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1、高考数学极限的四则运算第1页，本讲稿共25页一般地，如果当项数一般地，如果当项数 无限增大时，无穷数列无限增大时，无穷数列的项的项 无限地趋近于某个常数无限地趋近于某个常数 ，(即即 无限地无限地接近接近0),那么就说数列那么就说数列 以以 为极限，或者说为极限，或者说 是数列是数列 的极限的极限（1）是无穷数列；是无穷数列；（4）数值变化趋势有：递减、递增、摆动；）数值变化趋势有：递减、递增、摆动；注意注意:（2）是唯一常数（不能是是唯一常数（不能是 ）；）；（3）数列的极限）数列的极限 与数列前面的有限项无关；与数列前面的有限项无关；（5）“无限无限”地趋近于地趋近于 指的是指的是 与与
2、需需要有多近就能有多近要有多近就能有多近.一、复一、复习引入引入:01数列和函数的极限以及求法数列和函数的极限以及求法:第2页，本讲稿共25页就说就说当当x 趋向于正无穷大时，趋向于正无穷大时，函数函数 的极限是的极限是a，记作，记作一般地，当自变量一般地，当自变量x 取正值并且无限增大时，如果函数取正值并且无限增大时，如果函数无限趋近于一个常数无限趋近于一个常数 a，就说就说当当x 趋向于负无穷大时，趋向于负无穷大时，函数函数 的极限是的极限是a，记作，记作当自变量当自变量x 取负值并且绝对值无限增大时，如果函数取负值并且绝对值无限增大时，如果函数无限趋近于一个常数无限趋近于一个常数a，2.
3、函数的无穷极限：函数的无穷极限：如果如果 =a,且且 =a,那么就说当那么就说当 x 趋向于趋向于无穷大时无穷大时,f(x)的极限是的极限是a,记作记作 特别地：特别地：（C C为常数）为常数）第3页，本讲稿共25页 3.3.函数在一点处的极限与左、右极限：函数在一点处的极限与左、右极限：1）当当自自变变量量x无无限限趋趋近近于于常常数数x0（但但x不不等等于于x0）时时，如如果果函函数数f(x)无无限限趋趋近近于于一一个个常常数数a，就就说说当当x趋趋近近于于x0时，函数时，函数f(x)的极限是的极限是a，记作，记作2）当）当x从点从点x0左侧（即左侧（即xx0）无限趋近于）无限趋近于x0时
4、，函数时，函数f(x)无限趋近于一个常数无限趋近于一个常数a，就说，就说a是函数是函数f(x)在点在点x0处的处的左极限左极限，记作，记作 .3）如果当）如果当x从点从点x0右侧（即右侧（即xx0）无限趋近于）无限趋近于x0时，时，函数函数f(x)无限趋近于常数无限趋近于常数a，就说，就说a是函数是函数f(x)在点在点x0处处的的右极限右极限，记作，记作 .4）常数函数）常数函数f(x)=c在点在点x=x0处的极限有处的极限有 .第4页，本讲稿共25页4求下列极限求下列极限:（3）（4）（1）（2）5如何求如何求?1.11.011.00110.9990.990.9x考察下表考察下表1.4555
5、61.495051.49951.51.500501.505051.55455观察该极限与上题极限之间存在关系吗观察该极限与上题极限之间存在关系吗?第5页，本讲稿共25页问题1：函数，你能否直接看出函数值的变化趋势？问题2：如果不能看出函数值的变化趋势，那么怎样才能把问题转化为已知能求的函数极限？转化的数学方法与依据是什么？第6页，本讲稿共25页如果如果，那么那么 函数极限运算法则：函数极限运算法则：二、二、讲授新授新课:第7页，本讲稿共25页也就是说也就是说：如果两个函数都有极限，那么如果两个函数都有极限，那么由这两个函数的各对应项的和、差、积、由这两个函数的各对应项的和、差、积、商组成的函数
6、的极限，分别等于这两个函商组成的函数的极限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（各项作为除数的极限的和、差、积、商（各项作为除数的函数的极限不能为数的函数的极限不能为0）。）。注：使用极限四则运算法则的前提注：使用极限四则运算法则的前提是各部分极限必须存在是各部分极限必须存在.第8页，本讲稿共25页（C为常数）为常数）由由 不难得到：不难得到：注：使用极限四则运算法则的前提注：使用极限四则运算法则的前提是各部分极限必须存在是各部分极限必须存在.第9页，本讲稿共25页如果如果，那么那么 同样有同样有 函数极限运算法则：函数极限运算法则：第10页，本讲稿共25页 利用函数极限的运算法则，利用
7、函数极限的运算法则，我们可以根据已知的几个简单我们可以根据已知的几个简单函数的极限，求出较复杂的函函数的极限，求出较复杂的函数的极限数的极限.用上面的运算法则可求：用上面的运算法则可求：第11页，本讲稿共25页例例1、求、求解解:第12页，本讲稿共25页解：解：第13页，本讲稿共25页 通过例通过例1、例、例2同学们会发现：同学们会发现：函数函数f（x）在在 处有定义处有定义;求这类函数在某一点求这类函数在某一点x=x0处的极限值时，只要把处的极限值时，只要把x=x0 代入函数解析代入函数解析式中，就得到极限值式中，就得到极限值.-代入法代入法总结：总结：(1)(2)第14页，本讲稿共25页分
8、析：当分析：当 分母的极限是分母的极限是0，不能直，不能直接运用上面的极限运算法则。因为当接运用上面的极限运算法则。因为当 时函数的极限只与时函数的极限只与x无限趋近于无限趋近于4的函数值有的函数值有关，与关，与x=4时的函数值无关，因此可以先将时的函数值无关，因此可以先将分子、分母约去公因式分子、分母约去公因式x-4以后再求函数的以后再求函数的极限极限.例3、求第15页，本讲稿共25页解：解：例3、求第16页，本讲稿共25页例例4、求、求 解：解：第17页，本讲稿共25页总结：总结：通过例通过例3、例、例4会发现：会发现：函数函数f（x）在）在 处无处无定义；定义；求这类函数在某一点求这类函
9、数在某一点x=x0处的极限值时，若处的极限值时，若用代入法，分子分母都为用代入法，分子分母都为.例例4、求、求 例例3、求解决办法：解决办法：可对分子分母因式分解，约去为可对分子分母因式分解，约去为0的公因式来的公因式来求极限求极限-因式分解法因式分解法第18页，本讲稿共25页解决办法：解决办法：可先有理化分子，再约去为可先有理化分子，再约去为0的公因式来求极的公因式来求极限限-根式有理化法根式有理化法第19页，本讲稿共25页练习：练习：求下列函数的极限：求下列函数的极限：第20页，本讲稿共25页注意注意:当当 分子、分母中同除以分子、分母中同除以x的最高次幂，利用的最高次幂，利用就可以求极限
10、了就可以求极限了第21页，本讲稿共25页例例6、已知、已知解解：第22页，本讲稿共25页变式：若变式：若 ，求，求a,b的值的值.令令 ，则：，则：解：解：时，分式的分母时，分式的分母 ，同时分母，同时分母 中有因式中有因式 .又由于分式的极限值是常数又由于分式的极限值是常数2，所以，所以 分子中也应该有因式分子中也应该有因式 ，需约去公因式，需约去公因式 后，后，其极限值才有可能是常数其极限值才有可能是常数.原式原式第23页，本讲稿共25页小结：小结：（1）概述极限的运算法则：）概述极限的运算法则：（2）本节课学习了三种计算函数极）本节课学习了三种计算函数极限的方法：限的方法：代入法代入法；对；对 型极型极限的求法可通过因式分解，根限的求法可通过因式分解，根式有理化式有理化约去约去“零因式零因式”；对；对 的极限的计算，通常是分子、的极限的计算，通常是分子、分母分母同除以分母的最高次幂同除以分母的最高次幂.第24页，本讲稿共25页（3）通过各例求极限的过程可以看出，通过各例求极限的过程可以看出，在求有理函数的极限时，最后总在求有理函数的极限时，最后总是归结为求下列极限：是归结为求下列极限：第25页，本讲稿共25页