，关心的是信号突变部分的位置。引进的窗口傅里叶，用一个窗口去乘所研究的函数，然后进行傅里叶变换。但引入的这种变换窗口的尺寸和形状与频率无关而且是固定不变的。这与高频信号的分辨率应比低频信号高，因而与频率升高应当窗口减小这一要求不符，为此未能得到广泛的应用与发展第74页/共81页3.3.6小波分析在图像处理中的应用小波 1)从
16、分辨率看，小波很好地解决了时间与频率分辨率的矛盾，它巧妙的利用了非均匀分布的分辨率，在低频段用高的频率分辨率和低的时间分辨率，而在高频段则采用低的频率分辨率和高的时间分辨率。即子波分析的窗宽是可变的，在高频时用短窗口，而在低频时，则使用宽窗口。2)小波并不一定要求是正交的，其时宽频宽乘积很小，因而展开系数的能量较为集中。子波变换的基本思想：是用一族函数去表示或逼进一信号或函数，这族函数称为子波函数集，它通过一基本子波函数的不同尺度的平移和伸缩组成，它的特点是时宽频宽乘积很小，且在时间和频率轴上都很集中。第75页/共81页3.3.6小波分析在图像处理中的应用小波的特点：a）能量集中b）易于控制各
17、子带噪声c）与人类视觉系统相吻合的对数特征。d）突变信号检测中：由于分辨率随频率的不同而变化的特点，能准确定位信号的上升沿和下降沿。第76页/共81页3.3.6小波分析在图像处理中的应用应用：1）图像压缩：小波把信号分解成具有不同时间和分辨率的信号2）正交小波变换在图像拼接和镶嵌中的应用把两个图像按不同尺度下的小波分量先拼接下来，然后再用程序重构整个图像，这样得到的图像可以很好地兼顾清晰度和光滑度两个方面的要求。第77页/共81页作业3-1离散傅里叶变换的性质及在图像处理中的应用？3-2小波变换有哪些特点？3-3求下列图像的二维离散傅里叶变换(a)长方形图像第78页/共81页作业(b)旋转45后的长方形图像yb0-bFEax-ay45x第79页/共81页作业3-4请实际编程做出以下图像的二维离散余弦变换886464486464第80页/共81页感谢您的欣赏！第81页/共81页