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1、第二章第二章 误差理论与最小二乘原理误差理论与最小二乘原理Error Theory and The Least Squares PrincipleError Theory and The Least Squares Principle 第四讲第四讲 参数估计与最小二乘原理参数估计与最小二乘原理（复习）复习）思考题思考题 1 1、衡量估计量性质的标准有哪些，它们分别有什、衡量估计量性质的标准有哪些，它们分别有什么含义？么含义？无偏性：估值的数学期望等于真值。无偏性：估值的数学期望等于真值。有效性：方差最小的无偏估值。有效性：方差最小的无偏估值。一致性：随着观测值个数的增大估值以概一致性：随着观测
2、值个数的增大估值以概率收敛于真值。率收敛于真值。思考题思考题 第四讲第四讲 参数估计与最小二乘原理参数估计与最小二乘原理（复习）复习）3 3、什么情况下、什么情况下最小二乘估计与最大或然估计是一致的。最小二乘估计与最大或然估计是一致的。当观测值服从正态分布时。当观测值服从正态分布时。似然函数：似然函数：第四讲第四讲 参数估计与最小二乘原理参数估计与最小二乘原理（复习）复习）第四讲第四讲 参数估计与最小二乘原理参数估计与最小二乘原理（复习）复习）4 4、协方差阵与权阵之间的关系。协方差阵与权阵之间的关系。权矩阵是与协方差矩阵的逆矩阵成比例的矩阵。权矩阵是与协方差矩阵的逆矩阵成比例的矩阵。第四讲第
3、四讲 参数估计与最小二乘原理参数估计与最小二乘原理（复习）复习）（1 1）形式上的不同）形式上的不同。（2 2）都是均方差的估计值。）都是均方差的估计值。（3 3）真误差难得，残差易得，第二个公式应用面更广。）真误差难得，残差易得，第二个公式应用面更广。（4 4）后一式称）后一式称BesselBessel公式公式 第五讲第五讲 方差及协方差矩阵的传播方差及协方差矩阵的传播 Propagation of Variance-Covariance Matrix1 1、Raise A QuestionRaise A Question 2 2、Variance and Standard Error of
4、 Variance and Standard Error of FunctionsFunctions of Random variableof Random variable3 3、Propagation of The vectors Propagation of The vectors Variance-Covariance MatrixVariance-Covariance Matrix4 4、Relation of Covariance Matrix Relation of Covariance Matrix Between VectorsBetween VectorsNo.5 Prop
5、agation of Variance-Covariance Matrix补补充知充知识识 1 1协方差（方差（covariancecovariance）(协方差的估值，仍然叫协方差协方差的估值，仍然叫协方差)估值：估值：协协方方差差是是两两种种真真误误差差所所以以可可能能取取值值乘乘积积的的理理论论平平均均值值协协方方差差本本身身可可以以小小于于零零补补充知充知识识 2.2.向量的向量的协方差矩方差矩阵（covariance matrixcovariance matrix）补补充知充知识识 3.3.向量向量间的的协方差矩方差矩阵（covariance matrixcovariance mat
6、rix）设：设：补补充知充知识识 4.4.向量的微分向量的微分设：设：令：令：补补充知充知识识 4.4.向量的微分向量的微分 Jacobian Matrix Jacobian Matrix：is also sometimes called is also sometimes called Coefficient Matrix(since,in the case of a Coefficient Matrix(since,in the case of a linear mathematical model,the partial linear mathematical model,the par
7、tial derivatives are just the coefficient of the derivatives are just the coefficient of the Obs.)Obs.)补补充知充知识识 5.5.观测值真真误差差与与其函其函数真数真误差的差的关关系系设：设：其中：其中：是常数，是常数，是观测值（随机变量），是观测值（随机变量），补补充知充知识识 5.5.观测值真真误差差与与其函其函数真数真误差的差的关关系系设：设：泰勒级数展开：泰勒级数展开：补补充知充知识识 5.5.观测值真真误差差与与其函其函数真数真误差的差的关关系系设：设：No.5 Propagatio
8、n of Variance-Covariance Matrix1 1、Raise A Question Raise A Question 1)The question is how to estimate the errors 1)The question is how to estimate the errors in Z as functions of random variablein Z as functions of random variableNo.5 Propagation of Variance-Covariance Matrix1 1、Raise A Question Ra
9、ise A Question 1)The question is how to estimate the errors 1)The question is how to estimate the errors in Z as functions of random variablein Z as functions of random variableNo.5 Propagation of Variance-Covariance Matrix1 1、Raise A Question Raise A Question 1)The question is how to estimate the e
10、rrors 1)The question is how to estimate the errors in Z as functions of random variablein Z as functions of random variableNo.5 Propagation of Variance-Covariance MatrixReduce to the follow questionReduce to the follow question观测值的方差与观测值函数的方差之间的关系式，称为误差传播律。观测值的方差与观测值函数的方差之间的关系式，称为误差传播律。求函数的方差求函数的方差已
11、知函数关系式已知函数关系式以及观测值的方差协方差以及观测值的方差协方差No.5 Propagation of Variance-Covariance Matrix2)Errors Propagation:is the process of 2)Errors Propagation:is the process of evaluating the errors in estimated evaluating the errors in estimated quantities(Z)as functions of the error in quantities(Z)as functions of
12、the error in the measurements(L)the measurements(L)1 1、Raise A Question Raise A Question No.5 Propagation of Variance-Covariance Matrix2.Variance and standard error of functions of random variable设随机变量的函数设随机变量的函数由全微分得真误差之间得关系由全微分得真误差之间得关系式中式中式中式中：为随机变量为随机变量令：令：No.5 Propagation of Variance-Covariance
13、 Matrix2.Variance and standard error of functions of random variable随机变量的函数随机变量的函数上式取平方上式取平方中误差形式中误差形式式中：式中：根据根据两端取期望两端取期望No.5 Propagation of Variance-Covariance MatrixStep of Solution:Step of Solution:1.1.1 1）ConstructConstruct the Mathematical model;the Mathematical model;2.2.2 2）If If the model i
14、s no-linear,the model is no-linear,linearizinglinearizing it it firstly;firstly;3.3.3 3）ApplyingApplying the Law of Propagation of the Law of Propagation of Errors;Errors;4.4.4 4）SubstitutingSubstituting standard error for variance.standard error for variance.2.Variance and standard error of functio
15、ns of random variableNo.5 Propagation of Variance-Covariance MatrixSome special cases：11观测值不相关时观测值不相关时22线性函数线性函数No.5 Propagation of Variance-Covariance MatrixSome special cases：11观测值不相关时观测值不相关时22线性函数线性函数33倍数函数倍数函数44和差函数和差函数No.5 Propagation of Variance-Covariance Matrix中误差传播时中误差传播时2.Variance and stan
16、dard error of functions of random variable11观测值不相关时观测值不相关时22线性函数线性函数33倍数函数倍数函数44和差函数和差函数No.5 Propagation of Variance-Covariance MatrixExample1:Example1:在视距测量中，测得标尺读书差在视距测量中，测得标尺读书差d d0.565m0.565m，中误差中误差m md d 0.2mm 0.2mm，当视距常数为当视距常数为100100时，求这两点间距离时，求这两点间距离S S及其中误差及其中误差m ms s。2.Variance and standard
17、 error of functions of random variableExample1:Example1:在视距测量中，测得标尺读书差在视距测量中，测得标尺读书差d d0.565m0.565m，中误差中误差m md d 0.2mm 0.2mm，当视距常数为当视距常数为100100时，求这两点间距离时，求这两点间距离S S及其中误差及其中误差m ms s。解：解：函数关系式：函数关系式：距离观测值距离观测值距离观测值的中误差距离观测值的中误差Example2:Example2:例例2 2：已知水平角是两个方向观测值的差，两方向观测值独立等精：已知水平角是两个方向观测值的差，两方向观测值独立
18、等精度，设方向观测值的中误差度，设方向观测值的中误差 ，求角度的中误差。，求角度的中误差。解：解：函数关系式：函数关系式：应用和差函数的方差公式应用和差函数的方差公式得得Example3:Example3:例例3 3：用线段比较法求航高时，设地面点：用线段比较法求航高时，设地面点 间的距离为间的距离为 ，其中误差，其中误差为为 ，量得，量得 两点在相片上的象点两点在相片上的象点 间的距离为间的距离为 ，其中误，其中误差为差为 ，摄影主焦距为，摄影主焦距为 （常数），试求由公式（常数），试求由公式 计算航高计算航高的中误差。的中误差。解：解：函数关系式：函数关系式：真误差关系式真误差关系式得得注
19、意：本例的两个距离值是独立的注意：本例的两个距离值是独立的解：得：No.5 Propagation of Variance-Covariance Matrix3、Propagation of the vectors variance-covariance matrix Now we have more than one unknown,say Now we have more than one unknown,say a vector Y of m unknowns,that are related a vector Y of m unknowns,that are related to th
20、e n random variable X.In this case,we to the n random variable X.In this case,we will discuss the linear model firstly.will discuss the linear model firstly.函数形式函数形式对应真误差得关系对应真误差得关系依方差定义依方差定义非线性函数：非线性函数：求向量的微分求向量的微分得到真误差的线性形式得到真误差的线性形式传播形式传播形式No.5 Propagation of Variance-Covariance Matrix对应中误差的形式对应中
21、误差的形式3、Propagation of the vectors variance-covariance matrix3、Propagation of the vectors variance-covariance matrix解：解：函数关系式：函数关系式：例：设在测站例：设在测站O O等精度观测了三个方向等精度观测了三个方向a a1 1，a a2 2，a a3 3，中误差均为，中误差均为m ma a，试求协方差矩阵，试求协方差矩阵 和按和按z zx-yx-y算出的算出的z z角中误差。角中误差。又知道：又知道：根据误差传播定律根据误差传播定律Z Z的函数可写为的函数可写为根据误差传播定律
22、根据误差传播定律Ozyx321No.5 Propagation of Variance-Covariance Matrix3 3、Propagation of The vectors Propagation of The vectors Variance-Covariance MatrixVariance-Covariance Matrix Summary of steps:Summary of steps:Given:X,its variance matrix,model Given:X,its variance matrix,model Required:unknown vectors v
23、ariance matrixRequired:unknown vectors variance matrix 1)1)FormForm the direct mathematical model the direct mathematical model 2)Evaluate the elements of J2)Evaluate the elements of Jacobianacobian Matrix Matrix 3)Apply the law of covariance.3)Apply the law of covariance.No.5 Propagation of Varianc
24、e-Covariance Matrix4、Relation of Covariance Matrix Between Vectors General Law of Propagation of Variance-General Law of Propagation of Variance-Covariance MatrixCovariance Matrix设设No.5 Propagation of Variance-Covariance Matrix线性化后由协方差矩阵定义于是4、Relation of Covariance Matrix Between Vectors例：设有函数例：设有函数已知已知x xi i(i=1,2n)(i=1,2n)随机独立，其中误差为随机独立，其中误差为m mi i。求。求u u、v v的中误差及其协方差。的中误差及其协方差。解：解：u u、v v的函数形式为的函数形式为依向量的误差传播定律有依向量的误差传播定律有依向量间的误差传播定律有依向量间的误差传播定律有内内 容容 小小 结结一、如何计算随机变量（观测值）函数的中误差一、如何计算随机变量（观测值）函数的中误差本节学习目的有二：本节学习目的有二：二、向量的方差以及向量间的协方差是如何传播的二、向量的方差以及向量间的协方差是如何传播的