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1、第三讲第三讲 函数连续性、导数极其应用函数连续性、导数极其应用1 函数的连续性函数的连续性定义：定义：设函数设函数y=f(x)在点在点x0的某一邻域内有定义，如果的某一邻域内有定义，如果 那么就称函数那么就称函数f(x)在点在点x0连续连续.一、连续函数的概念一、连续函数的概念函数连续要满足三个条件函数连续要满足三个条件(1)在在x=x0有定义；有定义；(2)存在；存在；(3)第三讲第三讲 函数连续性、导数极其应用函数连续性、导数极其应用例例1.在在(-，+)上连续，上连续，求求 的值的值解：解：第三讲第三讲 函数连续性、导数极其应用函数连续性、导数极其应用定义：若函数(x)在开区间(a,b)
2、内的每一点都连续,则称函数(x)在开区间(a,b)内连续;定义：若函数(x)在开区间(a,b)内连续,且在左端点 a右连续,在右端点 b 左连续,则称函数(x)在闭区间a,b 内连续.一个函数在定义域上连续，从图像上看是连一个函数在定义域上连续，从图像上看是连续不断的，续不断的，“一笔一笔”可以画出来的。可以画出来的。第三讲第三讲 函数连续性、导数极其应用函数连续性、导数极其应用二、函数的间断点极其类型二、函数的间断点极其类型(1)在在x=x0没有定义；没有定义；(2)虽在虽在x=x0有定义，但有定义，但 不存在；不存在；(3)虽在虽在x=x0有定义，且有定义，且 存在存在,但但则函数则函数f
3、(x)在点在点x0为不连续，而点为不连续，而点x0称为函数称为函数f(x)的不连续点或的不连续点或间断点间断点.第三讲第三讲 函数连续性、导数极其应用函数连续性、导数极其应用第三讲第三讲 函数连续性、导数极其应用函数连续性、导数极其应用间断点间断点例例2.解：解：第三讲第三讲 函数连续性、导数极其应用函数连续性、导数极其应用例例3.解：解：第三讲第三讲 函数连续性、导数极其应用函数连续性、导数极其应用三、利用零点定理讨论方程的根三、利用零点定理讨论方程的根几何解释几何解释:第三讲第三讲 函数连续性、导数极其应用函数连续性、导数极其应用2 导数的概念导数的概念一、导数概念的引例一、导数概念的引例
4、例例1 1 变速直线运动的速度-第三讲第三讲 函数连续性、导数极其应用函数连续性、导数极其应用例例2 2 平面曲线的切线斜率 如图,如果割线MN绕点 M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.极限位置即第三讲第三讲 函数连续性、导数极其应用函数连续性、导数极其应用二、导数的定义二、导数的定义定义定义第三讲第三讲 函数连续性、导数极其应用函数连续性、导数极其应用或或即即其它形式其它形式例例3.解：解：第三讲第三讲 函数连续性、导数极其应用函数连续性、导数极其应用例例4.证明：证明：第三讲第三讲 函数连续性、导数极其应用函数连续性、导数极其应用三、可导和连续的关系及应用三、可导
5、和连续的关系及应用1.可导和连续的关系可导和连续的关系定理定理 凡可导函数都是连续函数，反之不一定凡可导函数都是连续函数，反之不一定.证明：证明：设函数设函数f(x)在点在点x0处可导处可导 从图像上看，可导函数除了要求像连续函数从图像上看，可导函数除了要求像连续函数那样那样“一笔一笔”画完外还要求曲线是光滑的！画完外还要求曲线是光滑的！第三讲第三讲 函数连续性、导数极其应用函数连续性、导数极其应用2.左右导数左右导数（单侧导数）（单侧导数）右导数右导数:左导数左导数:第三讲第三讲 函数连续性、导数极其应用函数连续性、导数极其应用3.利用函数可导或连续解题利用函数可导或连续解题例例5.解：解：
6、连续连续可导可导第三讲第三讲 函数连续性、导数极其应用函数连续性、导数极其应用3 函数微分的概念函数微分的概念一、微分的定义一、微分的定义第三讲第三讲 函数连续性、导数极其应用函数连续性、导数极其应用定理定理：y=f(x)在在 可微的充分必要条件是可微的充分必要条件是f(x)在在 处处 可导，且当可导，且当f(x)在点在点 可微时，其微分一定是可微时，其微分一定是(1)(1)必要性必要性证明证明第三讲第三讲 函数连续性、导数极其应用函数连续性、导数极其应用(2)(2)充分性充分性第三讲第三讲 函数连续性、导数极其应用函数连续性、导数极其应用例例1解：解：例例2解：解：由例由例2我们把微分常记为
7、我们把微分常记为二、可微与可二、可微与可 导的关系导的关系两两者者是是等等价价的的第三讲第三讲 函数连续性、导数极其应用函数连续性、导数极其应用三、微分的几何意义三、微分的几何意义MT）N P Q 第三讲第三讲 函数连续性、导数极其应用函数连续性、导数极其应用4 导数的计算导数的计算(1)(C)0(2)(xm)m xm1(3)(sin x)cos x(4)(cos x)sin x(5)(tan x)sec2x(6)(cot x)csc2x(7)(sec x)sec xtan x(8)(csc x)csc xcot x(9)(a x)a x ln a(10)(e x)ex一一、基基本本初初等等函
8、函数数的的导导数数公公式式 第三讲第三讲 函数连续性、导数极其应用函数连续性、导数极其应用二、反函数求导法则二、反函数求导法则定理定理则则第三讲第三讲 函数连续性、导数极其应用函数连续性、导数极其应用第三讲第三讲 函数连续性、导数极其应用函数连续性、导数极其应用三、函数求导的四则运算法则及复合函数求导三、函数求导的四则运算法则及复合函数求导 这部分知识都是我们高中时学过的内容，这里不再介这部分知识都是我们高中时学过的内容，这里不再介绍，我们通过几个典型的例题加以复习巩固绍，我们通过几个典型的例题加以复习巩固例例1解：解：第三讲第三讲 函数连续性、导数极其应用函数连续性、导数极其应用例例2解：解
9、：第三讲第三讲 函数连续性、导数极其应用函数连续性、导数极其应用四、隐函数的求导四、隐函数的求导1.函数的表示法函数的表示法 直接表示直接表示:解析式解析式 y=f(x)xD,这样描述的函数称为显函数这样描述的函数称为显函数把一个隐函数化成显函数把一个隐函数化成显函数,叫做隐函数的显化叫做隐函数的显化.第三讲第三讲 函数连续性、导数极其应用函数连续性、导数极其应用 一般地一般地,如果变量如果变量x和和y满足一个方程满足一个方程F(x,y)=0,在一定条在一定条件下当件下当x取某区间内的任一值时取某区间内的任一值时,相应地总有满足这方程的相应地总有满足这方程的唯一的唯一的y值存在值存在,那么就说
10、方程那么就说方程F(x,y)=0在该区间内确定了一在该区间内确定了一个隐函数个隐函数2.隐函数定义极其求解隐函数定义极其求解 有的隐函数可以化成显函数去求导数，但是并不是所有的隐函数可以化成显函数去求导数，但是并不是所有的隐函数都可以显化的，如：有的隐函数都可以显化的，如：虽然不可以显化，但是求导函数是可以的，方法就是虽然不可以显化，但是求导函数是可以的，方法就是方程两边同时关于方程两边同时关于x（或（或y）求导，一般来说，导函数往往）求导，一般来说，导函数往往是含有是含有x和和y的解析式。的解析式。需要注意的是：当关于需要注意的是：当关于x求导时要把求导时要把y看成是复合函数；看成是复合函数
11、；关于关于y求导时要把求导时要把x看成是复合函数！看成是复合函数！第三讲第三讲 函数连续性、导数极其应用函数连续性、导数极其应用例例3解：解：方程两边同时关于方程两边同时关于x求导得求导得原方程变形为原方程变形为整理，得整理，得即即第三讲第三讲 函数连续性、导数极其应用函数连续性、导数极其应用注：注：隐函数求导一般有两种类型的题目，一种是隐函数求导一般有两种类型的题目，一种是求导函数求导函数，另一种是求具体某一点处的另一种是求具体某一点处的导数值导数值，从本质上说两者，从本质上说两者没有什么区别，前者需要求出导函数的解析式（有时没有什么区别，前者需要求出导函数的解析式（有时候整理化简过程很繁琐
12、），后者可以在前者的基础上候整理化简过程很繁琐），后者可以在前者的基础上带入具体点的坐标就可以了。不过在求解具体点的导带入具体点的坐标就可以了。不过在求解具体点的导数值这类题目可以不用把导函数的解析式求出来，把数值这类题目可以不用把导函数的解析式求出来，把已知点直接带入还没有整理化简的方程中，这样具体已知点直接带入还没有整理化简的方程中，这样具体的数值取代了繁琐的公式符号，然后再把导数值求出的数值取代了繁琐的公式符号，然后再把导数值求出来就相对简单多了！来就相对简单多了！带入带入得得即即第三讲第三讲 函数连续性、导数极其应用函数连续性、导数极其应用五、对数求导法五、对数求导法1.对数求导法2.
13、适用范围求幂指函数求幂指函数和多个函数相乘的导数和多个函数相乘的导数.第三讲第三讲 函数连续性、导数极其应用函数连续性、导数极其应用例例4解：解：等式两边取对数得等式两边取对数得上式两边关于上式两边关于x求导得求导得第三讲第三讲 函数连续性、导数极其应用函数连续性、导数极其应用例例5解法一：解法一：等式两边取对数得等式两边取对数得上式两边关于上式两边关于x求导得求导得即即解法二：解法二：解法一与解法二没解法一与解法二没有本质的区别，相比而有本质的区别，相比而言解法二较直接，但需言解法二较直接，但需要对复合函数的求导熟要对复合函数的求导熟练掌握练掌握第三讲第三讲 函数连续性、导数极其应用函数连续
14、性、导数极其应用例例6解：解：等式两边取对数得等式两边取对数得上式两边关于上式两边关于x求导得求导得即即第三讲第三讲 函数连续性、导数极其应用函数连续性、导数极其应用六、高阶导数六、高阶导数1.1.如果如果 的导数存在，称为的导数存在，称为 的二阶导数的二阶导数 记作：记作：，或或 2.2.仍是仍是x的函数，还可以进一步考虑的函数，还可以进一步考虑 有三阶导数有三阶导数 或或 ，四阶导数四阶导数 或或 ，n n阶导数阶导数 或或 .第三讲第三讲 函数连续性、导数极其应用函数连续性、导数极其应用七、参数方程所确定函数的导数七、参数方程所确定函数的导数参数方程求导问题参数方程求导问题是历年必考的重
15、点是历年必考的重点题型，但却不是难题型，但却不是难点，主要是公式的点，主要是公式的应用，归结到底还应用，归结到底还是考查一般函数求是考查一般函数求导问题。导问题。第三讲第三讲 函数连续性、导数极其应用函数连续性、导数极其应用例例7解：解：第三讲第三讲 函数连续性、导数极其应用函数连续性、导数极其应用八、微分中值定理八、微分中值定理 关于微分中值定理，不是目前我们学习的重点，关于微分中值定理，不是目前我们学习的重点，但要做到基本了解，知道它们的但要做到基本了解，知道它们的几何意义几何意义，会求，会求满满足定理条件的点足定理条件的点即可。即可。1.1.罗尔罗尔(Rolle)(Rolle)定理定理第
16、三讲第三讲 函数连续性、导数极其应用函数连续性、导数极其应用罗尔定理几何解释罗尔定理几何解释:y例例8第三讲第三讲 函数连续性、导数极其应用函数连续性、导数极其应用2.2.拉格朗日拉格朗日(Lagrange)(Lagrange)中值定理中值定理第三讲第三讲 函数连续性、导数极其应用函数连续性、导数极其应用拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理几何解释：几何解释：例例9解：解：第三讲第三讲 函数连续性、导数极其应用函数连续性、导数极其应用利用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理利用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理作辅助函数作辅助函数注意注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函拉氏公式精确地表达
17、了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系数在这区间内某点处的导数之间的关系.第三讲第三讲 函数连续性、导数极其应用函数连续性、导数极其应用3.3.柯西中值定理柯西中值定理拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况：拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况：第三讲第三讲 函数连续性、导数极其应用函数连续性、导数极其应用九、导数的应用（利用导数研究函数的性质）九、导数的应用（利用导数研究函数的性质）单调,极值,凹凸,拐点,渐近线,曲率1.函数的单调性函数的单调性第三讲第三讲 函数连续性、导数极其应用函数连续性、导数极其应用注：注：（1）求函数单调区间就是解导数不等式）求函数单调
18、区间就是解导数不等式（2）证明方程根的个数）证明方程根的个数最经典最经典的方法就是结合函数单调性的方法就是结合函数单调性 利用零点定理利用零点定理2.函数的极值函数的极值 简单地说，所谓极值，就是在某一点的简单地说，所谓极值，就是在某一点的“附近附近”它的函数值是最大（小）的，则该点就称为函数的一它的函数值是最大（小）的，则该点就称为函数的一个极值点，函数值称为极大（小）值，极大值与极小个极值点，函数值称为极大（小）值，极大值与极小值统称为极值。值统称为极值。关键字：极值、极大值、极小值、极值点、驻点、不可导点关键字：极值、极大值、极小值、极值点、驻点、不可导点驻点是指一阶导数等于零的点，即满
19、足驻点是指一阶导数等于零的点，即满足 的点的点不可导点是一阶导数不存在的点，即不可导点是一阶导数不存在的点，即 无意义的点无意义的点驻点与不可导点我们习惯上统称为驻点与不可导点我们习惯上统称为“极值可疑点极值可疑点”第三讲第三讲 函数连续性、导数极其应用函数连续性、导数极其应用导导数数为为零零不不是是驻驻点点不不可可导导点点不不是是极极值值点点两个特例第三讲第三讲 函数连续性、导数极其应用函数连续性、导数极其应用函数极值的性质与判定函数极值的性质与判定性质（必要条件）性质（必要条件）判定（充分条件）判定（充分条件）（1）第一充分条件）第一充分条件 对于在对于在x0处连续的函数，如果在处连续的函
20、数，如果在x0附近的左侧附近的左侧f(x)0，右侧右侧f(x)0，那么，那么f(x0)是极大值；是极大值；如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧f(x)0，那么，那么f(x0)是极小值是极小值第三讲第三讲 函数连续性、导数极其应用函数连续性、导数极其应用求极值的步骤求极值的步骤:第三讲第三讲 函数连续性、导数极其应用函数连续性、导数极其应用例例10解：解：所给的函数定义域为 .1010不存在0yx(0,1)(1,0)+极小值极大值极小值第三讲第三讲 函数连续性、导数极其应用函数连续性、导数极其应用（2）第二充分条件）第二充分条件注：注：利用第一充分条件判定极值一般都需要列表讨论，这样利用第一充分
21、条件判定极值一般都需要列表讨论，这样比较直观，关键步骤是判定驻点或不可导点左右导数的正比较直观，关键步骤是判定驻点或不可导点左右导数的正负性（常把一阶导数解析式进行因式分解以方便判断正负）负性（常把一阶导数解析式进行因式分解以方便判断正负）第二充分条件多用于具有二阶导数的函数（多项式函数）第二充分条件多用于具有二阶导数的函数（多项式函数），使用起来简单快捷，但是当函数不满足条件，或者即使，使用起来简单快捷，但是当函数不满足条件，或者即使满足条件却不易求出二阶导数的解析式时就不能使用这种满足条件却不易求出二阶导数的解析式时就不能使用这种方法了方法了第三讲第三讲 函数连续性、导数极其应用函数连续性
22、、导数极其应用3.函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值 先思考一个问题，在函数的定义域内，哪些先思考一个问题，在函数的定义域内，哪些点可能成为最值呢？点可能成为最值呢？端点端点极值点极值点驻点驻点不可导点不可导点 求函数的最值十分简单，就是把函数在定义域内所求函数的最值十分简单，就是把函数在定义域内所有极值可疑点（驻点和不可导点）以及端点代入到原函有极值可疑点（驻点和不可导点）以及端点代入到原函数中比较其大小，最大为最大值，最小为最小值数中比较其大小，最大为最大值，最小为最小值例例11解：解：第三讲第三讲 函数连续性、导数极其应用函数连续性、导数极其应用注：注：无论是讨论函数的最值问题，还
23、是极值问题，包括下无论是讨论函数的最值问题，还是极值问题，包括下面即将讨论的拐点问题都不能忽略函数的定义域，尤其是面即将讨论的拐点问题都不能忽略函数的定义域，尤其是事先给定了讨论区间的函数！事先给定了讨论区间的函数！4.函数的凹向与拐点函数的凹向与拐点（1）函数的凹向）函数的凹向第三讲第三讲 函数连续性、导数极其应用函数连续性、导数极其应用（2）函数的拐点）函数的拐点凸部与凹部的转折凸部与凹部的转折(分界分界)点点 判定函数凹向和拐判定函数凹向和拐点方法与判定极值的第一点方法与判定极值的第一充分条件非常相似，所不充分条件非常相似，所不同的是对二阶导数进行相同的是对二阶导数进行相关的讨论关的讨论
24、第三讲第三讲 函数连续性、导数极其应用函数连续性、导数极其应用求曲线凹向与拐点的步骤：（1）求定义域（2）求 （3）求 的点和 不存在的点。（4）用上述点将定义域分成若干小区间，考查每个小 区间上 的符号，并判断凹凸性。（5）若 在点 两侧异号，则 是拐点，否则 不是。第三讲第三讲 函数连续性、导数极其应用函数连续性、导数极其应用例例12解：解：不存在拐点拐点第三讲第三讲 函数连续性、导数极其应用函数连续性、导数极其应用5.曲线的渐进线曲线的渐进线0 xy20 xy（1 1）、水平渐近线）、水平渐近线（2 2）、垂直渐近线）、垂直渐近线第三讲第三讲 函数连续性、导数极其应用函数连续性、导数极其应用例例13:解：解：注：可以看出求水平渐进线比较直接，求垂直渐进线时需要找到一些点来讨论，一般来说这些“点”就是使得原函数无意义的点。