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1、1 1u3.1 基本雷达方程基本雷达方程u 3.2 目标的散射截面积目标的散射截面积(RCS)u 3.3 系统损耗系统损耗u 3.4 存在干扰时的雷达方程存在干扰时的雷达方程u 3.5 雷达方程的几种形式雷达方程的几种形式u 3.6 本章的本章的MATLAB第3章 雷达方程2 2 雷达是依靠目标散射的回波能量来探测目标的。雷达方程定量地描述了作用距离和雷达参数及目标特性之间的关系。研究雷达方程主要有以下作用：根据雷达参数来估算雷达的作用距离；根据雷达的威力范围来估算雷达的发射功率；分析雷达参数对雷达作用距离的影响，这对雷达系统设计中正确地选择系统参数有重要的指导作用。本章从基本雷达方程入手，分
2、别介绍目标的散射截面积(RCS)、雷达的系统损耗以及干扰器和几种体制的雷达方程。3 3设雷达发射功率为Pt，当采用全向辐射天线时，与雷达的距离为R1处任意点的功率密度S1为雷达发射功率Pt与球的表面积之比(假设球是以雷达为球心，雷达到目标的距离为半径，如图3.1(a)所示，即(3.1.1)3.1 基本雷达方程基本雷达方程4 4图3.1 全向辐射与方向性辐射的功率密度示意图5 56 6增益与天线的方位和仰角波束宽度又有关系式：(3.1.3)式中K1，且取决于天线的物理孔径形状，a、e分别为天线的方位和仰角波束宽度(单位为rad)。在自由空间里，在雷达天线增益为Gt的辐射方向上，距离雷达天线为R1
3、的目标所在位置的功率密度S1为(3.1.4)7 7 目标受到电磁波的照射，因其散射特性将产生散射回波。散射功率的大小显然和目标所在点的发射功率密度S1及目标的散射特性有关。用目标的散射截面积(其量纲是面积)来表征其散射特性。若假定目标可将接收到的回波能量无损耗地辐射出来，就可以得到目标的散射功率(二次辐射功率)为(3.1.5)8 8 假设目标的散射回波(其功率为P2)全向辐射，接收天线与目标距离为R2，那么在接收天线处的回波功率密度为(3.1.6)如果雷达接收天线的有效接收面积为Ar，天线增益Gr和有效面积Ar之间的关系为，则接收回波的功率Pr为(3.1.7)9 910 10所以，当Pr正好等
4、于Smin时，就可得到雷达检测目标的最大作用距离Rmax。因为超过这个距离，接收的信号功率Pr进一步减小，就不能可靠地检测到目标。它们的关系式可以表示为(3.1.9)或(3.1.10)11 11 式(3.1.9)和式(3.1.10)表明了最大作用距离Rmax和雷达参数以及目标特性之间的关系。在式(3.1.10)中，第一个等式里Rmax与1/2成反比，而在第二个等式里Rmax却和1/2成正比。这里看似矛盾，其实并不矛盾。这是由于在第一个等式中，当天线面积不变、波长增加时天线增益下降，导致作用距离减小；而在第二个等式中，当天线增益不变，波长增大时要求的天线面积亦相应增大，有效面积增加，其结果使作用
5、距离加大。雷达的工作波长是整机的主要参数，它的选择将影响到诸如发射功率、接收灵敏度、天线尺寸和测量精度等众多因素，因而要全面考虑衡量。12 1213 13其中，No为实际接收机的输出噪声功率，Ni为接收机的输入噪声功率，Ga为接收机的增益。由于接收机输入噪声功率NikT0B(k为波尔兹曼常数，T0为标准室温，一般取290 K，B为接收机带宽)，代入上式，输入端信号功率为(3.1.12)若雷达的检测门限设置为最小输出信噪比(SNR)omin，则最小可检测信号功率可表示为(3.1.13)14 1415 15 式(3.1.14)和式(3.1.15)是雷达方程的两种基本形式。在早期雷达中，通常用各类显
6、示器来观察和检测目标信号，所以称所需的(SNR)omin为识别系数或可见度因子M。现代雷达则用建立在统计检测理论基础上的统计判决方法来实现信号检测，检测目标信号所需的最小输出信噪比又称为检测因子(Detectability Factor)D0，即D0(SNR)omin。D0就是满足所需检测性能(即检测概率为Pd和虚警概率为Pfa)时，在检波器输入端单个脉冲所需要达到的最小信噪比，也经常表示为D0(1)。16 16一般情况下，可以近似认为带宽为时宽的倒数，即B1/。当用方式时，即用信号能量 代替脉冲功率Pt，用检测因子D0代替(SNR)omin，并考虑接收机带宽失配所带来的信噪比损耗，在雷达距离
7、方程中增加带宽校正因子CB1(匹配时CB1)，代入式(3.1.14)的雷达距离方程，有(3.1.16)17 1718 18例3-1 某C波段雷达(收发共用天线)参数如下：工作频率f05.6 GHz，天线增益G45 dB，峰值功率Pt1.5 MW，有效温度T0290 K，脉冲宽度0.2 s，噪声系数F3 dB，雷达损耗L4 dB。检测门限为SNRomin20 dB，假设目标散射截面积0.1m2，计算最大作用距离。解 雷达带宽 波长19 19 通过式(3.1.14)，可得 在计算之前，把每个参数换算成以dB为单位，如下表所列：2020然后计算作用距离为因此，最大检测距离约为68.2 km。21 2
8、1MATLAB函数“radar_eq.m”可以计算式(3.1.14)的SNR与距离之间的关系。其语法如下：Functionsnrradar_eq(pt，freq，G，sigma，b，NF，L，range)其中，各参数意义如表3.1所述。表3.1 参数定义2222图3.2 不同RCS时SNR与距离的关系23232424本节首先介绍RCS的定义，然后介绍影响RCS的几个因素及计算，最后介绍统计意义上的雷达横截面积模型和模型对最小可检测信号的影响。25253.2.1 RCS的定义的定义雷达是通过目标的二次散射功率来发现目标的。一般用后向散射能量的强度来定义目标的RCS。为了描述目标的后向散射特性，在
9、雷达方程的推导过程中，定义了“点”目标的RCS为，定义为(3.2.1)2626其中，P2为目标散射的总功率，S1为照射的功率密度。注意这是一个定义式，并不是决定式。也就是说，并不是目标散射的总功率P2变大，就随之变大；也不是照射的功率密度S1变大，也随之变小。RCS的大小与目标散射总功率和照射的功率密度没有关系。如图3.3所示，由于二次散射，在雷达接收点处单位立体角内的散射功率P为(3.2.2)27272828图3.3 目标的散射特性29293030 式(3.2.4)表明，导电性能良好的各向同性的球体，它的散射截面积i等于该球体的几何投影面积。也就是说，任何一个反射体的RCS都可以等效成一个具
10、有各向同性的球体的截面积。等效的意思是指该球体在接收机方向上每单位立体角所产生的功率与实际目标散射体所产生的功率相同，从而将目标散射截面积理解为一个等效的无耗的各向均匀反射体的截面积(投影面积)。因为实际目标的外形复杂，它的后向散射特性是各部分散射的矢量合成，所以不同的照射方向有不同的散射截面积。31 31除了后向散射特性外，有时需要测量和计算目标在其它方向的散射功率，例如双基地雷达工作时的情况。可以按照同样的概念和方法来定义目标的双基地散射截面积。对复杂目标来讲，不仅与发射时的照射方向有关，而且还取决于接收时的散射方向。RCS是一个标量，单位为m2，由于目标RCS变化的动态范围很大，所以常以
11、其相对于1m2的分贝数(符号为dBm2或dBsm)给出，10lg(m2)(dBm2)(3.2.5)3232 RCS是一个复杂的物理量，它既与目标的几何参数和物理参数如目标的尺寸、形状、材料和结构等有关，又与入射雷达波的参数如频率、极化和波形等有关，同时还与目标和雷达之间的相互位置有关。33333.2.2 影响影响RCS的因素的因素RCS除与目标本身的性能有关，还与视角、频率和极化等有关。下面的分析主要是为了解释RCS的含义。1.RCS与视角的关系与视角的关系为了便于说明，考虑各向同性的点散射体。各向同性的散射体向所有方向均匀散射入射波。考虑如图3.4所示的模型。两个单位面积(1m2)的各向同性
12、散射体沿着雷达视线(零角度)并列放置在距离R处的远场中。这两个散射体的间距是d1 m。然后雷达视角从0变化到180。3434这两个散射体的合成RCS由散射体1和散射体2这两个单个目标散射截面积叠加组成。当电间距为零时，合成的RCS为2m2。以散射体1的相位作为基准，当视角变化时，合成RCS由两个散射体之间的电间距导致的相位变化也不同。例如，在10视角处，两个散射体之间的电间距为(3.2.6)3535图3.4 RCS与视角关系模型图3636 图3.5是RCS随视角变化的关系图。由图(a)和图(b)可知，RCS随视角的变化有很大的起伏，并且图(b)的起伏比图(a)的起伏明显，这是由于散射体间距不同
13、，干涉特性也不同所导致。因此，当要获得复杂目标或机动目标的RCS时，了解各单独散射体之间的干涉特性是非常重要的。这是因为雷达对目标的视角不同时，RCS可能连续变化，且复杂目标的RCS可以视为是分布在目标表面的多个散射点的合成结果，这些散射点通常称为散射中心。3737图3.5 RCS与视角关系图38382.RCS与频率的关系与频率的关系为了说明RCS与频率的关系，考虑图3.4(a)所示的模型。在这种情况下，视角为零，即两个远场各向同性的散射体沿雷达视线排成一行，在C波段当频率由4 GHz至8 GHz变化时，图3.6(a)和图3.6(b)分别给出了散射体间隔d0.5 m和1.5 m时合成RCS与频
14、率的关系。从图3.6可以看出，RCS起伏显然是频率的函数。当散射体间距较大时，小的频率变化就会引起剧烈的RCS起伏。3939图3.6 RCS与频率的关系图40403.RCS与极化的关系与极化的关系目标的散射特性通常与入射场的极化有关。任何具有固定极化方式的电磁波照射到目标上时，一般会朝各个方向折射或散射。这些散射波可以分为两部分：一部分是由与接收天线具有相同极化的散射波组成，接收天线对其做出响应；另一部分散射波具有不同的极化，接收天线对其做出较小的响应。若这两种极化是正交的，则分别称为主极化波和正交极化波。设沿着正z方向传播的x和y轴的电场分量为：41 41ExE1sin(tkz)(3.2.7
15、)EyE2sin(tkz)(3.2.8)其中，k2为波数，是波的角频率，角度是Ey超前Ex的相位角，E1和E2分别是沿着x和y方向的电磁波的振幅。当两个或更多的电磁波组合时，它们的电场是在任何特定时间对空间每一点的矢量积分。一般来说，在xy平面观察时，组合矢量的轨迹是椭圆，如图3.7所示。4242图3.7 沿x和y方向的电场分量4343合并(3.2.7)式和(3.2.8)式，可以得到瞬时总电场(3.2.9)其中ax和ay分别是沿x和y方向的单位向量。图3.8所示是不同情况下电磁场的轨迹图。4444图3.8 四种不同情况下的电磁矢量的轨迹图4545当E10时，电磁波为在y方向上的线极化波，通常称
16、垂直极化波；而当E20时，电磁波为在x轴上的线极化波，通常称水平极化波。当E1E2且0时，电磁波称为线极化。当E1E2且90时，电磁波称为左旋圆极化(LCP)，而如果90，电磁波称为右旋圆极化(RCP)。图3.12以线极化为例，给出了某目标在不同极化情况下的RCS测量结果，由此可以看出极化对RCS的影响。一般来说，目标的主极化RCS大于正交极化的RCS。46463.2.3 RCS的计算的计算雷达利用目标的散射功率来发现目标，在式(3.2.3)中已定义了目标散射截面积。脉冲雷达的特点是有一个“三维空间分辨单元”，分辨单元在角度上的大小取决于天线的波束宽度，在距离上的尺寸取决于等效脉冲宽度，此分辨
17、单元就是雷达瞬时照射并散射的体积V。设雷达波束的立体角为(以主平面波束宽度的半功率点来确定)，则(3.2.10)4747其中，R为雷达至分辨单元的距离，的单位是球面弧度(sr)。例如：某脉冲雷达的脉冲宽度为50ns，对应的距离分辨率为7.5 m，天线3 dB波束宽度3 dB1.5，该雷达的分辨单元的体积V与距离的关系如图3.9所示，可见若目标的距离增大9倍，则分辨单元的体积增大99倍，横向分辨单元与距离的变化没有关系，仍为最小脉冲宽度对应距离分辨单元。4848图3.9 某脉冲雷达的分辨单元体积随距离变化图4949如果一个目标全部包含在体积V中，便认为该目标属于点目标，实际上只有明显地小于体积V
18、的目标才能真正算作点目标，像飞机、卫星、导弹、船只等这样一些雷达目标，当用低分辨雷达观测时可以算是点目标，但对高分辨率的雷达来说，便不能算是点目标了。不属于点目标的目标有两类：一类是如果目标尺寸大于分辨单元且形状不规则，则它是一个实在的“大目标”，例如尺寸大于分辨单元的一艘大船；另一类是所谓分布目标，它是统计上均匀的散射体的集合。50501.简单形状目标的简单形状目标的RCS几何形状比较简单的目标，如球体、圆板、锥体等，它们的RCS可以计算出来。对于非球体的目标，其RCS和视角有关。在所有简单目标中，球体的RCS的计算最为重要。这是因为球有最简单的外形，而且其RCS与视角无关，常用金属球作为衡
19、量截面积的标准，用于校正数据和实验测定，所以这里给出球体的目标散射截面积的计算方法。51 51由于对称性，理想导电球体的散射波是与入射波同极化的(具有相同的极化)。这意味着交叉极化后向散射波近似为零。例如，如果入射波是左旋极化(LCP)，那么后向散射波也是左旋极化(LCP)。然而，由于后向散射波传播方向相反，因此接收天线认为是右旋极化(RCP)。所以，球体的主极化(PP)后向散射波是左旋极化(LCP)波，而垂直极化(OP)后向散射波是可以忽略的。5252半径为r的理想导电球体的RCS与球的最大投影面积(即半径为r的圆的面积r2)的比值是一个米氏(Mie)级数，为(3.2.11)5353其中，k
20、为波数，k2，是波长；Jn是第一类n阶贝塞尔(Bessel)函数，H(1)n是n阶汉克尔(Hankel)函数，为(3.2.12)其中Yn是第二类贝塞尔函数。5454图3.10给出了理想导电球体的RCS与波数k(或波长)间的依赖关系，纵坐标表示归一化后向散射RCS，即RCS与投影面积(r2)的比值。由图3.10可见，RCS可以划分为三个区域：(1)光学区(球的半径远大于波长，2r/10)，此时RCS接近投影面积，r2，r(3.2.13)实际上大多数雷达目标都处于光学区。光学区的名称的来源是因为当目标尺寸比波长大得多时，如果目标表面比较平滑，那么可以通过几何光学的原理来确定目标的RCS。5555图
21、3.10 后向散射RCS与波数k(或波长)的关系5656按照几何光学的原理，表面最强的反射区域是对电磁波波前最突出点附近的小区域，这个区域的大小与该点的曲率半径成正比。曲率越大，反射区域越大，这一反射区域在光学中称为“亮斑”。可以证明，当物体在“亮斑”附近为旋转对称时，其截面积为2，故处于光学区的球体RCS为r2，其RCS不随波长变化而变化。5757(2)瑞利区(球的半径远小于波长，2r1)，由于瑞利区对应的波长足够长，以至于只有一部分场的梯度能够在球表面上激励电流。对于在瑞利区的小的球体，其RCS与半径的六次方成正比，而与波长的四次方成反比，即(3.2.14)而对于小圆盘也有类似的关系，但是
22、和入射波相互作用的体积减少了，具有更小的RCS，(3.2.15)5858 绝大多数雷达目标都不处在这个区域中，但是气象微粒对常用的雷达波长来说是处在这个区域(它们的尺寸远小于波长)。处于瑞利区的目标，决定它们的RCS的主要参数是体积而不是形状，形状不同的影响只作较小的修改即可。通常，雷达目标的尺寸较云雨微粒要大得多，因此降低雷达工作频率可减少云雨回波的影响而又不会明显减少正常雷达目标的RCS。5959(3)谐振区(12r，接收占空因子dr1。则单个脉冲的雷达方程为(3.5.15)169169 假定在一个波束宽度内发射的脉冲数为np，即波束照射目标的时间为Ti，通常称之为“驻留时间”，(3.5.
23、16)170170则对np个发射脉冲的目标回波信号进行相干积累，理论上比单个脉冲回波的信噪比提高np倍，这时雷达方程为(3.5.17)利用式(3.5.17)和B1，低脉冲重复频率的雷达方程也可以表示为(3.5.18)171171 计算公式(3.5.17)的低脉冲重复频率的雷达方程的MATLAB程序为“lprf_req.m”，语法说明如下：functionsnrlprf_req(pt，freq，G，sigma，tao，range，NF，L，np)其中，各参数说明如表3.6。172172表3.6 参数说明173173例3-7 计算某低PRF雷达的SNR。参数如下：工作频率f05.6 GHz，天线增
24、益G45 dB，峰值功率Pt1.5 kW，调频信号的脉冲宽度100 s，噪声系数F3 dB，系统损耗L6 dB，假设目标截面积0.1 m2。解 根据上面输入的参数，利用函数lprf_req.m可以计算出相干积累脉冲数分别为1、10、100时的(SNR)np与距离的关系图，见图3.26。由此可见，当目标距离R100 km时，若要求检测前的信噪比达到13.2 dB，单个脉冲的SNR只有8 dB，因此需要相干积累脉冲数8个以上。1741743.5.4 高脉冲重复频率的雷达方程高脉冲重复频率的雷达方程现在考虑高脉冲重复频率雷达的情况。发射信号是周期性脉冲串，脉冲宽度为，脉冲重复周期为Tr，脉冲重复频率
25、为fr，脉冲串可以使用指数型傅立叶级数表示。这个级数的中心功率谱线(D/C分量)包含大部分信号功率，其值为(Tr)2，等于发射占空因子dt的平方。因此，对于高脉冲重复频率雷达，单个脉冲回波的雷达方程为(3.5.19)175175 在这种情况下，需要考虑接收占空因子dr，因为它的值与发射占空因子相当。实际上，drdtfr。另外，若工作带宽与雷达积累时间相匹配，B1Ti，得到(3.5.20)(3.5.21)176176其中Pav代替了Ptfr。注意乘积(PavTi)表示能量，它表示高脉冲重复频率雷达可以通过相对低的功率和较长的积累时间来增强探测性能。利用MATLAB函数“hprf_req.m”可以
26、计算式(3.5.21)对应的高脉冲重复频率下的雷达方程。函数hprf_req.m的语法说明如下：functionsnrhprf_req(pt，freq，G，sigma，ti，range，NF，L，dt)其中，各参数说明如表3.7。177177表3.7 参数说明178178例3-8 高PRF雷达的参数如下：天线增益G20 dB，工作频率f05.6 GHz，峰值功率Pt100 kW，驻留间隔Ti2 s，噪声系数F4 dB，雷达系统损耗L6 dB。假设目标截面积0.01 m2。计算占空因子dt0.3、距离R50 km时的SNR。解 根据式(3.5.21)输入上述参数，利用函数hprf_req.m计算
27、在占空因子dt0.3，0.2，0.1下SNR与距离的关系曲线，如图3.27所示。从图中可以看出，占空因子dt0.3，距离R50 km时的SNR为15 dB。179179图3.27 不同占空因子情况下SNR与距离的关系180180本节给出了在本章中用到的部分MATLAB程序或函数。为了提高读者对书中公式的理解，读者可以改变输入参数后，再运行这些程序。所有选择的参数和变量与文中的命名一致。3.6 本章的本章的MATLAB程序程序181181程序3.1 基本雷达方程的计算(radar_eq.m)functionsnrradar_eq(pt，freq，G，sigma，b，NF，L，range)%这个程
28、序是计算方程(3.1.14)，基本雷达方程c3.0e8；lamdacfreq；t0290；num110*log10(pt*1.0e3*lamda2)2*Gsigma；num210*log10(4.0*pi)3*1.38e23*t0*b)NFL；182182range_db40*log10(range*1000)；snrnum1*ones(1，length(range)num2ones(length(sigma)，1)*range_db；figure；plot(range，snr.)；ylabel(SNRdB)；xlabel(距离 km)；程序3.2 双基地雷达方程的计算(shuangjidi_
29、req.m)functionsnrshuangjidi_req(pt，freq，G，sigma，tao，r0，NF，L，range)%这个程序是计算双基地雷达方程，即式(3.5.1).c3.0e8；183183lamdacfreq；sita(0：360)*pi180；r1，s1meshgrid(range，sita)；num110*log10(pt*1.0e3*tao*lamda2*sigma)2*G；num210*log10(4.0*pi)3*1.38e23*290)NFL；Rt(r1.*cos(s1)r0/2.2(r1.*sin(s1).2；Rr(r1.*cos(s1)r0/2).2(r1
30、.*sin(s1).2；range_db10*log10(Rt*1.0e6.*Rr*1.0e6)；184184snrnum1num2range_db；figure；C，hcontour(r1.*cos(s1)，r1.*sin(s1)，snr，6)；grid；set(h，ShowText，on，TextStep，get(h，LevelStep)*4)colormapcool；程序3.3 搜索雷达方程的计算(power_aperture.m)functionPAPpower_aperture(range，snr，sigma，tsc，az_angle，el_angle，NF，L)%这个程序实现的是方
31、程(3.5.10)，计算功率孔径积omegaaz_angle*el_angle(57.2962)；185185num110*log10(4.0*pi*1.38e23*290*omega)NFL；num2snrsigma10*log10(tsc)；PAPnum1num2*ones(1，length(sigma)40*ones(length(sigma)，1)*log10(range*1000)；figure；plot(range，PAP)；xlabel(功率孔径积dB)；ylabel(探测距离 km)；grid；程序3.4 低脉冲重复频率雷达方程的计算(lprf_req.m)functionsn
32、r_outlprf_req(pt，freq，G，sigma，b，NF，L，range，np)186186%这个程序实现的是低脉冲重复频率雷达方程(3.5.17)c3.0e8；lamdacfreq；num110*log10(pt*1.0e3*tao*lamda2*sigma)2*G；num210*log10(4.0*pi)3*1.38e23*290)NFL；range_db40*log10(range*1000.0)；snrnum110*log10(np)*ones(1，length(range)num2ones(length(np)，1)*range_db；figure；plot(range，
33、snr)；xlabel(距离 km)；ylabel(SNRdB)；grid；187187程序3.5 高脉冲重复频率雷达方程的计算(hprf_req.m)functionsnrhprf_req(pt，freq，G，sigma，ti，range，te，NF，L，dt，dt1，dt2)%这个程序实现的是高脉冲重复频率雷达方程(3.5.21)c3.0e8；lamdacfreq；num110*log10(pt*1000.0*lamda.2*sigma*ti*dt.)2.*G；num210*log10(4.0*pi)3*1.38e23*290*(range*1000).4)NFL；188188snrnum1*ones(1，length(range)ones(length(dt)，1)*num2；%实现方程(3.6.12)plot(range，snr)；xlabel(距离 km)；ylabel(SNRdB)；